LA SOLUTION DES PROBLÈMES
1 10. P boblèkb. On donne trou mélanges composés . de trois substances différentes , et on demande ce qu'il faut prendre de chacun pour, former un nouveau mélange où ces substances se trouvent dans des rapports donnés.
Soient a, b, c les nombres qui indiquent combien il y a de fois les quantités connues A, B, C de ces trois substances dans le premier mélange; d, e, f dans le second; g, h, k dans le troisième; et l, m, n ce qu’il doit y avoir de chaque substance dans une quantité du mélange cherché marquée par l-f-rn + «- Les quatre mélanges seront, représentés par
aA-f"èB-J-cC , dA-j-é’H~ffC , gA-t—AB-f-AC , lA-fm B -f-/i CL
Soient x, y, t lés nombres par lesquels il faut multiplier les trois mélanges pour former le quatrième, on aura
aAx -f- ABx -1- cCLr -f- dAy + eBy -f-/Cy -f gAz -|- ABi -1“ AC z = /A -f- mB -f- nC.
Egalant les parties des memes substances respectives, il vient
ax-t-dy-j-gz ■= /, bx -{■ ey-\-hzr=.m , cx-j-fy-±-kz = n.
Equations que l’on résoudra d’après les règles connues.
iii. Probi.èmb. Etant donnés ies prix et les proportions de. trois mélangés , trouver les prix de chaque substance.
( io5 )
Soient/;, q , r les prix respectifs de* mélanges demies
üA+iB-+-tÇ, r/A + eB-f/C, gk+hli + kC)
et x, y, z les prix respectifs de A, B, C; on aura les trois équations suivantes :
ax-\-by + czr=p , dx + ey-f-jz = q, gx hy -J- kx— r.
112. Problème. On donne trois prés droit les surfaces respectives sont b, e, g, où ['herbe est d'égale hauteur , et croit d’un même mouvement uniforme. Le premier est épuisé par un nombre a de bœufs dans le temps c; le second par un nombre d de bœufs dans le temps f : on demande combien le troisième pré pourra nourrir de bœufs pendant le temps li.
Désignons par m la hauteur primitive de l’herbe, par v la quantité dont elle croit dans l’unité de temps, par v' la quantité d’herbe mangée par chaque bœuf dans la même unité de temps, et par x le nombre de boeufs demandé. On aura les trois équations
(m-f- vc)b=zacv , (m -f- vf)e =x dfv , (tn + vh)g = xhv':.
Pour trouver x au moj'en des nombres donnés, il faut éliminer m,o et v' ; ce qui peut se faire dans ce cas quoiqu’on n’ait que trois équations, parce que tous tes termes contenant l’une de ces trois quantités, leurs rapports seuls sont considérés dans les équations, et il n’y a réellement que deux quantités à faire
disparaître, savoir, et — v v
•Les tirant des deux premières et les reportant dans La troisième , elle donne ' " ' 1 •
bedfg — acefg + ccegh — bdfgh • «
x ~beh(7=7) — 77 .. ;
1 13 . Problème. Deux mobiles parcourent une même ligne dun mouvement uniforme; on connaît -la distance qui les sépare à un instant connu)- leurs vitesses et- le sens de leur mouvement , et on dsmcinde te temps au bout duquel ils se rencontreront.
Soient v, v les vitesses des mobiles, c'est-à-dire les espaces qu’ils parcourent dans l’unité de temps, et d la distance qui les sépare. S’ils vont dans le même sens , on peut considérer celui de derrière comme animé de la différence des deux vitesses, et ayant à parcourir l’espace d. S’ils vont en sens contraire, ils se rapprochent à chaque unité de temps delà somme dès vitesses; on peut donc considérer l’un comme animé de la somme des vitesses et ayant à parcourir la distance d. Or Fespace parcouru est égal à la vitesse multipliée par le temps, donc le d d
temps sera —, ou ~^ • , , suivant que Je mouvement sera dans
le même sens ou en sens contraire. .
Mais pour mieux faire ressortir- les différentes -circonstances que ce problème peut offrir, rapportons*les positions à un point fiyc A de la ligne droite ou courbe que les mobiles parcourent , et désignons par e, e' leurs distances à -l’origine A après le temps t, et par a, a' les mêmes distances pour l’instant que l’on considère comme origine du temps; on aura pour équations du mouvement de chaoun d’eux
e a= a -f- vt-, e 1 ==> d -f- v’t.
