CHAPITRE VI

G corné trie descriptive.

fia. Cette partie île la Géométrie a pour objet île ramener autant que possible les constructions dans l’espace, à des constructions sur un seul plan. A cet effet on rapporte les |>oints à deux plans fixes perpendiculaires entre eux , et on les détermine par les pieds des perpendiculaires abaissées de ces points • sur les deux plans ; ces pieds sont*ce qu’on appelle les projections des points correspondais.

Les lignes se déterminent par la suite des projections de leurs difiérens points qui forment deux lignes placées respectivement sur les deux plans de projections; de sorte que les lignes dans l’espace , sont l’intersection de deux surfaces cylindriques perpendiculaires aux plans de projections, et ayant respectivement pour directrices les projections de ces lignes.

Quant aux surfaces, on les détermine par les élémens de leur génération. Ainsi une surface conique est donnée par son centre et sa directrice; une surface.de révolution par son axe et sa génératrice ; et ainsi des autres surfaces dont on donne le mode de génération. De cette manière, toutes les quantités géométriques seront déterminées par des projections faites sur les deux plans rectangulaires , et toutes les constructions dans l’espace se ramèneront déjà à des constructions sur ocs deux plans.Enlin , on les réduira toutes à un seul plan , en rabattant l'un des plans île projection sur l’autre par un quart de révolution autour de leur ligne d’intersection, qu’on nomme ligne de terre. En opérant ainsi, toutes les constructions s’exécuteront sur un même plan et détermineront celles de l’espace, auxquelles elles ne feront pas identiques , mais qui s’eu déduiront par la liaison simple des points avec leurs projections.

fi3. Or, il ne sifflit pas que les constructions flans l’espace soient déterminées |«r d’autres , il est souvent necessaire (Te les connaître par elles - mêmes ; et il reste à indiquer les moyens à employer pour construire sur le plan donné, toutes les parties du système dans l’espace , et en déduire ensuite le solide même que l’on 'voudrait déterminer matériellement.

Si par exemple il s’agit d’une construction plane quelconque dans l’espace, on concevra que le plan où clic est renfermée se ralwtte sur l’un oif l’autre des deux plans de projection , ou sur tout autre plan parallèle; on déterminera la position de tous les points après ce rabattement , et on connaîtra alors la véritable forme de ce qbi n’était donné d’abord qu’en projection.

S’il s’agissait de construire Tin polyèdre donné par les pro- * jections de tous ses sommets, on commencerait par déterminer^ comme il vient d’être dit , la forme de ses différentes faces, et leurs inclinaisons mutuelles. Si l’on voulait ensuite former matériellement ce polyèdre avec un bloc donné, on y traccrèût d’abord l’une quelconque des faces ; à chacun de ses eûtes , on taillerait le bloc suivant des plans faisant avec la base les angles connus; on tracerait sur ces. divers plans les faces déterminées précédemment , et on^ continuerait ainsi jusqu’à la confection entière du polyèdre.

SI l’une des faces du solide était courbe et du genre de celles qui sont engendrées par la ligne droite , on déterminerait toutes les autres faces et leurs inclinaisons, puis on construirait comme tout-à-l’hsure le solide correspondant; et il ne resterait plus qu’à tailler la dernière face. C’est à quoi l’on parviendrait en déterminant les points extrêmes de la droite génératrice dans un grand nombre de positions, et taillant le bloc jusqu’à ce que la règle put s’appliquer exactement sur la surface, depuis un quelconque de ces points jusqu’à son correspondant.

On emploira des procédés analogues dans les cas plus compliqués; on développera sur un plan les surfaces qui en seront susceptibles , et on taillera sous la même forme des matières

( fil )

flexibles,- auxquelles on fera repreujlre la forme convenable en les- appliquant sur le corps que l’on aura à construire. Une foule de moyens de ce genre sont parfaitement connus des .ouvriers; et quand on leur donne les élémens des constructions que fournit la Géométrie descriptive , ils parviennent sans difficulté à la détermination des solides avec toute l’approximation qu’on peut* désirer.

La Géométrie descriptive remplit donc deux objets; elle donne par des constructions planes la solution des problèmes de Géométrie dans l’espace, et elle fait connaître tout ce qui est nécessaire à l’exécution matérielle des solides dont on peut avoir besoin dans les arts. Nous, n’entrerons pas dans de plus grands détails sur les diverses questions que cette théorie peut offrir ; ‘elles se trouvent exposées avec, tant de clarté dans les ouvrages de M. Monge, que nous croyons inutile d’y rien ajouter. Nous nous bornerons- à en indiquer les principales applications. •

6‘ï. La coupe des pierres est un des arts qui en tirent le plus grand parti. La construction des voussoirs peut devenir tellement compliquée par les diverses circonstances qui se rencontrent dans les édifices, que sans le secours de la Géométrie descriptive il serait quelquefois presque impossible d’en venir à bout. Ces- constructions s’exécutent, comme nous l’avons déjà fait connaître , au moyen des faces et de leurs inclinaisons.

