d(mx~t-yj 4- -f- x') 4 -/= o
Or, pour qu’elle ait deux racines égales, et de signes contraires, il faut que Je ternie du premier degré disparaisse, ce qui douue
( 2 om -h b) y’ 4- ( brn 4- 2 c)x' 4 - dm 4- e = o.
Cette équation étant du premier degré, apprend que tous les diamètres des courbes du second degré , sont des lignes droites. En l’ordonnant par rapport à m , elle devient
m(uay' 4- bx' 4-d) 4- 2 ex' + by' -f- e = 0 ,
et sera satisfaite, quel que soit m , par les valeurs de x’ et y, qui satisferont aux deux conditions
2 ay -J- bx’ 4- d = o , 2 cj' -{- by' e = o.
Or, ces équations sont précisément celles qui déterminent 1ns coordonnées du centre de la courbe ; d’où il suit que tous ses diamètres passent par le centre, et par conséquent deviennent parallèlos, quand oecenjre s’éloigne à l’infini.
(gs )
loi. Ayant l’équation générale des diamètres d’une Courlie en fonction de la quantité qui détermine la direction des cordes; on trouvera les diamètres rectilignes, s’il en existe, en cherchant quelles sont les valeurs de m qui introduiront dans cette équation des facteurs rationnels du premier degré en r, y : de plus, on verra sans peine si parmi ces diamètres il y en a qui soient perpendiculaires sur leurs cordes; auquel cas ou leur donne le nom particulier d’axes.
Des Asymptotes.
10a. Une ligne d’une nature quelconque , est dite asymptote* , d’une courbe, lorsqu’à partir d’un de ses points, elle s’approche indéfiniment de cette courbe, sans jamais la rencontrer, quelque loin qu’on les suppose prolongées l’une et l’autre.
Les asymptotes rectilignes, les seules dont nous nous occuperons ici , peuvent encore être considérées comme les limites des tangentes, dont le point de-contact s’éloignerait à l’infini; et plus généralement encore comme les limites des sécantes dont la corde interceptée s’éloignerait indéfiniment sur la courbe , en restant d’une grandeur constante , ou variant d’une manière quelconque entre des limites finies. Soit en effet l'asymptote UV, et MN la corde interceptée ; les deux points M ét N ' allant en s’éloignant indéfiniment sur la courbe , leurs distances à UV ont pour limite zéro , et par conséquent l’asymptote est la limite de la sécante. De plus, il est évident que cela ayant lieu , quelque rapprochés que soient les deux points M et N , il en sera de même quand ils coïncideront , et l’asymptote sera encore la limite des tangentes, dont le point de contact s’éloignera à l’infini.
io3. Problème. Trouver les asymptotes parallèles aux axes des coordonnées. Pour qu’il y ait une asymptote parallèle à l’axe des x , il faut que la valeur d’y» tende vers une quantité finie , lorsque a: tend vers l’infini, et réciproquement cette condition est suffisante. On n’aura donc qu’à diviser les deux membres de l’équation par la plus forte puissance d’x qui s’y trouve , et
voir si l’équatiou à laquelle elle tend à se réduire quand x tend vers l’infini , peut être satisfaite par des valeurs réelles et finies d’y. Soient a , b , c . . . ces valeurs , les asymptotes parallèles à l'axe des x auront respectivement pour équations*
Si au contraire l’equation résultante en y n’avait pas de valeurs réelles et finies, il n’y aurait évidemment aucune asymptote parallèle à l’axe des x.
On neut observer qu’une des conditions pour que cette équation soit possible , c’est que le plus fort exposant de x soit moindre que le degré de l’équation proposée, sans quoi quand on ferait tendre x vers l’infini après la division, tous les termes qui le contiendraient en dénominateur convergeraient vers zéro si y tendait vers une valeur finie, et il ne resterait que le coefficient du premier terme en x, lequel devrait tendre vers zéro, ce qui est absurde. La meme chose aurait lieu si le terme du plus fort degré en x était unique et avait un coefficient indépendant d’y. D’où il suit que dans l’un et l’autre cas, y ne saurait tendre vers une quantité finie quand x devient infini , et que par conséquent il n’y aura pas d’asymptotes parallèles à l’axe des x. ,
On ferait les mêmes raisonnemens pour l’axe des y. . io4. Appliquons cette méthode à l’équation du second degré; et comme il n’y aurait pas lieu à chercher les asymptotes parallèles à l’axe des x si le terme du second degré en x s’y trouvait, supposons-lui la forme
ay* -f- bxy -f- cy -f- dx -+- e = o.