Si l’on veut maintenant qu’ils soient à une distance donnée m l’un de l’autre, il n’y aura qu’à poser e — e'=±m, ce qui fera trois équations entre e, e', t. Pour leur rencontre , il faudra
faire m =o , et l’on tirera comme précédemment t ~ - —
Des trois équations entre e, e, a, a', t , m, v, v', on peut tirer un grand nombre de problèmes diflêrens, en prenant pour inconnues trois quelconques de ces huit quantités. On devra observer • seulement que si le sens d’un des mouvemens était différent dé celui que nous avons supposé, l’espace parcouru se retrancherait ded, ce que l’on exprimerait dans le calcul en faisant sa vitesse négative -s il en serait de même si l’on considérait un instant antérieur à l’origine supposée au temps , la distance de cet instant à l’origine pourra être considérée comme négative , aliii de pouvoir faire usage des formules précédentes où les di-
CW} ...
stances à l’origine des temps croissaient avec l’espace , tandis que dans ce cas l’espace décroît lorsque les distances augmentent. En ayant égard à ces circonstances, le problème n’offrira jamais aucune difficulté , et son énoncé se trouve ainsi généralisé :
Etant données les positions de deux mobiles au même instant ainsi que leurs vitesses et le sens de leur mouvement , trouver leur point de rencontre sur la droite qu'ils parcourent depuis un temps indéjini.
n4. Problème. Ttouver les rencontres successives de deux mobiles sur une courbe fermée." '■
‘Ce problème revient au précédent , en observant que lorsque les mobiles sont au même point , la rencontre suivante aura lieu quand celui qui a la plus grande vitesse aura gagné sur Pautre toute l’étendue de la courbe qu’ils parcourent. En appelant c cette longueur , la troisième équation e — d = — m deviendra e — e — ± ne pour la rencontre du rang (u -+* i ) soit après, soit avant le moment pris pour origine des temps.
n5. Problème. On propose de déterminer à chaque instant la position d’un mobile dont la vitesse change d’une manière conûnue et proportionnellement au temps.
Dans le mouvement varié, on nomme vitesse 5 un instant quelconque celle avec laquelle le point se mouverait si les causes qui agissent p\ir lui cessaient subitement et laissaient- le mouvement uniforme. Cela posé, soit ( le temps pendant: lequel le point s’est mu, et v la vitesse qu’il a acquise; elle sera facilement connue, puisqu’on sait qu’elle est proportionnelle au temps et que l'on est supposé connaître sa valeur à un instant donné , par exemple après l’unité de temps; il ne reste donc qu’à déterminer 1 espace parcouru en fonction de v et (.
Pour cela, partageons ( en un nombre quelconque n d’intervalles égaux ; la vitesse devant croître aussi de quantités égales.
serà à la lin de chacun d’eux - , — , — ,
Or si l’on suppose que pendant 1® premier intervalle la vitesse
av
soit constante et égale à ~ , pour le second à , et ainsi de suite
jusqu’à v, la somme des espaces sera trop grande, tandis qu’elle serait trop petite si le premier intervalle de temps était parcouru
avec une vitesse nulle, le second avec la vitesse -,etainsi de suite
jusqu a 5 ; I espace cherche est donc
Tl
deux sommes.
Les espaces partiels de la première seront
compris entre ces
et formeront une progression par différence, dont la somme sera La seconde somme sera de mênie
ou - . — .
vt
Or la différence de ces deux, sommes est — , et devient de
plus en .plus petite à mesure que l’on Tait croître n. Mais alors la vitesse s’approche de plus en plus dé varier d’une manière continué, et en même temps l’espace tend indéfiniment vers ■j vl qui est la limite des deux, sommes entre lesquelles il est compris; donc d’après le théorème des limites, l’esjface parcouru par le mobile d’un mouvement continu sera { et. Désignant cet espace par e , on aura donc b = 5 ut.
Si l’on appelle g la vitesse. acquise après l’unitéde temps, on; aura par l’hyppthèse v—gt\ d’où e = '-±gt % et v“= 2 ge. ■
La nature - offr? une application simplo de ce mouvement dans la chute des corps (dans le- vide) par l’action de la pesanteur; car recevant à chaque instant une impulsion égale dans le sens delà verticale, leur vitesse doit croître uniformément; c’est-àdire dans le même rapport que Iç temps- * ’
Corollaire. Si le mobile s’était mu pendant le même temps t
avec la vitesse liuale v x i! aurait parcouru un espace double, car d’après la théorie du mouvement uniforme cet espace serait vt.
