CHAPITRE IV

Sur la résolution des questions géométriques.

54. "En Géométrie, comme en tonte autre science, les questions ne peuvent se présenter que sous forme de théorèmes ou de problèmes. Un problème aura pour objet d’effectuer une construction d’après les rapports que doit avoir la chose à construire avec des choses données: pour y parvenir, on cherchera à ramener la construction demandée à une autre plus simple, celle-ci à une plus simple encore, jusqu’à ce que l’on en obtienne une que l’on puisse exécuter immédiatement.

11 y a deux choses à considérer dans la résoBition d’un problème, la liaison des constructions et le dessin. Nous ne nous occuperons dans ce morrtent que de la première, et nous regarderons un problème comme résolu quand nous pourrons' Je proche en proche le ramener aux constructions élémentaires que l’on sait immédiatement effectuer.

Dans le choix de ces constructions élémentaires, on a dé considérer deux choses, la simplicité de leur composition et la facilité avec laquelle elles pourraient être exécutées au moyen des instrumens graphiques. Les seules lignes que les géomètres anciens et modernes aient voulu reconnaître comme élémens de leurs constructions sont les droites et les cercles, et ils regardaient comme non résolu tout problème qui aurait exigé que l’on traçât une autre courl>e quelque simple qu’elle fût d’exécution : c’est ainsi qu’ils nous ont laissé à résoudre le problème de la trisection de l’angle, de la duplication du cube, etc. Cependant Newton s’est un peu affranchi de cette contrainte et a donné des solutions dans lesquelles il fait entrer des conchdides , courbes très simples, mais cependant moins faciles à décrire que la ligne droite et le cercle.

Le même embarras n’existe pas dans la démonstration des

théorèmes : connue on a pour unique but de démontrer fa vérité d’un rapport désigné et non d’exécuter graphiquement ce qui y est relatif, on reste entièrement dans les abstractions, et l’on peut ranger dans la même classe toutes les choses démontrées possibles, quelqbe difficulté que puisse offrir leur exécution : il ne s’agit que de ce qui est, et non de ce que l’on peut faire. •

55 . Quant à la marche à suivre dans la résolution des problèmes, il est difficile’ de rien dire de général à cet égard sans tomber dan* le vague. Il est évident d’abord que pour apercevoir comment les conditions données déterminent ce que l'on cherche, il faut étudier toutes ces conditions séparément, puis dans leur ensemble; et comme elles n’existent ensemble que quand la construction demandée est exécutée, on s’exprime ordinairement en disaut qu’on suppose le problème résolu. Mais après cela , si l’on veut chercher comment les diverses parties de cette construction dépendent les unes des autres et se ramènent à un petit nombre d’entre elles, et comment celles-ci se ramènent à d’autres- connues, c’est ce que l’on ne pourra faire que quand la nature de la question sera déterminée, et il serait inutile de chercher à cet égard des règles générales.

Il en est de même de la démonstration des théorèmes-, dire qu’il faut les ramener à d’autres plus simples , c’est à peu de chose près ne rien dire : on ne peut indiquer de marche positive que quand on désigne au moins le £enre de la proposition.

Or, moins il est possible de prescrire de règles générales, plus il est nécessaire de faire des recherches particulières, et c’est peut-être dans la .Géométrie que cette nécessité se fait le plus sentir. Nous devons donc recommander aux élèves de résoudre le plus grand nombre possible de questions, et surtout de les résoudre complètement et d’examiner toutes les circonstances particulières qui peuvent s’y rencontrer. Nous leur offrirons un assez grand nombre d’exercices de ce genre; nous y avons joint des solutions succinctes qu’il ne leur restera plus qu’à développer. .

. ( Si )

Nous allons ajouter quelques observations aux généralités précédentes et faire connaître l’avantage qu’il peut y avoir quelquefois à intervertir l’ordre qui semble le plus naturel entre les données et les résultats demandés.

De la marche A suivre dans la résolution de certains Problèmes de Géométrie.

56. Dans tout problème graphique, on donne certaines choses construites, et on propose d’en construire d’autres liées d’une certaine manière à celles-ci. Or , il arrive souvent que lès choses à construire peuvent être exécutées isolément des premières» et que la seule difficulté consiste à leur donner la position qu’elles doivent avoir relativement à celles-ci. Dans tous les * cas de ce genre , il y a deux marches à suivre : on peut partir ’ des constructions données , et opérer sur elles jusqu’à ce que l’on ait obtenu celles que l’on demandait , et alors le problème est résolu : ou bien commencer par coostruire&les choses qui doivent avoir les rapports demandés avec lès données, et d’après ces mêmes rapports construire sur elles ces données ; il en résultera un système identique avec celui que l’on cherchait, puisque les données et les résultats y seront liés de la manière demandée; il ne restera donc plus qu’à en reporter les diverses parties au lieu oh on avait voulu que la construction fût exécutée.

Il peut se faire que le système auxiliaire ne soit pas identique avec celui que l’on cherche, et lui soit seulement semblable; c’est ce qui arrive quand les grandeurs absolues des résultats ne sont pas données, et que l’on ne connaît que leurs rapports. Dans ce Cas, au lieu de reporter sur le premier système des partiel égales à celles du second , on les porte proportionnelles, et dans un rapport déterminé par deux grandeurs homologues quelconques.