Divisant par x, il vient — — h by + — -f- <£ -f — = o ,
équation qui est satisfaite quand x tend vers l’infini et y vers la .valeur finie qui donne èy-f-d = o; il y a donc une asymp-
tote ayant pour équation y = — -, excepté le cas où b = o.
Semblablement, si le terme en "y 1 manquait, on trouverait
une asymptote parallèle à l’axe des y et ayant pour équation £
x x= — ^ , à moins encore que l’on eût b =■ o.
Or’ on sait que quand le rectangle xy se trouve dans l’équation et que l’un des carrés x* ou y* manque , la courbe est nécessairement une hyperbole : d’où il suif que l’hyperbole est la seule courbe du second degré qui puisse avoir des asymptotes parallèles aux axes des coordonnées ; et comme ces axes peuvent prendre toutes les directions possibles , les courbes du second degré autres que l’hyperbole ne pourront avoir aucune asymptote rectiligne.
io5. Pboblème. Trouver lès asymptotes non parallèles aux axes. Il suffira pour cela de changer la direction de l’axe de» x, et de déterminer toutes les inclinaisons sous lesquelles il devient parallèle à quelque asymptote. En supposant donc les premiers axes rectangulaires , on fera ' ''
x = x 1 co$ u , y =s x' sin <* -dry' ,
et on clierchera les valeurs d’« pour lesquelles l’équation résultante donnera des asymptotes parallèles à l’axe des x ! . Soient y — a , y' — b , . . . . les équations de ces asymptotes ; on repassera au premier système en remplaçant y' par sa valeur en x et y, qui est y — x tang », et on remplacera » par les valeurs respectivéfc que Fon aura détermi nées.
Soit, pour exemple, l’équation
a.y' + bxy -4- ex* + dy + ex +f — o ;
elle devient par la substitution des valeurs de x et y ,
'*- 4 - 2 x' > y , sin*-f-a:'* sin 2 «) -f- bx' cos «(y -4- a/ sin «) -4- ex’* cos* A -f- d(y-^-x' sin «) -f- ex' cos a -4-/’= o.
Or, pour qu’il j ait une asymptote parallèle à l’axe des x', il faut que le terme du second degré en x' disparaisse ; ce qui donne a sin* * -f -b sin « cos « -f- c cos* • s= o
d’où
on tire de là
a tang* * -+* b tang * -f- c = o ;
b dt \/b' J — 4 ac
tanc * ~ ■ .
aa
Divisant maintenant J’ équation (i) par x', puis faisant x' infini, tl vient /(aa sla « -f- b cos «) -f d sin - -f e oôs « = o , d’ofc
„*■ <* sin « h- e oog a __ d tang - -f- e
^ aa sin * -f- b oos« aa tang a b'
„ \ Remplaçant / par sa valeur en x etj>, cette équation devient
y — x tang
d tang a -f- é aa tang a -f. b ’
et remettant enfin au lieu de tang a chacune des valeurs trouvées précédemment, on aura les équations des deux asymptotes qui seront
bd-* aae au y/ b % —kac
On voit que si 4ac est négatif, tang a est imaginaire;
si b‘ — Aqc = o, tang a devient , et h dénominateur
aa tang a -f- é devient nul : il ne peut donc y avoir d’asympotes que quand on a i’-4ac>o, ce qui n’a lieu que pour I hyperbole.
De la Concavité , de la Convexité et des Inflexions.