1 16. Problème. Trouver la vitesse qu’il faut imprimer à un
corps , pour le faire parvenir verticalement à une hauteur h avec une vitesse a. . .
On remarquera pour cela que pendant qu’il remonte la’pesanteur diminue autant sa vitesse qu’elle l’augménterait s’il descendait. Si donc on désigne par v la vitesse demandée, elle sera précisément celle que le corps acquerrait s’il tombait de la hauteur h partant avec la vitesse initiale a. La vitesse gagnée v — a sera donc, d’après les formules précédentes,
v — a—^agh, d’où v = a-{-\/ugh.
Corollaire. Si on lanée. verticalement de bas en haut un corps avec la vitesse a , et qu’au moment où elle jera éteinte on lui imprime la vitesse b, il ipontera moins haut que si on lui imprimait d’abord la vitesse a-\-b. Car l’espace dans ce dernier (a-j-t)’ ..i • -i -, a* b %
2 £ \ ag a g
Ces deux espaces seront bien parcourus dans le même temps , mais la vitesse initiale est plus grande dans un cas , jusqu’au point où elle se réduit à b comme la seconde.
117. Problème. Trouver la vitesse que la pesanteur a cpmmuniquée à un corps tombant librement pendant une seconde.
Supposons pour cela qu’on ait pris la seconde pour unité de temps et qu’on ait laissé tomber d’une hauteur connue h un corps que l’on aura choisi très dense pour diminuer l’effet de la résistance de l’air ; soit ( le nombre de secondes que le mouvement a duré, on aura, en faisant abstraction de la résistance de l’air,
*=£“» dou g — —■
Substituant à h et t leurs valeurs connues, on trouvera g exprimé en unités de longueur; cette valeur pour la latitude de Paris est g = . '
1 ° n a reconnu que cette vitesse variait arec k latitude : si Ton désigne par m celle qui a lieu pour la latitude de 5 o° et par m' celle pour ]a latitude on a m'=m(i— 0,002837 cos a <P) Au pèle on a fsÿs- et m'=m{ 1 + 0,00383;); à l’équateur < P = 7 t ° et m ==m ( I — 0,002837); l’accroissement de pesanteur de l’équateur au pôle est donc 2 m(o,oo 3 SS 7 ), ce qui fait à peu . P r ès rh <1® 8a valeur moyenne.
1 18. Problème. Trouver les diverses rencontres sur une courbe fermée de deux mobiles dont la .vitesse croît proportionnellement au temps.
Pour le premier mobile, on aura en désignant, par e sa di* stahce à l’origine après 4 e temps t , par a oeltô distance pour le temps zéro, et par g la vitesse acquise après l’unité de temps,
o^a+'ïgr.
; Pour le second mobile, on aura ,
et pour la rencontre de l’ordre n , on aura e '— e = (n — i) c , en désignant par c le contour de la courbe ; d’où l’on tirera
V— =(n—i)c,,et t — î( n ~ l ) c +< 2 (a—a , r .
11 9 * PaÇBrèMR. Connaissant la pesanteur spécifique de deux corps, trouver dans quel rapport ils entrent dans un mélange .donné, ' ® ,
, Nqus commencerons par donner une idée rapide de ce que c est que la pesanteur spécifique et des moyens de la déterminer On appelle pesanteur spécifique d’un corps, le pouls d’une • unité de sqn volume ; on la rapporte ordinairement à celle de 1 eau, et alors il suffit de diviser le poids d’un volume quelconque du corps par celui d’un pareil volume d’eâu : ce dernier poids se détermine au moyen de ce principe , qu’un corps plongé dans un liquide y perd une quantité de son poids égale à celui du volume de liquide déplacé. Et en effet, le corps remplace alors un volume égal de liquide qui, étant en équilibre, devait être
poussé de bas en haut par nne force verticale égale à son poids ; le corps plongé doit «lonc perdre une quantité égale du sien. Par conséquent , pour trouver la pesanteur spécifique d’un corps quelconque, ou le pèsera dans le vide, puis dans l’eau, et on divisera le premier poids par la perte qu’il aura subie.
Si l’on veut déduire le poids d’un corps de sa pesanteur spécifique, ou la multipliera par le volume, l’unité étant toujours le poids de l’unité de volume d’eau. •
Si l’on veut déduire au contraire le volume, du poids, oh divisera ce dernier par la pesanteur spécifique.
