CHAPITRE VI

Des Problèmes où Von fait servir le calcul à déterminer une formule de construction.

78. j>orsqu’on a trouve la formule algébrique qui représente une ligne, on peut, au lieu de la valeur numérique, chercher un procédé de construction qui dans tous les cas semblables conduise à la détermination de cette ligne. Ce procédé constitue ce qu’on peut appeler une formule de construction , et nous allons faire connaître ce que l’on peut établir de général à cet égard.

Considérons d’abord le cas d’une formule algébrique rationnelle , et commençons par la supposer monorae : comme elle doit être homogène, il devra y avoir un facteur de plus au numérateur qu’au dénominateur, et elle pourra être mise sous la forme

On construira d’abord une quatrième proportionnelle m au* lignes e, a, b, elle représentera — ; on en cherchera une autre , 11 . a b d

aux lignes e,m,d , elle représentera — X - ; et on continuera ainsi jusqu’au dernier facteur.

Si l’on a un polynôme rationnel homogène, on le ramènera facilement à un monome en mettant en facteurs communs tous les facteurs moins nn de l’un des termes , et il ne restera plus qu’à faire la somme de lignes exprimées par des monomes fractionnaires et rentrant dans le cas précédent : ainsi, par exemple,

le polynôme abc -f- dtf -f- ghh se mettrait sous la forme... ab^c -f- — £• -f- — ^ , on construirait les lignes représentées par

les expressions ^r- . on les ajouterait à la ligneac, et le

polynôme proposé serait devenu le produit de trois lignes connues.

Lorsque l’expression algébrique d’une ligne sera le quotient de deux polynômes rationnels, on ramènera chacun d’eux à un monomc et on agira ensuite comme nous l’avons indiqué.

79. Si l’homogénéité 11’était pas apparente, 011 l’établirait en introduisant où il serait nécessaire des facteurs ou diviseurs égaux à l’unité, parce que nous avons vu que cela ne pouvait provenir que de ce que l’on aura pris une des lignes en question pour unité , ce qui l’aura fait dispari.itre de tous les termes où elle entrait, soit comme facteur, soit comme diviseur.

Mais il y a plus : on peut, sans rien changer au résultat, introduire l’unité comme facteur ou diviseur, même dans les expressions homogènes dont on peut quelquefois faciliter ainsi la construction. Car on ne change pas par là la valeur numérique de l’expression, ni par conséquent la grandeur de la ligne correspondante.

Passons aux expressions radicales. Une racine s’extrayant par la division 'des exposans, le degré d’un terme soumis à un radical se trouve divisé par l’indice* de ce radical ; une ligne sera donc construite par un radical du degré m quand la quantité qui lui sera soumise sera de ce même degré. Les seules racines que l’on puisse extraire par des constructions simples sont celles dont le degré est une puissance de 2 ; elles se réduisent alors à de simples extractions successives de racines carrées; il suilit donc d’indiquer la construction générale de ces dernières.

Si la'quantité dont il faut extraire la racine carrée est du second degré, on la ramènera facilement à un monome composé de deux facteurs, entre lesquels on cherchera une moyenne proportionnelle qui sera la ligne demandée. Si le radical affecte une expression d’un degré différent du second, on commencera par

la réduire à un monoine et rendre son degré divisible par a en introduisant l’unité comme facteur s’il est besoin : puis on partagera le produit en facteurs du second degré, dont on extraira la racinp comme il vient d’étre dit, et le radical sera changé en un produit rationnel. On rendra ainsi toute l’expression rationnelle, et on construira ensuite comme nous l’avons indiqué ci-dessus.

Au moyen de ces principes on pourra trouver des formules générales de construction par la ligne droite et le cercle pour tous les problèmes dont la solution analytique conduira à des expressions rationnelles ou renfermant seulement des radicaux dont l’indice soit une puissance de 2.