TP

d’où

TP Y s in . ( c *■} 0r>

Voyons ce que deviendront ces formules quand les axes des coordonnées feront entre eux un angle I , différent de l’angle droit. Si l’on désigne par * l’angle de la tangente avec l’axe des x, on aura TP par la proportion TP ‘y’.', sin (f — *) l sin * -,

sin «t F(x')

sin* sin (J— *) F (y')'

On aura donc pour la sous-tangente, la meme formule

TP -y rçy)

Pour déterminer la soift-normale , on aura la proportion PN : y :: sinPMN î sinMNP cos(( — a) ‘ cos a-,

d’où PN —y-

, cos (I— «)

COS et

F (r') — F(y r )cos»

F'Ci'j cos f— F(/)‘

On peut encore tirer immédiatement les formules précédentes des équations mêmes des tangentes et normales , en chcrcbant la valeur de x — x’ correspondante à y — o. Ce moyen est le plus simple et le plus analytique, et je n’ai présenté le précédent que pour offrir une application des transformations trigonométriques.

Du centre des courbes.

On appelle centre un point tel que toute sécante qui

3’ passe n ses points de rencontre avec la courbe situés doux à deux à égale distance de ce point. D’où il résulte d’abord que quand des courbes de degré impair auront un centre, il sera sur la courbe même, puisque les sécantes donneront généralement un nombre impair de rencontres ; dans les courbes de degré pair, au contraire, il sera hors de la courbe) à moins que dans ses diverses sinuosités elle n’y vienne passer un norulwe pair de fois.

Une remarque importante à faire, c’est qu’une courbe ne peut avoir qu’un seul centre , ou qu’elle en a mie infinité. Soient en effet A, A' (Jig. 5) deux centres d’une même courbe, et M un quelconque de ses points. Si l’on mène la droite MA et qu’on la prolonge d’une quantité égale en M' , ce point appartiendra encore à la courbe, puisque A en est un centre. Si de même on joint MA', M'A', et qu’on les prolonge de quantités respectivement égales en N, N', la droite NN' sera parallèle à MM' et coupera AZ en un point A" tel que A' A" t= AA' ; de plus on aura A"N = A"N', puisque MA = M'A; d’où il. Suit que le point A" sera encore tel, qu’une sécante dans une direction quelconque aura ses points d’intersection situés deux à deux à égale distance de ce point; il sera donc encore un centre de la courbe. Semblablement» les deux centres A’, A" en détermineraient un troisième à la même distance de A" et en ligne droite avec les trois premiers; et ainsi de suite indéfiniment des deux côtés du point A; car on peut faire à gauebe ce que l’on vient de faire à droitfe : d’où il suit que si une courbe a deux centres, elle en a nécessairement une infinité en ligne droite avec les deux premiers et distribués tous à égale distance dans les deux sens indéfinis de cette droite.

II est facile de juger que si tous les points de la courbe se transportaient parallèlement à la ligne des centres d’une quantité égale à AA", ils viendraient coïncider avec d’autres points de la courbe. D’où il suit qu’une pareille courbe coïncide toujours avec elle-même, quand on la transporte parallèlement à la ligne des centres et d’une quantité égale à un nombre pair de fois la distance de deux centres. Si celle dernière

distance était nulle, tous les points de la droite seraient des centres, et quelque mouvement qu’on donnât à la courbe parallèlement à cette ligne, elle coïnciderait toujours avec ellemême ; ce qui ne peut convenir qu’à un système de droites parallèles à la ligne des centres.

97. Il résulte encore de ce qui précède, qu’une courbe dont l’équation est algébrique ne peut jamais avoir qu’un seul centre; car, si elle en avait deux, toutes les lignes parallèles à la droite qui les joindrait , rencontreraient la courbe en un nombre infini de points, ce qui est impossible. Il faut toutefois en excepter le cas où l’équation représenterait un système de droites parallèles.

