CHAPITRE VII

De la détermination des points.

80. Beaucoup de problèmes de Géométrie ont pour objet de construire des points : pour y appliquer le calcul , il a fallu ra- ' mener la détermination des points à celle de certaines grandeurs : nous allons faire connaître les divers procédés qu’on a pu employer à cet effet.

On a supposé des objets fixes auxquels on a rapporté tous les autres , et l’on a pu choisir pour cela des points, des droites ou des plans. Si tous les points à considérer sont dans un même plan , on y prendra deux points fixes , et tout point se déterminera par ses distances aux deux premiers, ces données conviendront à deux points différens, excepté le cas où la distance des centres sera égale à la somme ou à la différence des rayons des deux cercles par lesquels on construit le point : la nature de la question déterminera lequel des deux points on doit prendre. On pourra encore déterminer les points par leur distance à un point et une droite fixe, ce qui se construira par la rencontre d’une droite et

d’un cercle en présentant encore une double solution. On pourra aussi les rapporter à deux droites fixes et les déterminer patleurs distances à ces droites; ces distances peuvent être dirigées sous un angle quelconque avec les premières, mais il est plus commode qu’elles leur soient respectivement parallèles. Enfin j on pourra prendre un point et une droite fixes et déterminer tout point par la longueur de la droite qui le joint au premier et par son inclinaison sur la droite fixe. Rien n’empêclierait de supposer un plus grand nombre de systèmes, mais on s’arrête à peu près exclusivement aux deux derniers comme offrant généralement des calculs plus simples, et donnant le moyen d’éviter l’ambiguité des solutions multiples par les signes qui affectent les quantités. Ainsi la détermination des points sur un plan se ramène à celle de grandeurs, soit linéaires, soit angulaires, qui sont dites les coordonnées du point qu’elles construisent.

81. Quant aux points situés d’une manière quelconque dans l’espace, on leur appliquera des procédés analogues. On les déterminera parleurs distances à trois pointsouà trois droites fixes ou à une combinaison quelconque de points et de droites au nombre de trois : ils se construiront alors par des rencontres de surfaces sphériques ou cylindriques. On peut encore déterminer les points par leurs distances à trois plans fixes, comptées parallèlement aux intersections de ces plans; ou par leurs distances à un point fixe, et les inclinaisons de ces distances sur trois droites fixes menées par le premier point. Enfin , on peut prendre un plan fixe, et par un point de ce plan mener une droite fixe , puis déterminer les points par leur distance au point fixe, par l’angle qu’elles font avec leur projection sur le plan primitif et par l’angle de cette projection avec la droite fixe. On pourrait multiplier à l’infini ces systèmes, mais on n’emploie ordinairement que les trois derniers, par les raisons que nous avons données pour les systèmes relatifs aux points dans un même plan.

Par là tous les problèmes sur la défermination des points revenant à des problèmes sur les grandeurs, les calculs de l’Algèbre y deviendront immédiatement applicables.

Des h eux géométriques des équations.

82. Pour qu’un point soit déterminé sur un plan, il faut que ses deux coordonnées le soient elles-mêmes; il faut donc qu’on ait entre elles deux équations. Chacune de ces équations considérée isolément convient à une inlinité de points contigus qui peuvent former une ligne d’une nature quelconque , et les points communs à ces deux lignes sont ceux dont les coordonnées satisfont aux deux équations à la fois ; ce seront donc les points cherchés , s’ils 11e sont assujettis qu’aux conditions exprimées par ces équations.

O11 a nommé lieu géométrique d’une équation, l’ensemble de tous les points dont les coordonnées satisfont à cette équation : on le construirait en faisant passer l’une des variables par toutes les valeurs possibles d’une manière continue, et déterminant à chaque fois la valeur de la seconde et par suite le point correspondant : on aura ainsi uuc suite continue de points qui formeront une ligne Unie ou infinie , composée d’une ou de plusieurs branches distinctes , suivant la nature de l’équation proposée.

Les lignes peuvent donc être représentées par des équations, et l’on peut faire servir l’Algèbre à la recherche de leurs propriétés : il "se présente à ce sujet deux problèmes généraux inverses l’un de l’autre, et qui comprennent toutes les applications de l’Algèbre à la théorie des courbes. Dans l’un 011 a pour objet de déterminer les propriétés géométriques des courbes d’après leur équation ; dans l’autre , de trouver leur équation d’après une propriété géométrique qui les caractérise exclusivement : dans le premier on passe de l’Algèbre à la Géométrie; dans le second de la Géométrie à l’Algèbre.

Si l’on considère les points situés d’une manière quelconque dans l’espace, ils seront déterminés par trois coordonnées; il faudra donc connaître trois équations entre ces quantités. Chacune de ces équations conviendra à une infinité de points, et les points communs à ces trois lieux seront les points cherchés , puisque leurs coordonnées satisferont ù la lois aux trois équa-

ir . -U

tiens. Ces lieux ne seront plus des lignes, mais des surfaces • car s. dans une équation à trois variables on donne une valeur à 1 une d’elles , d restera une équation à deux variables nui d apres les ra.sonne.nens précédens, déterminera une certaine I -gne : que l’on fasse maintenant passer la première variable par toutes les valeurs d’une manière continue, on aura une suite indéfinie de lignes contiguës dont l'ensemble ne peut former qu une surface.

