CHAPITRE PREMIER

De l' objet qu'on se propose dans celle application.

fig. Ti outjî quantité étant susceptible d’être exprimée en nombre, il est facile de juger que toutes les questions sur les grandeurs, de quelque nature qu’elles soient, peuvent être ramenées à des questions sur les nombres; car pour déterminer une . quantité concrète, on peut se proposer de trouver son rapport à une autre connue de même espèce.

Pour résoudre ainsi par le calcul une question de Géométrie , on imagine d’abord les quantités données et les inconnues exprimées en nombres et représentées par les caractères généraux de l’Algèbre ; puis on cherche à établir des équations entre ces nombres d’après les conditions géométriques de l’énoncé. La question étant ainsi transformée , on la résout d’après les procédés de l’Algèbre , et il ne reste plus qu’à repasser du résultat analytique au résultat géométrique , et c’est ce qui peut se faire de plusieurs manières, suivant la nature de la question.

Si l’on s’est proposé de déterminer la valeur numérique d’une ligne (et nous savons que c’est aux lignes qu’on ramène toutes les quantités géométriques), on substitue dans la formule algébrique qui la représente les valeurs numériques trouvées pour l’expression des données en nombres , et l’on trouve ainsi le

nombre d’unités et de parties d’unités contenues dans la ligne cherchée que l’on peut alors facilement construire.

Si au contraire on a pour but de trouver une construction au moyen de laquelle on puisse déterminer la grandeur inconnue d’après les données non exprimées en nombres, alors le passage par l’Algèbre n’a d’autre objet que de faire connaître de quelle manière l’inconnue se compose avec les quantités données en les supposant toutes réduites en nombres, et il ne s’agit plus que de trouver une construction géométrique qui représente cette composition analytique. Il existe des moyens généraux très simples d’opérer ce passage pour toutes les fonctions rationnelles et certaines classes d’irrationnelles.

Enfin , si l’on se propose la démonstration d’un théorème , on cherche à représenter par une équation les relations renfermées dans l’énoncé géométrique , en désignant toujours les nombres par des signes généraux; on exprime ensuite par des équations toutes les relations qui dérivent des données, et on tâche, en les combinant soit entre elles soit avec d’autres connues, d’en déduire celle qui. représente l’énoncé géométrique proposé. Le tliéorème se trouve alors démontré; il n’y a plus besoin, comme dans les deux cas précédens, de repasser de l’analyse à la Géométrie : tout est réduit à un simple calcul, dès qu’on a trouvé la traduction de l’énoncé en langage algébrique.

Tels sont les diiïérens genres de questions que présente l’application de l’Algèbre à la Géométrie; nous allons les exami uer successivement , et nous tâcherons de faire connaître l’esprit des diverses théories qu’elles renferment, et des méthodes qu’ou y