Cela posé, soient p, p' les pesanteurs spécifiques des deux substances , et p" celle du mélange donné que l’on déterminera comme il vient d’être dit , ainsi que son volume m. Soient x et y les volumes des deux substances; on aura
px+p’y=p'mi
d’où. x — ?- — , X m, y = - — — X m.
Enoncés de Problèmes du premier degré.
Problème. Une personne possède a francs qu’elle fait valoir à un certain intérêt, et elle doit b francs dont elle paie ut^ autre intérêt; l'intérêt de la première somme surpasse de c celui de la seconde. Une autre personne fait valoir d francs au second intérêt , et paie l’intérêt de e francs au premier taux ; elle retire/" francs de plus qu’elle ne paie. On demande les taux des deux intérêts.
Problème. Une personne acliètc up certain nombre d’aunes d’étoffe à un prix qu’on ignore. Si elle achetait cinq aunes de plus d’une étoffe qui coûte 3 francs de moins, elle paierait le même prix ; mais si elle achetait six aunes de plus d’une étoffe qui coûte 4 francs de moins, elle paierait 18 francs de moins. 11 s’agit- de trouver les nombres d’aunes et les prix de chaque espece d’étoffe.
Problème- On demande les biens de trois personnes A, B, C,
sachant que le bien tic A augmenté de m foi» la somme des biens de B et C , vaut p ; que le bien de B plus n fois la somme de «jeux de A et G, vaut q; enfin que le bien de C; joint à L . fois ceux de A et B, vaut r.
Problème. Partager les nombres donnés, a, b, c, d, e...
. chacun en deux parties telles que le rapport d’une partie de a à une de 6 , de l’autre de b à une de c, de l’autre de e à une de d;*dc la seconde de d à une de e , etc. jusqu’au rapport de la seconde partie du dernier nombre à la seconde de a , soient tous donnés.
Problème. Trouver les biens de six personnes, A, B, C, D, E, F, sachant que la somme des biens de A et Best a; que celle des biens de C et D est b ; que celle de E et F est c ; que le bien de A vaut m fois celui de C ; le bien de D, n fois celui de E , et le bien de F, p fois celui de B. • .
Problème. Trouver les huit quantités A, B, C, D, E,F, G, H, connaissant les. sommes ou les différences deux à deux , de A et B, de C et D , de E et F, de G et H ; et les rapports de A à C > de D à E , de F à G , et de H à B . *
Généralement , les quantités A , B , C . k . étant en nombre pair am , il y aura un cas d’iqi possibilité ou d’ indétermination lorsque m sera pair , et le problème sera toujours possible et déterminé lorsque m sera impair.
Problème. Trouver les arêtes d’nn parallélépipède rectangle , sachant qu’elles sont entre elles comme les nombres m, n , p , et que si, ces arêtes varient des quantités respectives, a, b, c, la surface totale aura varié d’une quantité q.
Problèmes indéterminés du premier degré.
Problème. Trouver des multiples des deux nombres 54 et y3 qui diflèrent entre eux d’un nombre donné r.
Problème. Le mois lunaire étant de. ag' 12 A 44', et par suite sa longueur étant à celle du jour solaire comme les nombres jo63i et36o, on demande les multiples de ces deux nombres qui différeront de r.
Problème. Trouver les nombres qui, divisés par 3 , 5, 7 donnent les restes respectifs q, 4,6.
Problème. Payer une somme de 3457 francs en pièces de 5 francs et de 24 francs.
Problème. La piastre valant 5 francs 8 sous, et Pécu de France ~ valant 2 francs i5 sous, on propose de payer 1000 francs en piastres et en écus seulement.
Problème. On a trois lingots d’argent de trois titres différons. Iæ premier est au titre de 11 deniers; le second de 10 £ , et le troisième de 9 ; combien dpit-on prendre d’onces de chaque lingot pour en faire un lingot de 3o onces dont le titre soit à 10 deniers?
Problème. Trouver en nombres entiers les côtés d’un rectangle tel que sa surface contienne quatre fois autant de mètres carrés que son contour contient de mètres.
Solution. Soient x et y les deux côtés , on aura xy = 8(r -fy) ;
d’où x=J^ = 8+JL 4
Il faudra donc que y — 8 soit diviseur de 64; égalant successivement y — 8 à chacun des diviseurs de 64 (tant positifs que négatifs) , et cherchant les valeurs positives correspondantes d’x, on obtiendra toutes les solutions entières de l’équation.
