CHAPITRE Y

De V hornogéàéilé en général.

j 5 . Lorsqu’on veut résoudre par le calcul uné question sur des quantités d’une nature quelconque, on les suppose tontes exprimées en nombres par rapport à une unité arbitraire de la même espèce, et on cherche à établir des relations entre ces nombres d’après les conditions qui lient entre elles les quantités qu’ils représentent. Si l’on peut parvenir à établir ces équations, il est évident que leur forme sera indépendante de l’unité, puisqu’on n’y a eu nullement égard ; les nombres seuls qui expriment les quantités varieront avec l’unité, mais leur combinaison sera toujours la même ; et tant qu’ils seront représentés par des sym-

I h > les généraux , les équations ne subiront aucun changement. Examinons les conséquences qui en résultent sur la forme de ces équations.

Concevons d’abord que l’on ait pris une des quantités données pour unité , les nombres qui représenteront les autres seront leurs rapports avec celle-ci , et c’est entre ces rapports que les équations auront lieu. Que l’on imagine ensuite qu’on passe à une autre unité quelconque, toutes les quantités seront exprimées par des nombres qui seront aux premiers dans le rapport inverse des deux unités, mais leurs rapports entre elles ne changeront pas, et par suite les équations primitives auront encore lieu. Or tous les termes de ces équations , n’étant que des fonctions de ces rapports, contiendront au numérateur et au dénominateur le même nombre de facteurs provenant de l’expression des quantités en nombres : si donc on chasse les dénominateurs, tous les termes auront un même nombre 'de facteurs marqué par leur dénominateur commun. Cette égalité entre les nombres dé facteurs qui se trouvent dans chaque terme et qui proviennent de l’expression en nombres des quantités en question, a reçu le nom d’homogénéité : on voit qu’elle existe dans toutes les équations que peut fournir une question quelconque sur des quantités de quelque nature qu’elles soient. De plus, il est clair qu’elle se conservera dans tous les calculs qui se déduiront de ces premières équations : car les transformations ne feront jamais q u’augmenter ou diminuer également le degré ou le nombre des facteurs de chaque terme; et d’ailleurs rien n’einpèche de supposer que l’on ne passe à l'unité arbitraire qu’à Iafin du calcul, et nous venons de voir que ce passage produit toujours l’homogénéité.

76. Si la question renfermait des quantités d’espèce» différentes , on les supposerait toutes exprimées en nombres au moyen d’une unité de leur espèce respective, et les raisonnemens précédens feront voir que l’homogénéité aura lieu par rapport à chaque espèce en particulier; c’est- à-dire qu’il y aura dans chaque terme un nombre égal de facteurs relatifs aux quantités d’une même espèce : d’où il suit qu’il faut au moins deux quantités de., chaque espèce; si la question n’en renfermait qu’une seu’e . on

serait obligé d’en introduire une autre, et pour que l’cquation fût invariable , il faudrait que cette dernière quantité eût une valeur qui s’annonçât dans le calcul par des propriétés spéciales. C’est ce qui a lieu par exemple pour les angles , parefc que quelques-uns ont des propriétés que n’ont pas les autres; mais il n’en serait pas de même des lignes , et l’on ne pourrait par conséquent proposer de mettre en équation une question où il n’en entrerait qu’une seule.

11 peut arriver que les quantités d’une même espèce que renferme une question se partagent en classes qui ne puissent se mêler d’une manière quelconque , et qu’eHes n’entrent dans une même équation que par leurs rapports avec d’autres de la même classe; c’est ce qui arrive, par exemple, dans la Trigonométrie : les côtés des triangles ne peuvent se combiner arbitrairement qu’entre eux, et toutes les fois qu’on les compare aux lignes tri— gonométriques, il n’entre dans les équations que les rapports de ces côtés entre eux et de ces lignes entre elles. Dans tous les cas de ce genre il y a homogénéité par rapport à chaque classe, puisque tous les termes ne renferment que des rapports de quantités d’une même classe ; et l’unité peut être prise differente pour chacune. Ainsi on pourra prendre le rayon pour unité des lignes trigonométriques , et toute autre ligne pour unité des côtés des triangles.

77; Si dans une question quelconque on prend une des quantités données pour unité , les équations homogènes que l’on pourrait avoir obtenues cessent d’en présenter l’apparcuce , parce qu’un des facteurs devenant le nombre 1 011 se dispense de l’écrire : mais l’homogénéité existe toujours, puisque ce fac- * teur 1 provient de l’expression d’une quantité en nombre, et elle reparaît sous la forme ordinaire dès qu’on passe à une unité arbitraire.

Quelquefois aussi l’homogénéité peut exister sans être apparente, quoiqu’on n’ait fait aucune hypothèse particulière sur l’unité : si l’on considère , par exemple, l’équation du mouvement uniforme c—vt dans laquelle c désigne un espace, v une vitesse , et t un temps, il semble qu’elle a lieu entre trois quan-

tités d'espèces différentes; mais v est le rapport de la vitesse du mobile proposé à celle d’un autre mobile qui dans l’unité de temps parcourrait l’unité de longueur, et l’on substitue ordinairement à ce rapport celui des espaces parcourus; alors le nombre v représente l’espace parcouru par le mobile pendant l’unité de temps et rapporté à l’unité de longueur ; il y a donc homogénéité relativement aux espaces. Quant au temps, on observera que l’espace v varie en raison inverse de l’unité de temps , et que par conséquent il peut être considéré comme le quotient d’une quantité indépendante de cette unité par l’expression en nombre d’un certain temps déterminé ; l’équation est donc encore homogène par rapport au temps.

Généralement, lorsqu’une équation renfermant plusieurs espèces de quantités ne paraîtra pas homogène par rapport a chacune, on verra que cela tient toujours à ce que les nombres relatifs aux quantités d’une espèce dépendront de l’unité d’une autre , et pourront être considérés comme les rapports de nombres indépendans de cette unité à l’expression en nombre d’une quantité de la seconde espèce : ce qui mettra en évidence l’homogénéité.

Tels sont les principes fondamentaux de l’homogénéité dans l’application du calcul aux grandeurs de toute espèce; on en a beaucoup abusé dans les démonstrations qu’on a voulu donner à priori d’un grand nombre de principes sur les différentes branches des Mathématiques; mais il n’entre pas dans mon objet de m’en occuper en ce moment; je n’ai voulu que poser les principes et non critiquer les applications qu’on en a pu faire.