98. Cela posé, voyons comment, étant donnée l’équation d’une courJje, on pourra déterminer les coordonnées de son centre, ou s’assurer qu’elle 11’en a pas. Or , d'après la définition que nous avons donnée du centre, il est clair que si on le choisit pour origine et que x , y désignent les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, — xet — y seront encore celles d’un autre de ses points ; il faut donc , dans ce cas , que l’équation ne change pas quand x et y changent en même temps 4c signe; ce qui nécessite que tous les termes soient de degré pair, par rapport aux deux variables , ou bien tous de degré impair ; parce qu’alars ils resteront les mêmes, ou changeront de signe à la fois, et l’équation restera la même. Réciproquement, l’une ou l’autre de ces circonstances est évidemment suffisante.

D’où il résulte que pour trouver le centre d’une courbe donnée par son équation, il faut, après s’être assuré qu’il 11’est pas à l’origine même, transporter celle-ci en un point quelconque du plan, et voir si l’on peut déterminer les coordonnées de ce point de manière qu’il ne reste dans l’équation aucun terme de degré impair si la courbe est de degré pair, et aucun terme de degré pair si la courbe est de degré impair : car 011 sait que dans cette transformation les termes du plus fort degré ne peuvent disparaître et restent tels qu’ils étaient. On obtiendra ainsi un certain nombre d’équations où il n’y aura d’inconnues que les coordonnées de l’origine, et

si elles peuvent être toutes satislaites en même temps, la courbe aura un centmjqui sera la nouvelle origine.

Quand la courbe est de degré impair , le terme indépendant d’x et d’y disparaissant quand on la rapporte à son centre , on voit se vérifier ce que nous avions déjà démontré à priori , savoir , que le centre se trouvera sur la courbe même.

Le centre des courbes algébriques est donc toujours facile à déterminer, et l'on verra, en prenant une équation générale, qu’il suffira de résoudre deux équations du premier degré; d’où l’on conclura encore qu’il n’y aura qu’un seul centre si ces équations ne sont pas indéterminées. Dans le cas où elles le seraient , ainsi que toutes les autres équations de condition , il suffirait alors que la première fût satisfaite pour que toutes le fussent , et comme elle est du premier degré , elle construit une droite dont tous les points seront des centres; ce qui vie conviendra, comme nous l’avons déjà dit, qu’à un système de droites parallèles.

Lorsqu’on aura à discuter une courbe à centre, il sera généralement avantageux de prendre ce point pour origine, tant ^ cause des termes qui manqueront nécessairement dans lequation, que pour toutes les autres simplification^ qu’introduira la symétrie de la courbe par rapport à ce point.

Des Diamètres des Courbes.

99. On nomme diamètre d’une courbe , le Heu des milieux d’un système de oorde9 parallèles : ce lieu peut-être une courbe d’un degré quelconque , qui se trouvera déterminée par celui de lg proposée. •'

Soit F(x, y)=ro, l’équation d’une courbe donnée, et soit proposé de trouver l’équation du diamètre des cordes parai lèles à la droite y = mx.

Désignons par x' ,ÿ , les coordonnées du milieu d’une quelconque de ces cordes, et concevons qu’on y transporte l’origine; l’équation de la courbe deviendra F(x-f-x',y -f- y') = o, et celle d« la sécante sera y —mv. Pour que l’origine soit au

milieu d’une des cordes produites par cette sécante, il est nécessaire et suflisnnl que l'équation en x résultante de l’élimination d’y entre l’équation do la courbe et celle de la sécante , ait deux racines égales, et de signes contraires. Cette équation sera F(x -f- x', mx -f-y ) = o , et la condition dont nous venons de parler , s’exprimera par une équation entre ses coefficiens." Cette dernière ne contenant de variables que x' et y' , sera l’équation du lieu de tous les milieux des cordes parallèles à la direction donnée.

ioo. En appliquant cette méthode à l'équation générale du second degré

ay a bxy -\-cx % -f- dy -\-ex ■+■ /*= o,

on trouve pour l’équation finale en x

a(mr-4-y') , -)-i(a:-f-x , )(mr-l-y) 4-<~(x ~hx')‘