Si l’on avait l’équation générale xy = m(x-{- y), on trouve-
rait x — m + » et ^ on traiterait les diviseurs de m* comme
on a fait pour ceux de 64.
Problème Trouver en nombres entiers les arêtes de parallélépipèdes rectangles à base carrée, tels que leur volume vaille cinq fois autant de mètres cubes que leur surface contient do mètres carrés.
Ce problème se résout comme le précédent.
Problème. Soit a le côté d’un carré donné en nombre entier , on demande en nombres entiers les côtés x,y d’un rectangle, de manière que les deux figures aient leurs surfaces proportionnelles à leurs contours.
Le calcul conduit à égaler ay — a aux différons diviseurs de a*, et on ne devra prendre parmi ces diviseurs que ceux qui augmentés de a donneront des nombres pairs.
Problème. Trouver quels sont les polygones réguliers d’une même espèce ou d’especes différentes au moyen desquels on puisse couvrir exactement un plan indéfini:
Enoncés de Problèmes du second degré.
Problème. Trouver trois nombres , connaissant chacun des quotiens qu’on obtient en divisant cliacun des produits de deux d’entre eux par le troisième.
Problème. Trouver trois nombres , connaissant le produit de chacun d’eux par la somme des deux autres.
Problème. Trouver trois nombres , connaissant le produit de chacun d’eux par la différence des deux autres.
Ce problème est indéterminé ou impossible. On le résoudra ainsi que le précédent en déterminant d’abord les trois produits xz, xy , y z , puis en en déduisant les trois carrés x % ,y x , s\
Problème. Trouver deux nombres dont on connaît la somme ai et la somme des cubes a q.
On prendra pour inconnue la différence ad des deux nombres, qui seront alors exprimés par s + d et s — - d.
Problème. Un négociant a un certain nombre d’aunes de drap, et 90 aunes de plus d’un drap moins fin-, les valeurs totales des prix des aunes de chaque espèce sont égales. S’il vendait chaque espèce au prix de l’autre, il retirerait pour les premières 900 fr., et pour les secondes a 5 oo fr. Trouver les deux nombres d’aunes.
Problème. Trouver deux nombres dont on connaît la somme
ou la différence a m, et la somme ou la différence - des quo-
tiens qu’on obtient en les divisant mutuellement l’un par l’autre.
Problème. Deux courriers partent au même instant, l’un de A pour aller en B, l’autre de B pour aller en A \ leurs vitesses sont uniformes et dans, un rapport tel, que le premier arrive en B quatre heures après qu’ils se sont rencontrés, et que le
second arrive en A neuf heures apres cetÆ rencontre. On de mande le temps employé par chacun pour parcourir la distance AB.
Problème. Un négociant escompte deux billets, l’un de 8776 fr. payable dans neuf mois, l’autre de 7488 fr. payable dans huit mois : il a payé pour le premier 1200 fr. de plus que pour le sëcond : on demande le taux de l’intérêt.
Problème. Un négociant a acheté un certain nombre d’aunes d’étoffe pour 1 728 fr. ; il en prend 24 pour son usage , et il vend le reste pour 1800 fr., de manière qu’il gagne 3 fr. par aune: on demande le nombre des aunes.
Problème. Une personne qui possède 100000 fr. partage cette somme en deux parties, qu’ello fait valoir h deux taux différens et pour lesquelles elle retire en tout 54oo fr. d’intérét. Si elle faisait valoir la première partie au même taux que la seconde, elle en retirerait 36oo fr. d’intérêt ; et si elle faisait valoir la seconde au même taux que la première, ello en retirerait 2000 fr. On demande les deux taux et les deux parties de la somme proposée 100000 fr.
Problème. En vendant un cheval 1 1 louis, on a gagné pour cent autant que le cheval avait coûté : on demnnde quel était ce prix*
Problème. Trouver quatre nombres en proportion par quotient, connaissant la somme 2 a des moyens, la somme 2 b des extrêmes , et la somme 4c des carrés des quatre termes.
On prendra pour inconnue auxiliaire le produit p des moyens ou des extrêmes. On trouvera ainsi que la demi-différence des moyens est l/ a 2 — p , que la demi-différence des extrêmes est l/ b' J — p-, d’où l’on conclura l’expression des quatre termes en fonction de pj on égalera la somme de leurs carrés à 4c, ce qui donnera p= 3 <z a -f-ù a — c, et les quatre termes seront connus.