Les surraces seront donc représentées analytiquement par des équation» à trois variables; et les lignes pouvant toujours etre considérées comme l’intersection de deux surfaces, se trouveront représentées par deux équations à trois variables : quant aux points, nous avons déjà dit qu’ils le seraient par trois équation». On pourra donc encore appliquer l’Algèbre à la théorie des surfaces et des lignes dans l’espace; et cette application conduira de même aux deux problèmes généraux dont nous avons déjà parlé au sujet des points sur un plan. Examinons la marche qu’il conviendra de suivre dans la résolution de ces

Méthode pour trouver les équations des lieux géométriques.

83. Pour trouver l’équation d’une ligne ou d’une surface determinee par des conditions géométriques données, on considérera un point quelconque de ce lieu, et on exprimera algébriquement, au moyen de ses coordonnées et d’autres quantités connues ou inconnues, toutes les conditions auxquelles ce point esl assujetti par la question : il en résultera des équations qui renfermeront le plus souvent, outre les coordonnées du point du lieu, d’autres variables qui en dépendront. Or comme on ne cherche qu’une équation où les seules variables soient ces coordonnées, il faudra, au moyen de ces équations , éliminer toutes les variables étrangères, et l’équation à laquelle on parviendra sera l’équat.on cherchée : car elle existera entre les coordonnées d un point quelconque du lieu proposé, et elle ne conviendra

qu’à ees points, .fi les équations employées représentent fidèlement les conditions géométriques et si le calcul n’a pas introduit de solutions étrangères.

Cette méthode est applicable à la fois aux lignes et aux surfaces. Mais pour ces dernières , quelquefois les données géométriques font connaître leur génération par lignes et non par points : dans ce cas on considérera , non plus un point général , mais une quelconque de ces génératrices; on déterminera ses équations ainsi que celles qui exprimeront toutes les conditions auxquelles elle est assujettie, et on éliminera de même toutes les variables autres que les coordonnées des pointe de la génératrice. On serait bien arrivé au même résultat en considérant un point unique; niais ce qu’on aurait voulu exprimer pour ce point seulement, on l’aurait exprimé malgré soi pour toute la génératrice , et tout se serait passé de la même manière.

84. Soient pour exemples les deux problèmes suivans où le lieu est déterminé dans le premier par points , et dans le second par génératrices.

Problème. Trouver le lieu des points à égale distance de deux points donnés.

Soient *, £, y et a , /B', y' les coordonnées des deux points donnés, et x' ,y’ , d celles d’un point quelconque du lieu- Si l’on appelle D et D' les distances respectives de ce dernier aux deux autres, on aura la condition D -= D'. Pour exprimer que ]) et D* sont les distances des points en question , on aura

IV ==(*' — et)* + (y' — Pf 4- (a — y)* ,

D> = <*' - «')* + (/ - fi')" + {d- y')*.

Toutes lès conditions étant exprimées, il ne reste plus qu’à éliminer les variables D et D', pour avoif une équation entre les coordonnées x' , y' , d seulement. Il vient alors

et enfin en réduisant et ordonnant ,

a(*'- a (*:— a)y> a (y' >K-f <y- «,'*) 4- Op— fi':-)

,+Xtfr-:4î'*),=e«fc

Cette lier mère équation existant entre les coordonnées d’un point quelconque du lieu , est l’équation même de ce lieu.

Problème. Trouver le lieu des intersections successives de. deux plans perpendiculaires entre eux et passant respectivement par deux droites données dans l'espace.

Soient les équations des deux droites données

x — az et, x = a' z -f- &' , y=bz+ fi, y= b'z + /*V

les équations des deux plans seront de la forme

Ax + By Ca -J- D = o, A'x -f- B'y -{- C'a -f- D' =r o.

On exprimera qu’ils passent respectivement par chacune des deux droites, au moyen des équations suivantes :

Art + Bi -p- C = o, A 'a' -f- B 'b' -j- C' rsz o,

A* “f* B£ -f- 1) — o , A aï -f- B'/ï' -p D' = o;

la condition qu’ils soient - perpendiculaires entre eux donnera AA' -4- BB' -f CC = o.

Ces cinq dernières équations exprimant toutes les conditions données , et les équations des deux plans ayant lieu pour tous les points de leur droite d’intersection qui est la génératrice du lieu proposé, il suffira d’éliminer entre ces sept équations les huit variables A, B , C, D, A', B', C, D', pour avoir une équation entre les coordonnées d’un quelconque des points d’une quelconque des génératrices , c’est-à-dire l’équation du lieu.

