CHAPITRE V

De la mesure des quantités géométriques.

Ü7. INI kscrer une chose, c’est trouver son rapport à l’unité: toute la théorie des mesures doit dono se réduire à trouver , de la manière la plus simple, le rapport de deux quautités de meme espèce.

Les quantités les plus faciles à comparer entre elles sont les nombres entiers, et c’est à eux par conséquent qu’on a dû. chercher à ramener toutes les autres. A cet effet, on conçoit l’unité portée sur la grandeur à mesurer, et si elle y est contenue exactement, le nombre entier qui en résulte est le rapport demandé. Si elle n’y est pas contenue un nombre entier de fois, on imagine les 1 deux grandeurs décomposées en parties respectivement égales’; le rapport des deux nombres entiers résultans est le rapport de la quantité proposée à celle qu’on a choisie pour unité, et donne par conséquent la mesure de la première.

Mais cette manière de procéder suppose qu’il existe une quantité qui puisse être contenue exactement tant dans l’unité que dans la grandeur à mesurer , c’est-à-dire que ces dernières aient une commune mesure. Or il peut arriver que deux quantités n’en aient pas , et alors elles ne sauraient être décomposées en deux nombres entiers de parties égales; leur rapport 11e peut donc être exprimé par celui de deux nombres entiers, ni même de deux nombres factionnaires; car celui-ci peut toujours se ramener au premier.

Cependant, comme on ne se fait une idée nette des rapports des grandeurs qu’en les ramenant à des rapports de nombres , on est obligé dans ce cas de se contenter d’une simple approximation, et elle est encore préférable à l’idée vague que

l’on sc ferait du rapport de deux grandeurs, par la simple connaissance qu’en donneraient les yeux et le toucher. D’ailleurs cette approximation peut être poussée aussi loin qu’on le désire : car on peut partager l’unité en parties aussi petites qu’on veut , et en les portant autant de fois que possible sur la quantité à mesurer, le reste que l’on négligera étant moindre qu’une de ces parties , pourra devenir plus petit que toute quantité donnée, et le rapport que l’on obtiendra différera aussi peu qu’on le voudra du véritable. •

Telle est la marche à suivre quand les quantités peuvent être comparées immédiatement par superpositions comme, par exemple, les lignes droites, ou les arcs de cercle décrits de rayons égaux. On cherche d’abord leur commune mesure par le procédé arithmétique du plus grand commun diviseur, et on en déduit, comme nous l’avons dit, leur rapport en nom- . bres entiers.

Mais toutes les quantités ne se prêtent pas avec la même facilité aux superpositions. Ce qui se fait immédiatement pour les lignes droites, serait impossible, par exemple, pour les surfaces de polygones quelconques. Dan» ce cas, on- cherche à transformer les quantités en d’autres équivalentes , qui puissent être plus facilement divisées en parties égales. C’est ainsi qu’on ramène to.us les polygones au triangle, et le triangle au rectangle, parce que deux rectangles sont faciles à décomposer en parties égales.

Ayant ainsi ramené les quantités aux plus simples de leur espèce, on cherche s’il n’est pas possible de ramener celles-ci à des quantités d’une autre espèce et plus faciles à comparer. K 1 Nous avons déjà dit que les plus commodes étaient les lignes • droites et les arcs de- cerelc de rayons égaux ; ce sera donc à ces deux espèces de grandeurs qu’il faudra tâcher de ramener toutes les autres.

Les angles s’y réduisent facilement , parce qu’ils sont dans* le meme rapport que les arcs interceptés entre leurs ciUés et décrits de leurs sommets comme centre avec des ravons égaux.

Le rapport de ces arcs pourra donc être pris pour celui des

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angles, el la mesure des angles se trouve immédiatement ra-. » menée à celle des arcs décrits d’un même rayon. C’est ce qu’on exprime en disant qu’un angle au centre a pour mesure l’arc compris entre ses côtés : on veut dire par là que si l’on décrit du même rayon un cercle ayant son centre au sommet de l’unité d’angle , et qu’on prenne l’arc intercepté pour unité d’arc, 1% mesure de l’angle proposé sqra exprimée par le mémo nombre que celle de l’arc compris entre ses côtés.

