IV

La relation des limites sera donc — = — .

Deux rectangles de même hauteur sont donc toujours entre eux comme leurs bases. .

Prenons un seconif exemple où les quantités puissent avoir une communç mesure, sans qu’on sache la découvrir. Soient lieux cercles de rayons différons ; on demande la relation entre leurs circonférences et leurs rayons. Pour y parvenir , on cherchera la relation entre des quantités qui puissent s’approcher indéfiniment des deux circonférences ; on choisira à cet effet des polygones inscrits; on les prendra, pour plus de simplicité, réguliers ; et pour les comparer plus commodément , on leur donnera le même nombre de côtés. Désignant leurs périmètres par P , P', les rayons par R et R', on sait qu’ils satisferont à la relation suivante , quel que soit le nombre de leurs côtés,

Or, on démontre facilement, en circonscrivant des polygones semblables , que P et P' peuvent s’approcher autant qu’on veut des circonférences G, C' ; donc la relation de cellesci sera

Il est inutile de citer un plus grand nombre d’exemples , pour laire concevoir l’esprit de cette méthode, connue sous le nom

tic Méthode des limites. Il est clair qu’on peut l’appliquer si l’on veut à des quantités qui auraient une mesure commune, et qui seraient moins commodes à ^comparer que celles qu’on leur substituerait. .

60. La seconde méthode à laquelle on donne le nom de réduction à F absurde , consiste à démontrer que la relation demandée est d’une certaine forme, par l’absurdité qu’il y aurait à supposer qu’elle fut de toute autre. Il faut donc assigner d’abord une forme à la relation , puis énumérer toutes celles qui pourraient êtres supposées si celle-là était fausse , et enfin démontrer pour chacune d’elles qu’elle est impossible.

Ainsi dans le premier exemple cité on aurait dit : deux rectangles de même hauteur sont eutre eux comme leurs bases , meme quand elles sont incommensurables; car si cette proportion n’a pas lieu, on pourra en établir une entre ces trois premiers termes , et un quatrième qui sera hécessaireihent plus petit ou plus g^pnd que le correspondant des quatre premiers. On aura alors deux démonstrations à faire , et elles sont si connues que nous ne prendrons pas la peine de les rappeler ici.

Quand au second exemple , on aurait commencé par avancer que deux circonférences sont entre elles comme leurs rayons ; pour cela on aurait*supposé que cette proportion fût fausse , et on aurait vu qu’il serait toujours possible d’eû former une avec les trois premiers termes et un quatrième p'ius petit ou plus grand que son correspondant; ce qui aurait encore conduit à deux démonstrations d’impossibilité.

61. Cette dernière méthode, la seule employée par les "anciens , a été conservée jusqu’ici , dans les éléinens , avec le même respect que toutes les autres formes que les premiers géomètres employaient , faute des ressources que nous possédons aujourd’hui. Examinons à laquelle des deux on doit donner la préférence. ,

La méthode de réduction à l’absurde , présentant la vérité Sous forme de théorème, suppose connu ee que l’on cherche ; la seconde indique la marche à suivre pour le découvrir ; elle est

donc réellement la méthode d’invention : sous ce rapport , elle mérite la préférence.

Mais, non-seulement elle est supérieure sous le rapport de l.v marche, elle l’est encore presque toujours dans les détails. II est généralement plus facile de faire nn choix commode de variables , que de disposer les constructions qui doivent faire ressortir l’absurdité, et d’ailleurs U y a toujours plusieurs suppositions à faire, qui entraînent autant de démonstrations distinctes-, tandis que par la méthode des limites, on n’a jamais Qu’une seule relation à trouver , celle des variables. Il y a plus , la méthode de réduction à l’absurde , déjà inférieure à celle dâs limites dans les cas où elle peut être employée, devient inapplicable quand on s’éloigne des élétnens. La simplicité des relations a permis d’énoncer comme théorème les rapports des cercles et de leurs rayons , d’autant plus qu’on s’y trouvait conduit par la considération des polygones inscrits, qui était aussi indispensable , comme induction , que dans la méthode des limites. Mais quand il s’agira d’évaluer les aires des courbes de nature quelconque, ou en général de trouver des relations compliquées, la forme théorématique deviendra tout-à-fait déplacée, et on sera obligé de Revenir à la méthode des limites qui présente toujours un problème , et de plus entre dés quantités plu6 simples que les proposées. Or, puisque celte dernière méthode est indispensable dès qu’on avance dans la science, et -qu’elle est déjà supérieure dans les él émeus , on doit lui donner constamment la préférence.