Il semble d’abord que les sept équations doivent être insuffisantes pour éliminer les huit coefficiens variables; mais on •observera que ces derniers peuvent être réduits à six en divisant les équations des deux plans par un de leurs coefliciens. Leur élimination est donc possible de cette manière; elle le sera donc aussi sans cette préparation , puisque les équations ne seront changées que par la simple suppression d’un facteur ; et on verra en effet, par le calcul, qu’après l’éîimi-

nation «le six des coefficiens , les lieux antres disparaîtront d’eux-mémcs de l’équation finale où ils seront facteurs à tous les termes. ■ x •

Des Solutions étrangères*

85. De quelque manière que l’on effectue l’élimination des variables auxiliaires, l’équation finale a lieu pour tous les points du lieu, si les «équations primitives leur convenaient à tous j car toute combinaison d’équations satisfaites le sera aussi par les mêmes vale.urs. Mais il peut se faire que le résultat contienne des solutions étrangères à la question , et cela pourra arriver de plusieurs manières. Cela petit tenir d’abord à ce que les conditions géométriques n’ont pu être exprimées par des équations qui ne s’appliquassent qu’à elles seules, ou à ce que l’élimination aura introduit des solutions qui ne se trouvaient pas dans les équations primitives ; et dans ces deux cas il est facile quelquefois d’en débarrasser l’équation finale , comme il peut se faire aussi qu’elles y restent sans qu’il y ait aucun moyen de les en faire disparaître.

Lors donc qu’on effectuera quelque élimination, il faudra examiner avec soin si les divers résultats intermédiaires n’admettent aucune autre solution que les équations d’où on les déduit; s’il s’en trouve et qu’on ne puisse les supprimer, il 'faudra les suivre dans tout le cours du calcul et voir de quelle manière elles modifient l’équation finale. 11 peut arriver que cès solutions soient susceptibles d’en être extraites, bien qu’elles ‘ n’aient pu disparaître des équations précédentes , et alors elles n’affecteront en rien le résultat cherché ; dans le cas contraire, on se bornera à ne tenir aucun compte tant de ces solutions que de tout ce qui s’y rapportera. 11 serait difficile de donner des règles générales sur ce point , et nous nous bornerons à quelques exemples que nous généraliserons autant que possible. '

86. Lorsque les points d’un lieu sont déterminés par une droite passant par un point constant, il arrive souvent que les coordonnées de ce point , satisfont à l’équation finale sans

convenir i la question ; car alors l’équation de cette droite est de la forme y — Q — A (x — *) ,

C et « étant les coordonnées du point fixe par lequel elle passe. Or , s’il entre dans A connue facteur au premier degré , une des quantités à éliminer, son expression sera de la forme m (y — :£)

t , et reportee dans les autres équations , elle les rendra satisfaites par y — Q, r = parce que tous les termes auront pour facteur y — S ou x — », quand on aura chassé les dénominateurs. Si donc ces équations n’admettaient pas d’ahord cette solution , elle sera étrangère , et on ne pourra cependant se dispenser de l’introduire.

• 87. Plus généralement , si une des variables à éliminer se pré- AF(r y)

sente sous la forme yr— — U— les deux fonctions F et F. ne ren-

fermant aucune autre variable que x,y, il est cl air. que les équations résultantes de. cette substitution admettront toutes les solutions des deux équations F(x,y) =0, F,(x,yj = 0, qui presque toujours seront étrangères à la question. IJ arrive quelquefois qu’elles se suppriment d’ellcs-mémes de l’équation. bualeit c’est ce qu’011 verra, par exemple, dans le problème suivant :

Problème. Trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d’un foyer de C ellipse sur ses tangentes. Soit l’équation de l’ellipse a'y 1 + Z> 2 x* = a J 6 a . Désignons par x , y' les coordonnées d’un quelconque de ses points , et par c l’abscisse du foyer ; il est facile de voir qu’on aura à éliminer x' et y' entre les trois équations suivantes ,

a % yy' ■+■ b*xx' = a* b 3 , • a” y ' 1 + b’x'* = a‘b* ,

P r , si l’on tire y de la dernière , on obtient

, 1 Vy

et la substituant, les équations résultantes admettront y ou x — c , comme facteurs à tous leurs termes ; elles seront donc satisfaites par^=o et x—c, ce qui donne le foyer par où passent toutes les perpendiculaires ; de plus, il est facile de voir que cette solution sera étrangère à la question , car "elle ne satisfait pas à la première équation. Achevant le calcul , on trouve une équation finale qui peut se mettre sous la forme

Lÿ* + (x — c)*] (y* — a •) = o.

Or, le facteur y* -f- (x — c)* étant égalé à o, donne précisément le foyer pour unique solution. Le supprimant donc , il reste pour le lieu cherché l’équation y % -f- x* — a a = o, qui détermine le cercle décrit sur le grand axe.

88. Voici maintenant un exemple du cas où la solution étrangère ne saurait disparaître du résultat:

Problème.- Trouver le lieu des points obtenus en prolongeant ttune quantité constante les rayons menés d’un point Jixe à une droite donnée.

En prenant le point fixe pour origine , et désignant par a et b la distance du point 'à la droite donnée et la quantité constante dont on prolonge les rayons, une simple proportion conduits l’équation suivante entre les coordonnées du lieu ,

Chassant lé dénominateur, on a la solution y — o, * = o , qui est évidemment étrangère, et ne peut cependant être supprimée de l’équation.