Questions qui conduisent h des équations qui se • ramènent à celles du second degre.
Problème. Trouver deux nombres dont on connaît le produit, et la somme ou la différence de leurs carrés.
Problème. Trouver deux nombres dont on connaît la somme a s, et la somme ou la différence 2 q de leurs quatrièmes puissances. On appellera ux la différence des deux nombres; alors ils seront exprimés respectivement par s-\-x ,s — x, et le calcul n’offrira aucune difficulté.
Problème. Trouver quatre nombres en proportion par quotient, connaissant la somme des moyens, celle des extrêmes , et celle des quatrièmes puissances des quatre termes.
On prendra pour inconnue la différence 2r des moyens.
Problème. Trouver quatre nombres en proportion par quotient, connaissant la somme des extrêmes, celle des moyens, et l’excès de la somme des cinquièmes puissances des extrêmes sur la somme des cinquièmes puissances des moyens.
Problème. Trouver quatre nombres çn proportion par quotient , connaissant leur somme , celle de leurs carrés et celle de leurs quatrièmes puissances.
Problème. Trouver quatre nombres en proportion , connaissant la somme des quatre termes, celle de leurs cubes , et celle de leurs cinquièmes puissances.
Problème. Trouver deux nombres dont on connaît la somme p de leur produit et du produit de leur somme par un nombre donné a, et dont on connaît aussi la somme 2 q de la somme de leurs carrés et du produit de leur somme par un nombre donné 2 b.
On prendra pour inconnue la somme ax des deux nombre* et leur différence ay , les deux équations seront alors
x* — y*-\-2ax=p, x* -t-y* -+- o.bx = q ;
doù l'on tirera par l’addition et la soustraction de ces deux
équations ,
2 x*-f i(a + b)i — p 4 q, uy'+i{b — a)v=zq—p,
équations qui n’ollriront aucune difficulté.
120 . On peut voir par plusieurs des exemples précédens combien le choix des inconnues peut simplifier les équations. Le dernier problème, par exemple, aurait conduit à une équation complète du quatrième degré, ji L’on avait pris pour inconnues les deux nombres demandés. 11 faut autant que possible choisir des inconnues qui entrent d’une manière symétrique ou avec une simple différence de signe dans l’expression des nombres entre lesquels on donne des relations. 11 en résulte alors, ou des similitudes qui abrègent les calculs en les ramenant les uns aux autres, ou des destructions de termes qui les simplifient considérablement. C’est ainsi que dans un grand nombre des problèmes précédens nous avons pris pour inconnues la somme, la différence ou le produit des nombres cherchés; et l’on sentira tout l’avantage de ce choix, si l’on résout lesmièmes problèmes en prenant immédiatement les nombres cherchés pour inconnues.
11 arrive quelquefois que certaines quantités dépendantes des inconnues sont susceptibles d’un moindre nombre de valeurs que celles-ci; et si on les prend pour inconnues, on sera conduit à des équations de degré moins élevé. C’est en avant égard à toutes ces considérations, qu’on peut parvenir à donner de l’élégance et de la simplicité aux formules, et même à résoudre des problèmes qui, sans cela, seraient au-dessus des forces de l’analyse actuelle.
Problèmes sur les coejjlciens indéterminés.
1 2 i. Problème. Trouver les diviseurs d'un degré donné d'un polynôme
je"' + Aj"-' 4- B r m - J 4- ... 4- V.
Si l’on désigne par n le degré des diviseurs, leur forme générale sera
a* + «.r»-* 4- Cx"— 4- . . . -f fc.
Le quotient du polynôme donné par ce diviseur sera de la forme
x m—n Qj-m-n- i j
Faisant le produit du diviseur .par le quotient et l’égalant au dividende, on aura m équations entre les m inconnues • -p, et a , b. . . u, d-’où l’on déduira à la fois les coefliciens des diviseurs du degré n et du degré m — n.
12a. Problème. Eliminer une inconnue entre deux équations d’un degré quelconque.
. Soient les deux équations, ordonnées par rapport à x,
* x m + Px m - + Qx— * -f- . . . + V = o,
i" 4- Fx»“‘ + Q'x*— -f- . . . + V' = o ,
dans lesquelles les coefliciens P, Q, . . ., Y, P', Q',. . ., V', de x , peuvent renfermer d’autres inconnues.
