CHAPITRE IV

Sur l application des logarithmes aux calculs trigonomé triques.

72. Les angles croissant dans la table par degrés très petits , les différences entre leurs lignes trigonométriques successives seront, passé un certain point ,'très petites par rapport à ces lignes. Ces dernières devront donc être exprimées par un grand nombre de chiffres , soit qu’on prenne une unité très grande ou très petite , par rapport au rayon ; le calcul en serait donc très pénible , si on ne le facilitait au moyen des logarithmes : et c’est ce que l’on a pu faire dans tous les cas.

En conséquence, on a cherché les moyens de rendre le calcul des logarithmes d’une application commodé pour toutes les formules. On a d’abord joint à la table des lignes trigonométriques celle de leurs logarithmes, pour éviter la peine de les calculer à chaque fois , et on a pu aussi y mettre une plus grande précision , puisque c’était un travail fait une fois pour toutes : on s’est même dispensé de donner les valeurs de ces lignes, et l’on s’est contenté de placer leurs logarithmes à côté de l’angle correspondant Voilà ce que l’on a fait quant à la disposition de la table : voyons ce que l’on a dû faire dans la préparation des formules.

Pour qu’on puisse déterminer le' logarithme d’une expression au moyen de ceux des quantités qui. y entrent, il faut que ni celles-ci ni aucune fonction d’elles n’y soient combinées par addition ou soustraction : il est donc nécessaire de transformer toutes

Digiti.

les expressions en produits ou quotiens de puissances quelconques de quantités dont la table fasse immédiatement connaître les logarithmes : tout se réduit donc à indiquer des moyens généraux d’opérer cette transformation.

73. Dans quelques cas particuliers ce problème se résout d'une manière simple, mais à laquelle on n’a cherché à donner aucune extension. On a montré comment on pouvait transformer en produit la somme ou la différence de deux sinus ou de deux cosinus \ je vais faire voir comment on y peut ramener la somme ou la différence de deux fonctions monomes quelconques :

Soit l’expression Alt: B, dans laquelle A et B désignent deux fonctions monomes quelconques de lignes trigonométriques et autres facteurs. Si chacune de ces fonctions est moindre que le rayon R de la table, on posera A = sin x , B = sin y, et l’on calculera x et y par ces deux équations auxquelles les logarithmes seront immédiatement applicables ; il ne restera donc plus qu’à transformer en produit smxzhsinj', ce qui n’offre aucune difficulté. Si A et B ne sont pas plus petits que le rayon R, on les divisera par une quantité R dépendante de leur forme, et telle que les quotiens soient moindres que R; ce qui sera toujours facile à faire, puisqu’il suffira de diviser par le produit de tous les facteurs plus grands que R : on rentrera alors dans le cas précédent ,

— ± -) devenant R(sinx ±smy).

Il est inutile de dire qu’on aurait pu semblablement égaler A et B à deux cosinus, puisque leur somme ou leur différence se change aussi facilement en un produit

74. On peut encore donner un autre moyen général de transformer un binôme en un monomc.

Si l’on a une différence A — B, on la mettra sous la forme

1 — — \ Si — est plus petit que l’unité, on pourra égaler

— au carre d un

sinus ou d’un cosinus, et A — B deviendra

A(i— *sra*ir) ou Acos’x, x étant un angle déterminé par

Ôtc|

l’équation — = sin 3 x à laquelle on peut appliquer immédia- A

tement les logarithmes. Si — est plus grand que l’unité, on posera

— - =sec® x , et il viendra A — B = A(i — sec® x) = — A tang 3 *.

Si l’on a-yait au contraire une somme A+B, on diviserait

par A et on poserait --:=tang x; ce qui peut toujours avoir A .

lieu , puisque les tangentes passent par tontes les valeurs depuis o jusqu’à l’infini; on aurait alors A+B=A(i-f-tang 3 x)=Asec\r.

Ces divers procédés ne sont susceptibles d’aucune exception et donnent le moyen de transformer en un produit la somme on la différence de deux monomes , et par conséquent de proche en proche d’un polynôme quelconque : par là les logarithmes peuvent être appliqués à tous les calculs de la Trigonométrie, et la promptitude des opérations se trouve réunie à la précision des résultats. >