îoG. Soit M (fig. 5) un point quelconque d’une courbe, et ü V une droite dans le même plan ; on dit que la courbe est convexe vers ÜV afu point M lorsqu’à partir de ce point elle commence par s’éloigner plus de ÜV dans l’un et l’autre sens que ne s’en éloigne la tangente au même point M ; on la dit concave dans le cas contraire. D’oà l’on voit que si des deux cdtés de la projection P de M sur U V et entre certaines limites on élevait des perpendiculaires à UV , elles rencontreraient, la tangente avant la courbe dahs le cas de la convexité , et après, dans le cas de la coneavité.
Nous nous bornerons à considérer la concavité ou la convexité des courbes vers l’axe des x; cela sera suffisant pour déterminer le sens dans lequel la courbe s'infléchit, et d’ailleurs la méthode
<Jue nous indiqueront s'étendra facilement à de* droites quel-
Soit donc y = l’équation d’une courbe, et * , y les coordonnées d’un quelconque de ses points; 1 équation de la tangente en ce point sera y —y = <P' C Æ ') X ( x “ x ) i faisant xz=x’+h, on aura pour la tangente y — y
et pour la courbe .
y —ÿ— i p(x' + h) — <p(x) = + <p"( x ') 77^ + elc -
• L’accroissement de l’ordonnée sera donc plus grand pour la courbe que pour la tangente, quel que soit le signe de h, si l’on a <p"(x‘) >°; C 31 ' on P eut toujours supposer h assez petit pour
que le termç * V) ~ l’emporte sur tous les suivans. L’inverse
aura lieu si l’on a * V) < Si donc rordonnée esl P 08 *"'
tire les points de la courbe seront plus éloignés de 1 ave des x
que ceux de la tangente dans le cas où l’on aura ç'\x ) > o , et la courbe sera convexe vers l’axe des x : ils en seront au contraire moins éloignés dans le cas de $>"(*').< o, et il y aura alors concavité. Mais si l’drdonnée f(x') était négative , les points seraient d’autant plus .près del’axe des x,que les accro.ssemens de leurs ordonnées seraient plus grands, et alors la concavité correspondrait à <p\x') > o , et la convexité hp(x) < o. ' Lorsqu’en un point d’une courbe la convexité se change en concavité ou réciproquement, on dit qu’il y a inflexion. Or, dans ce cas, il faut que la fonction *'(*) passe du positif au négatif ou réciproquement, et comme ce passage ne peut se faire que par zéro ou l’infini , il faudra que pour le point intermédiaire on ait y (x) = o ou *"<x) = oo , équations qui détermineront tous les points d’inflexion de la courbe-
Nous avons supposé l’équation de la courbe résolue par rapn 0r t à y; mais comme nous avons fait connaître les moyens d’obtenir les dérivées successives d’y pat rapport a x, d après une équation quelconque F(x,y) = o, les considérations precedentes pourront être appliquées à toutes les équations.
De la Similitude des Courbes. ,
10*7. Nous allons nous proposer de trouver l’équation générale des courbes semblables à une courbe donnée. Rien 11e sera plus facile ensuite que de reconnaître si deux courbes sont semblables : il suffira de voir s’il est possible de ramener l’équation de l’une d’elles à être comprise dans la formule' générale des courbes semblables à l’autre. •
Soit donc une équation de courbe F(x,y) =0.
Nous pouvons prendre un point quelconque pour centre de similitude, et nous choisirons pour plus de simplicité l’origine des coordonnées. Soit m le rapport de similitude; désignons par x, y les coordonnées d’un point quelconque de la courbe donnée , et par x',y' celles du point correspondant do la eourbir semblable; on aura, à cause de la similitude,
— — m et
Eliminant x et y entre ces deux équations et celle de la courbe F(x,y) =0, on aura l’équation de toutes les courbes semblable* à celle-ci , et placées de manière que les lignes homologues soient parallèles et que le. centre de similitude soit l’origine. Ces conditions ne restreignant que la position et non la forme des courbes semblables , on est sûr qu’elles se trouveront toutes comprises dans cette formule générale, qui sera
\m mj
Appliquons ce résultat a l’ellipse. Rien n’empêche de la supposer rapportée à ses axes, 'et son équation sera alors.... a’y 2 -j- b 2 x % = a 2 b 2 ", celle des courbes semblables sera donc
-) — — a 2 b 2 ou a" y 3 -f- b‘x 2 = a’b^m* :
ce qui donne une nouvelle ellipse dont les axes sont aam , a bm\ on voit que leur rapport est le même que xlans la première , et qu’ils peuvent passer par toutes les grandeurs, à cause de l’iijp; ' déterminée m. Les courbes semblables à une ellipse donnée sortit
donc toutes les ellipses dont le rapport des axes est le même que " ’ dans oelle-d.