Toute valeur d'y qui convient à ces équations doit introduire une racine commune en x par sa substitution ; les équations résultantes doivent donc avoir un commun diviseur x — a\ on aura donc
x" -f- . . . -J- V = (x — «) (x- 1 + ax m ~‘ -f- . , . + v ) , x" -f- V' = (x — «) (x— 1 -f «'x* - * -f- . . . -f- */).
Eliminant x — a, il vient
(x”..+V) (x— -f- a'x"-\. -f *■') = (x”+.. -fV') (x"-'.. + e)
Cette identité fournira m-j-n — î équations entre lesquelles on éliminera les m-^-n — 2 coefliciens a , a'... v qui n’entreront qu’au premier degré , et il restera une équation de condition en y qui exprimera que les premiers membres ont un diviseur commun du premier degré : les valeurs d’y que l’on .en tirera seront donc celles qui conviendront au système des deux équations, conjointement avec les valeurs d’xque donneront les diviseurs correspondans égalés à zéro.
La formule de ces diviseurs sera
•— Kx -f- H ;
d’où l’on voit que si à une valeur d’y correspondaient plu»
sieurs valeurs d’x,on aurait nécessairement K=ro, H —o, sans quoi l’équation K.x + H=o ne pourrait être satisfaite par deux
valeurs de x. I<a forme ^ trouvée pour x annoncera donc que le
diviseur commun en x est d’un degré supérieur au premier, et on le cherchera par la méthode connue.
ia3. Probl&ke. Connaissant Us facteurs du premier degré du dénominateur d’ une fraction rationnelle j la décomposer en du— tant de fractions ayant des numérateurs indépendant d*x , et pour dénominateurs respectifs ces facteurs du premier degré. Soit la fraction
ax * -f- bx u * -4- ex* *+...+« M
x m + Ax m -‘ + Bx m a . + V N‘
Soient, et, C , . . , p, les seconds termes des facteurs du dénominateur pris en signe contraire et supposés tous inégaux, et P, Q, . . . , S , les numérateurs des fractions partielles ; la proposée devra être ségale à
Chassant les dénominateurs et identifiant, il viendra
où l’on remarque que chaque terme est divisible par son dénominateur et ne le contient plus après la division, et que tous les autres ont ce même dénominateur pour facteur. On pourrait» comine précédemment, tirer P, Q.., en identiGant les coefficicns des mêmes puissances de x , mais on observera que cette identité ayant lieu quel que soit x, ne sera pas détruite si l’on fait x=»\ ce qui ne laisse subsister que le premier terme du
second membre , et donne pour valeur de P l’expression • ^
dans laquelle on fait x= a après la division par x — a.
Pour avoir Q, ou fera de même x — G-, et ainsi des autres }
et Ton aura pour P, Q,. . . des valeurs finies et indépendantes de x.
Cette décomposition n’est plus possible lorsque le dénominateur a des facteurs égaux; car si, par exemple, on avait * — Z, quand on ferait x=a, l’équation (t) ne serait plus identique, puisque le second membre seul deviendrait nul; mais on peut toujours déterminer par le même moyen les fractions partielles
qui correspondent aux facteurs inégaux , en y ajoutant une
fraction de la forme — , x— r étant un facteur du degré
p de N, et R un polynôme du degré {p — 1) en x, qu’on obtiendra facilement d’après les fractions connues et la proposée. Or on peut opérer la décomposition suivante :
A', B', . . S', étant indépendans de x , il suffira de cliasser le dénominateur (r — r)? et d’identifier les deux membres, ce qui fournira autant d’équations que de coefficiens, A'... S'. Cette identité sera
Mais on peut encore déterminer A', . . . , S', plus simplement de la manière suivante. On fera d’abord * = r, et on aura A' et l’équation suivante :
Faisant encore x — r, on aura B’; et l’on continuera ainsi jusqu’à S'.
On agira de la même manière lorsqu’il y aura d’autres facteurs multiples que (x — r).
4t. Rjourque. Toute fraction rationnelle pouvant être dccomposée en fractions simples de la forme — , lorsque son
dénominateur n’a pas de facteurs égaux , et le développement de cette dernière donnant la progression géométrique indéfinis
il s’ensuit que le développement de toute fraction rationnelle , ou, en d’autres termes , qu’une série récurrente quelconque est la somme d’un nombre de progressions par quotient marqué par le degré du dénominateur. Le terme général du développement s’obtiendra facilement en faisant la somme des termes généraux d’un même degré de toutes ces progressions.