65. La coupe des "bois ou la charpente se trouve dans le même cas , et en retire les mêmes avantages par des procédés analogues.

66. La théorie des .ombres , si utile pour la représentation exacte des corps, se fonde immédiatement sur la Géométrie descriptive; - on y a pour objet, de déterminer la courbe qui sépare l’ombre de la lumière sur un corps dont on connaît exactement la forme et la position par rapport au point lumineux. Cette courbe n’est aptre chose que celle de contact du corps avec une surface conique circonscrite, avant son centre au point lumineux, ou avec une surface cylindrique parallèle aux ravons de lumière si le point lumineux est à une distance latinie, comme

( Cu )

on le suppose pour la lumière du soleil. Ayant déterminé les projections de cette courbe , il 11e s’agit plus que d’en déduire l’effet qui. doit ea résulter £tir le tableau où s’exécute le dessin ; problème qui est du ressort de la perspective linéaire.

C7. La perspective a pour objet de déterminer sur une surface donnée lu trace de tous les rayons visuels partant d'un pointconnu , et terminés aux diffirens points d’un système de Jt pitres quelconque. La figure qui en résulte sur la surface de perspective produit sur la rétine un système identique de forme avec celui que produirait le système donné dans l’espace; et pour rendre l’illusion complète , il n’est plus besoin que de donner anx différentes parties du tableau tracé sur la surface, la coloration et le degré de lumière qui se trouvent dans les parties correspondantes des objets donnés. Ou-dé terminera alors, comme nous l’avons indiqué précédemment, les projections des courbes de séparation d’ombre et de lumière, et on en déduira l’intersection de la surface du tableau avec le cône qui aurait son centre à l’œil de l’observateur, et pour directrice cette courbe même. Ces lignes de séparation sont d’un grand secours pour donner une idée nette des formes en relief, d’après leurs représentations sur une surface qui le plus souvent est plane ; et leur efièt est tel , qu’il suffit presque à lui seul pour faire ressortir avec évidence les diverses sinuosités des objets. Mais plus ces lignes sont caractéristiques, plus elles exigent de précision, puisque la moindre erreur inilue sur la forme qu’elles font supposer aux corps qu’elles représentent : on ne saurait donc apporter trop de soin à leur détermination , ni trop employer à cet effet les procédés de la Géométrie descriptive. Cette science est en général trop négligée par les artistes , et il en résulte souvent dans leurs tableaux des fautes grossières, des contre-sens choquans, qu’ils auraient évités au moyen des notions élémentaires de la Géométrie descriptive. * :

68. Il est encore dans la perspective des lignes aussi essentielles que les courbes de séparation d’ombre et de lumière ; ce sont celles que déterminent sur les surfaces, les rayons visuels extrêmes; on* les nomme courbes apparentes-, elles séparent

ta partie visible <le la pariie invisible, et déterminent sur le tableau le contour où se termine la perspective de l’objet. Ces courbes ne sont autre chose que celles de contact du corps avec le cène circonscrit ayant son centre à l’œil; on trouve par cette condition leurs projections et par suite leur perspective sur le tableau.

Ayant ainsi déterminé sur le plan du tableau toutes les figures nécessaires, on le rabat sur l’un des plans de projection , et on a ainsi la perspective exacte du système proposé. Il ne reste plus qu’à placer les couleurs, ce qui est du ressort de la peinture. Mais il faut bien se pénétrer de cette vérité, que la perspective linéaire ou l'esquisse est la partie la plus essentielle, et que sans elle la perfection dans le reste ne serait rien, tandis qu’elle suffit à elle seule pour représenter les elTets principaux.

^ Il est inutile de pousser plus loin les exemples. Les applications de la Géométrie descriptive s’étendent à tputes les ques- * tions -où l’on a à considérer des points dans l’espace ; l’Architecture , la Topographie, et uno* foule d’arts mécaniques où l’on a besoin d’une description exacte de machines, en retirent les plus grands avantages; et il serait à désirer que son étude fût regardée comme aussi indispensable daris tous ces arts que les procédés techniques qu’on s’est habitué à regarder comme suffisans.