CHAPITRE tri
Sur la discussion des Equations des lieux plans.
&»■ (^uand on veut discuter le lieu plan d’une équation à deux variables et que cette équation peut être résolue par rapport a l’une d’elles, on donne successivement à l’autre toutes les valeurs depuis o jusqu’à ±: oo, et on voit quelles valeurs correspondent à chaque fois pour la première variable. On peut s’assurer par là si le lieu est fini ou infini , continu ou composé de plusieurs branches séparées, si les points vont en s’éloignant ou en s’approchant des axes des coordonnées, et l’on suivra ainsi d’une manière approximative le cours général de la courbe. Mais lorsqu’on en voudra connaître la rtaturé d'une manière plus approfondie , il faudra pouvoir déterminer en chaque point quelle est la direction de son cours, de «fuel côté elle tend à s’infléchir, de quelle manière varie sa «xmrbure , etc., etc. , et beaucoup d’autres propriétés qui encourent à donner une idée nette de son étendue et de sa formée Nous allons exatniner lés principales d’entré elles et indiquer les moyens généraux de Tes découvrir.
Des droites* Tangentes et des Normales.
90. On appelle tangente en un point d’une courbé , là limite vers laquelle tend une sécante qui tourne autour de ce point, et dont un des autres points d’intersection avec 1» courbe se rapproche indéfiniment de ce premier point.
En considérant la courbe comme limite d’un polygone rectiligne inscrit et dont les côtés décroissent indéfiniment , on voit que la tangente en un point est la limite de la direction d’un des côtés ou élément du polygone; et c’est cé que" fon
exprime en disant que la tangente indique la direction de l’élément de la courbe au point de oontact,
91'. Pour déterminer l’équation de la tangente en un point donné, il suffira /d’après ce que nous venons de dire, de calculer l’angle que tend à faire avec l’axe des x la sécante menée par ce point, et dont la corde interceptée tend à devenir nulle. Soient donc x‘ , y' les coordonnées du point donné’, et F(x,j’) = o l’équation de la courbe j la sécante aura une équation de la forme y — y — m (x — x’) , et il ne s’agit plus que de déterminer la limite de m.
Concevons pour cela qu’011 transporte l’origine an point x',y', l’équation de la courbe deviendra
F(x'-fx,y +y) = o,
ou en développant comme nous l’avons vu (n° 3g) ,
o=F(x' ,y)+F(x , )x+F(y')y4-Ax a +Bxy-f Cy’-f-Dy’-f- ,
équation qui se réduit à la suivante, puisque F(x',y) est nul , vu] que Jle point donné est sur la courbe
o = F'(x')x 4- F (y')y + Ax 3 -f. .
L’équation de la sécante devient y ~ mx , et pour avoir ses intersections avec la courbe, il faut chercher les solutions communes à leurs équations. Reportant donc dans la première la valeur d’y tirée do la seconde, on aura pour déterminer les abscisses des points de rencontre ,
o = F'(x')x -f- F(/)/nx -+r Ax 3 -J- B mx‘ -f- Cm a x*-f -. . .
équation qui donne d’abord x = o, ce qui devait être , puisque i’origine est sur la courbe : supprimant le facteur x, il vient
o == F (x') + mF(^)-J- Ax + Bmx 4- . . . .
Or , pour qu’un second point de rencontre vienne se réunir à l’origine, il faut que cette équation, ait une seconde solution, nulle, ce qui donne la condition
F(x') 4- mF(y') =0;
d’où l’on déduira la valeur de m lorsque la sécante se réduit
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à la tangente
cette valeur est m = — — ,! ;
la reportant
dans l’équation générale de la droite qui passe par le, point x', y , on aura pour l’équation de la tangente
92 . On appelle normale la perpendiculaire à la tangente menée au point de contact; son équation se déduira donc facilement de la précédente d’après la condition connue qui exprime que deux droites sont perpendiculaires entre elles : cette équation sera, si l’on suppose les coordonnées rectangulaires ,
Si les axes font entre eux un angle quelconque 9, l’équation de la normale deviendra
, __ r v (y') —F'(x') cos 9
F'(x)-F(/) cos 9 (X ~ *')•
9 3- Problème. Trouver l’équation d’une tangente ou d’une normale menée par un point non situé sur la courbe.
Soient a., @ les coordonnées du point par lequel on veut mener la tangente; désignons para', y celles du point de contact, on aura d’abord F(.r', y') = o.
L’équation de la tangente sera de la forme
on exprimera qu’elle passe par le point a, /3 au moyen de l’équation.
qui, jointe à F(x' , > y) = o, déterminera les coordonnées x'.y ’ des (>oints de contact. Le nombre tics tangentes sera égal à celui des solutions réelles du système de ces deux équations.
Les points de contact pourront être déterminés géométriquement par l’intersection de la courbe donnée , avec cellç que re~
présenterait l’équation C — y' = — (* — x ')> dans la-
quelle on traiterait x ' et y' comme variables.
Dans Je cas des courbes du second degré , cettè dernière équation se réduit à celle d’une ligne droite, et fournit une construction très simple du problème.
On ferait des calculs du même genre pour la normale.
94. Problème. Trouver [équation d'une tangente ou d’une normale parallèle à une ligne donnée.
Soit y = mx l’équation de la droite donnée; il faudra, pour
la tangente cherchée, que l’on ait — — m > équation qui,
jointe à F(x',y) = o , déterminera les points de contact. Le ’ problème pourra énéofé éë construire par Pinterseclion de la courbe donnée , et de celle que représenterait l’équation
Cette dernière se réduira encore à une droite , dans le cas des courbes du second degré.
S’il s’agissait d’une normale , on aurait à résoudre les deux, équations
Oo peut par là déterminer lè's limites de fa eourbe dans le sens des x ou desj» ; il suffit de chercher les points où la tangênte est parallèle à l’un oü Pautrte des axes. 11 faut en excepter le cas particulier où la courbe aurait en ces points \ ce qu’on nomme une inflexion, c’est-à-dire un changement de sens dans sa courbure; alors elle traversé la tangente au point de contact , et la limite dont nous parlons n’existe plus.
q 5 . Problème. Trou ver [expression gënérdie des sous-tangenles eP sous -normales.
On appelle ainsi les parties de l’axe des x comprises entre le pied de l’ordonnée du point de contact , et les points où l’ax« des x est coupé par la tangente et la normale.
Cela posé : soient x' , y , les coordonnées du point de contact M (Jïg. 9.) i TP et. PN seront respectivement la sous-tangente et Ta sous-normale. Or , par la propriété du triangle rectangle , on aura TP —y' tang TMP et PN —y' tang PMN , ou en remettant les valeurs de ces tangentes