Les angles dièdres s’y ramènent immédiatement, parce qu’ils sont dans le même rapport que les angles rectilignes formés par les perpendiculaires à l’arête menées par un même point dans chacun des deux plans.

Les arcs de rayons inégaux s’y ramèneront aussi , parce qu’ils sont entre eux comme les angles au centre multipliés par les l’ayons. I^eur rapport sera donc le produit du rapport de deux angles par le rapjiort de deux rayons : ce qui rentre dans les cas précédens.

Les polygones» pou va ut toujours se transformer en rectangles., et ceux-ci étant entre eux comme les produits des nombres qui exprimant les rapports de leur base et de leur hauteur à l’unité linéaire, la mesure de toutes les surfaces rectilignes se trouve ramenée à celle des lignes droites. L’unité de surface que l’on choisit ordinairement est le quarré fait sur l’unité de longueur’, par là, ou s’épargne la mesure de la hase et de la hauteur du rectangle pris pour unité, la multiplication des deux nombres résultans et la division des produits relatifs aux deux . rectangles. Oa dit alors qu’un rectangle a pour mesure le pro- K duit de sa hase par sa hauteur; ce qui signifie , comme on le voit,.que son rapport au carré de l’unité linéaire est le produit des rapports de sa hase et de sa hauteur à cette même unité. Les volumes des polyèdres se ramènent à ceux des pyramides, ceux-ci aux prismes , et enfin aux parallélépipèdes rectangles , etc. , dont la mesure se ramène à celle des lignes droites.

58. Quant à .la mesure des cercles et de leurs diverses parties, elle sc ramène à celle de leur circonférence et de leur rayon. Mais comme on ne connaît nas encore de moyen de ra-

mener le rapport d’une circonférence à une ligne droite à des rapports de deux arcs de cercle ou de deux droites, on est obligé de se borner à une approximation. Si l’on prenait un cercle pour unité de surface, lu mesure d’un autre cercle reviendrait à celle d’un carré, parce que deux cercles sont entre eux comme les carrés de leurs rayons ; mais alors la difficulté se retrouverait dans la mesure des surfaces qui ne seraient pas des cercles. C’est après avoir eu égard à toutes les considérations de ce genre qu’on s’est accordé à rapporter toutes les surfaces au carré : lorsqu’on veut ensuite passer à une autre unité, il suffit de prendre la mesure de cette unité par rapport à la première, et de diviser par elle toutes les premières mesures.

Semblablement , la mesure des surface cylindriques , coniques , sphériques et de» volumes compris par ces surfaces, se ramène à celle des circonférences et des lignes droites, et ne peut par conséquent s’effectuer par des superpositions.

La comparaison des quantités auxquelles on ne peut trouver de commune mesure entre elles, soit qu’elles puissent être supperposces , soit que leur forme ne le permette pas, s’opère au moyen de méthodes particulières qui méritent une attention spéciale, et dont nous allons donner une idée rapide.

Méthodes des limites et de la réduction à l'absurde.

5g. La méthode des limites ayant été exposée précédemment , il ne reste plus qu’à montrer comment on l’applique aux quantités géométriques. Supposons d’abord qu’il s’agisse de trouver la relation qui a lieu entre deux rectangles de même hauteur et leurs bases , quand ces bases 11 ’ont pas de commune mesure , sachant que les rectangles sont dans le même rapport que leurs bases, quand elles sont commensurables. Soient R et R' les deux rectangles, et a, a’ leurs bases. Imaginons un rectangle R" de tueme hauteur , ayant une base a" et commensurablc

avec a ; on pourra faire approcher a" de a! autant qu’on voudra, sans cesser d’être conunensurable a\ec a, car il suffira pour cela de décomposer a en parties indéfiniment décrois-

santés, et de les porter autant que possible sur a' , le reste sera moindre qu’une de oes parties, et par conséquent deviendra -aussi petit qu’on voudra ; a" a donc a' pour limite; et par suite R" a pour limite R', puisque leur différence est un rectangle qui a pour base la différence de a à a". Or , oji a