"Soit encore l'équation générale des paraboles y m .
L’équation générale des courbes semblables sera
ou y= pk m —x n .
Or le coefficient pk m ~* pouvant passer par toutes les valeurs >• • depuis zéro jusqua l’infini , on voit que les courbes semblables à la première sont toutes colles dont l’équation est de même forme. D’où il résulte, comme cas particulier, que toutes les paraboles du second degré sont semblables,
Prenons pour dernier exemple l’équation générale des hyperboles x'y —p ; celle des courbes semblables sera x m y n =pt 4. m+ %. ce qui donne encore toutes les courbes comprises dans la même équation. Mais il ne faut pas 'croire pour cela que toutes les hyperboles du même degré soient semblables ; il se trouve ici une condition de plus , savoir, que les asymptotes sont les axes des coordonnées : d’où il suit que les hyperboles d’un même degré ne sont semblables que lorsque l’angle de leurs asymptotes est le même. • .
108. Si l’origine n’était pas le centre de similitude et que le» courbes eussent leurs lignes homologues parallèles, on pourrait ramener oe cas an précédent en transportant la seconde parallèlement à elle-même. Soient a,C les coordonnée» du- point qui dans ce mouvement viendra coïncider avec l’origine \ la seconde courbe, rapportée à ce point et à des axes parallèles aux pre- *
miers, aura une équation de la forme
si la
première est F(x, y) =so. ■■
Repassant an premier système,. cette équation deviendra
Cette formule donne toutes les courbes semblables à la pro posée, et dont le poiçt homologue à l’origine, a pour ooor- données « $t.Ç- ,
109. Supposons enfin que les oonrliès ne soient pas placées de manière que les lignes homologues soient parallèles. Soit <p l’angle que fait avec l’aie des x la ligne homologue de la seconde courbe, et et, S les coordonnées du point liomdlogue à l’origine; si l’on transporte, pour oette courbe seulement, l’ori- . gine au point #, ff, et qu’on prenne un système d’axes faisant entre eux le même angle que les premiers et inclinés sur eux de l’angle p , l’équation de la seconde courbe devra encore être
pf— , — ~ o, si la première est F(r, y) = o.
Les équations de transformation seront, en supposant les coordonnées rectangulaires ,
ar = » + a:'co9Ç> — y' sinp, y = C + *' sin^+y cos^.
rv . ,, /x' = (y — C) sinp +(* — «)cosf,
={y — 5 ) cos p — v x — *) sin <p ,
reportant ces valeurs dans , -^=0 , on aura pour l’équation générale des courbes semblables à la proposée et situées d’une manière quelconque dans un plan r .
r | ( y— g ) gil>| P ~f~ (æ— «) cos<p
(y — C)cosft — (x — «)sinp t
ni
Nous ne pousserons pas plus loin la recherche des propriétés des courbes. Celles que nous avons fait connaître suffiront pour les discuter d’une manière assez complète. Quant aux surfaces, nous ne pourrions, sans sortir des bornes que nous nous sommes prescrites , en exposer la théorie générale : nous nous contenterons d’en offrir des applications à un assez grand nombre de problèmes, et nous renverrons les élèves aux Traités de MM. Monge , Lagrange et Lacroix.
Nous terminerons ici les considérations générales que nous avous.cru devoir présenter avant les applications particulières;nous allons maintenant passer à la seconde partie qui renfermera les problèmes et les exercices qui nous ont paru les plus propres à faire bien concevoir l’esprit des théorie».
