CHAPITRE III

Del' égalité dans les quantités géométriques.

Si. On dit que deux quantités géométriques sont égales r lorsque la seconde n’est autre chose que la première qui aurait changé de place sans que. rien fût changé en elle; d’où il suit que chaèune d’elles peut être amenée, par un déplacement convenable, à occuper le même espace que l’autre.

Il résulte de là que pour s’assurer si déux quantités sont égales, il faut voir s’il est possible de transporter l’une de manière qu’elle coïncide avec l’autre dans toutes ses parties , ou en d’autres termes, si elles sont superposables. Il est bien entendu que les volumes sont dépouillés de toutes les proprié- ' tés physiques , sans lesquelles on ne les trouve pas dans la nature , mais dont ils sont indcperulans dans tous les rapports dont s’occupe ht Géométrie. Ainsi la résistance et l’impénétrabilité de la matière ne gêneront en rien les superpositions des volumes , puisqu’il ne s’agit que de l’espace figuré et non matériel.

Après l’égalité absolue ou de superposition, la plus féconde en applications est l’égalité en grandeur indépendamment de la forme; on lui a donné le nom particulier à’ équivalence. Ainsi dfeux lignes seront équivalentes lorsqu’elles auront la même étendue en longueur sans pouvoir être superposées ; deux surfaces seront équivalentes lorsqu’elles renfermeront la même quantité de parties superficielles sans avoir la même forme; c’est ce qui arrivera lorsque de deux surfaces égales on retranchera une même surface à des places différentes ; il est évident qu’il restera de part et d’autre la même quantité superficielle, et que cependant la coïncidence ne sera plus possible. II en serait de même des volumes.

L’égalité en périmètre a aussi reçu un nom particulier ; deux figures entre lesquelles elle existe sont dites isopérimètres; ce rapport peut donner lieu à un grand nombre de problèmes curieux , mais il est lieaucoup moins fécond en conséquences que les précédons qui sont la base de toutes les comparaisons des grandeurs géométriques.

Outre ces diverses sortes d’égalité partielles, il eu est une autre qui, par son impoi tance, mérite une attention particulière et que nous allons traiter séparément.

De la Similitude.

5a. On fait ordinairement consister la similitude de deux quantités géométriques dans l’égalité des inclinaisons et des rapports des lignes ou des faces homologues et l’identité de leur disposition. Cet énoncé renfermant des conditions surabondantes , c’^st-à-dire qui sont des conséqhences nécessaires les unes des autres , on a cherché une définition qui renfermât toutes lès conditions qu’on voulait remplir, mais qui ne renfermât qu’elles seules. Les uns ont voulu écarter la considération des angles et n’introduire que des longueurs; ils ont appelé figures semblables celles où il y avait égalité entre les rapports des lignes nécessaires à la détermination de chacune d’elles; mais il 'restait à chercher combien de lignes étaient nécessaires à la détermination des figures r et la difficulté n’était pas diminuée. D’autres ont d’abord défini la similitude pour les triangles et les tétraèdres, et ont appelé semblables les figures ou solides dont tous les points homologues sont les sommets de triangles ou de tétraèdres semblables ayant des bases constantes et semblables; mais cette définition a l’inconvénient de ne pas renfermer dans un seul énoncé la similitude des tétraèdres et des autres solides; de plus il y manque encore des conditions relatives à la disposition des tétraèdres ou des triangles, sans quoi elle n’entraînerait pas la similitude. Je crois que l’on pourrait éviter tous ces inconvéniens en adoptant la définition suivante :

Deux quantités géométriques sont sf.miu, abi.es, lorsqu'elles

peuvent être placées de manière qu'en joignant un point Jixe avec tous les points de l'une d'elles, on obtienne tous ceux de P autre en prolongeant ces rayons dans un rapport constant.

De cette définition suivront immédiatement toutes les propriétés des quantités semblables. On reconnaîtra facilement les deux plus importantes, savoir, qu’en joignant leurs points homologues, les ligues résultantes seront également inclinées entre elles et dans le rapport constant des rayons. Toutes les autres s’en déduiront, comme on peut le voir dans tous les traités élémentaires, tant pour les lignes que pour les surfaces et les volumes.

•Le point d’où partent les rayons se nomme centre de similitude; le rapport constant des lignes se nomme rapport de similitude. Si l’une des figures se transporte parallèlement à elle-même d’une manière quelconque dans l’espace, le centre de similitude se déplacera en meme temps, mais leTapport de similitude restera constant , parce qu’il est égal à celui de deux lignes homologues des deux figures,. et que ces lignes ne changent pas de grandeur.

53. Si, au lieu de prolonger les rayons, on les portait en sens contraire à partir du centre de similitude, la seconde figure serait encore semblable à la première, dans le cas où elles seraient planes, parce qu’elle rentrerait dans le premier cas en lui faisant faire une demi-révolution autour du centre J mais la même chose n’aurait plus lieu si tous les points n’étaient pas dans le même plan ; les faces seraient respectivement semblables et également inclinées, mais leur disposition serait inverse et il n’y aurait plus similitude. On désigne ce nouveau rapport sous le nom de similitude inverse : il est pour les surfaces semblables ce que la symétrie est pour les surfaces égales, et deux surfaces inversement semblables sont telles , que l’une quelconque est semblable à la surface symétrique de la seconde.