CHAPITRE HI

De la Trigonométrie.

71. La Trigonométrie a pour objet de déterminer les valeurs numériques des côtés et des angles d’un triangle quand on connaît les valeurs numériques des quantités par lesquelles il est déterminé ; c’est ce qu’on appelle résoudre un triangle.

Pour résoudre ce problème dans toutes les circonstances qu’il pouvait offrir, il était nécessaire et suffisant de trouver des relations générales entre les côtés et les angles d’un triangle ; car alors la détermination des quantités inconnues se serait ramenée à une simple résolution d’équations. Mais la différence de nature des angles et des côtés conduisant à des relations trop compliquées pour pouvoir être employées avec avantage , ou

a renoncé à faire entrer .les angles clans le calcul, et on a cherché à leur substituer des quantités qui pussent les déterminer ou être déterminées par eux d’une -manière simple, et qui en même temps pussent être facilement comparées avec les côtés des trianjgles.

La première idée que l’on a eue a été de déterminer les angles par les cordes qu’ils sous-tendent , eu supposant leur sommet au centre d’un cercle connu ; mais on a abandonné ce moyen pour un autre plus commode. On a suppose semblablement les angles formés par deux rayons d’une circonférence connue , et on les a déterminés soit par la perpendiculaire abaissée de l’extrémité d’un des rayons sur le second , soit par la tangente au cercle menée par l’extrémité d’un des rayons et terminée au second prolongé, soit enfin par la distance du centre au point où ce rayon prolongé rencontre la tangente. Ces trois lignes ont reçu respectivement les noms de sinus , tangen te et sécante de l’angle. On a nommé cosinus , cotangente , cosécante du même angle les sinus, tangente et sécante de son complément; et il est évident que tous les angles moindres que l’angle droit sont entièrement déterminés par une quelconque de ces six lignes ; il en serait de même pour les angles compris entre un et deux angles droits , entre deux et trois, entre trois et quatre. Mais quand on ne sait pas d’avance entre lesquelles de ces limites doit se trouver l’angle cherché , il ne suffit plus de donner la valeur d’une ou meme de plusieurs de ces lignes , il faut encore y joindre certaines circonstances dont nous parlerons plus tard. Ainsi l’angle détermine sans ambiguité toutes les ligues trigonométriques dont nous avons parié ; tandis que celles-ci peuvent convenir à la fois à plusieurs angles , et nécessitent par conséquent des données de plus pour ôter toute incertitude (*).

Cela posé , on a formé une table où l’on place tous les angles de seconde en seconde , ou seulement de minute en miuute, depuis ïéro jusqu’à un demi-angle droit, ce qui a suffi pour tous les cas, à cause de la. symétrie des lignes suivantes. La distance de

(*) Voyez l'Application de l’Algèbre b la Géométrie , de Pn-vnainl.

deux angles consécutifs est assez petite pour qu’on puisse , sans erreur sensible , substituer à un angle quelconque celui qui en approche le plus dans la table-, car l’erreur sera toujours moindre que la moitié de cette distance : cette table donnera donc le moyen de. déterminer les angles par leurs lignes trigonométrie ques , et réciproquement ; il ne restera plus ensuite qu’à trouver les relations générales qui lient ces lignes avec les côtés des triangles , ce qui n’offre aucune difficulté.

La construction de cette table a offert un travail très long , vu le grand nombre d’angles dont on a été obligé de calculer les lignes trigonométriques. On obtient le sinus et le cosinus d’un angle par le moyen des séries suivantes ,

sin x = x —

cos x = î —

Dans ces séries , x représente le rapport de l’angle proposé à celui auquel est opposé un arc égal au rayon du cercle, et dont la valeur est connue avec beaucoup d’approximation. Comme elles sont très convergentes, il suffira pour chaque valeur de x d’ijn calculer un très petit nombre de termes ; l’erreur sera toujours moindre que le premier des ternies négligés (*). Le sinus et le cosinus étant déterminés, on en déduira sans peine les quatre autres lignes , au moyen des relations très simples qui les lient les unes avec les autres.

Connaissant la table des angles et des lignes trigonométriques correspondantes , ainsi que les relations des côtés d’un triangle quelconque avec les lignes trigonométriques de ses angles , on peut résoudre les triangles dans tous les cas où l’on connaît un nombre de données suffisant à leur détermination. Nous n’entrerons pas dans le détail des transformations de toute espèce qu’on peut faire subir aux- formules trigonométriques, pour les rendre plus facilement applicables aux différons problèmes

(*■) Voyez le n° lüGdes Nous de Reynaud sur l'Algèbre.

qu’on peut avoir à résoudre ; nous nous bornerons à la préparation générale qu’on leur fait subir , pour que le calcul des logarithmes y devienne applicable.