Réciproquement. Si l’on ajoute terme à terme plusieurs progressons géométriques, on aura toujours une série récurrente, car toute progression peut être le développement d’une fraction A
, x étant donné et A, a déterminés par la progression
' 1 proposée.
1 24 . Problème. Trouver les conditions générales pour qu’un polynôme du fécond degré à deux variables soit décomposable en deux facteurs rationnels du premier degré. Soit le polynôme
y* -f- axy -J- -f- cy dx -f- e.
Ses deux facteurs du premier degré seront de la forme
y — mx — n et y — m' x — n'.
Leur produit sera
y* — (m -f m)xy+ mm' x' — (a -f- n')y -f- (mn'-f- nm')x -f- nn! • L’identifiant avec le polynôme proposé, on aura les5 équations — a, mm—b, n+n'——c, mn-\-nm'=d , nn'=e.
Eliminant m, m.', n, n, on obtiendra l’équation de condition (ac — 2 ily = (a* — 4 b) (i* — 4ej ; ou bien d 1 — acd = 4 be — a’e — bc*.
Si l’on demandait que le polynôme fût un carré parfait , il faudrait que l’on eût m'z=m et n'=n\ les équations précédentes deviendraient
2 m = — a , m*—b, an— — c, amn = d, n‘ — e.
Eliminant m et n, on aurait les trois conditions oc = ad , a a — ib, c“ = 4e.
î a5. Problème. Trouver le développement de la puissance m entière d'un binôme x + a.
(x-f a) 1 " n’étant autre chose que x m dans lequel on change x en x-f- a, les deux premiers termes seront, d’après la théorie des dérivées x m -f- mx m ~'a. Dans tous les autres termes , la somme des exposans d’x et d’a sera m, d’apres les règles de la multiplication , et on pourra représenter le développement par
(x-f-o) ,n =x'"-l-77ix m ‘* 1 a"-l-Ax' n— “a^+Bx 1 ” 3 a , +Gi jn i a i -f- etc.
Or, soit qu’on augmente x ou a de h, on a le même résultat (* + a -f- h'y n ; donc, le coefficient de A à la première puissance , est le même dans les deux cas. Prenant donc la dérivée du second membre , d’abord par rapport à x, puis par rapport à a, on aura deux expressions qui devront être identiques, et qui seront
mx m ~ 1 -f- m(m — i)x m ~ a <i -f- A (m — a')x m ~ 3 a* -|- etc. , mx m ~' -+- îAj™ -1 a + 3Bx m— 3 a 1 etc.
Identifiant , on aura
m{m — i) = sA , A(/n — a) — 315 , B(m — 3) = 4C., etc. ;
d’où B = — a ), etc. ,
ce qui donne une loi facile à saisir pour les coefficiens du développement. ■
12 S. Problème. Trouver le même développement en supposant m quelconque.
Tout sc réduit à faire voir qu’on peut toujours supposer au développement , la forme
x M -f- mx n ~'a -f- Ax“"’a’ + etc.
Pour cela, posons - = z, on aura (r -|- a)”~ x^i-J-z)".
Si m est une fraction - , on aura h. extraire la racine q de
(1 -f-*y., ce qui donnera un développement procédant suivant les puissances entières et positives dez. Si m est négatif, il faudra diviser l’unité par un développement procédant de cette même manière, ce qui donnera un quotient du même genre. On aura donc, dans ces deux cas,
(i -f-z)' n = 1 -j- Az -f- Bz 1 -J- Cz“-f- etc.
Remplaçant z par - , et multipliant par x", il vient
( x + d) m = x m + A x m ~‘a + Bx m — a* -f- etc.
Or, on sait que dans tous ces cas, la dérivée de x m est mx m ~' ; on a donc
(x = x m -f- mx^'a -f- B r"”V -f- etc. ;
d’où l’on déduira les mêmes valeurs de B , C , etc. , que dans le cas précédent. Seulement , quand m ne sera pas entier et positif, le développement sera indéfini, même pour deswaleurs particulières de m , parce que ces coelDcicns ne deviendront jamais nuis.
127. Problème. Trouver le développement suivant les puissances ascendantes de x de la fraction .
1 — ax — ox*
En effectuant la division et ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de x, on sait que Je quotient procédera suivant les puissances entières et positives d’x ; de sorte que l’on pourra établir l’identité
