CL -r- b C
TXÜFXEP = A + II* +c*- + d*»+e*< + ce
Chassant les dénominateurs , il vient
|x-HC
jc 3 +E
1 — Ba
— Ca
— Da
— kb
Egalant les coefficiens des mêmes puissances d’x, on aura le» équations
A = <*, B — Aa=ff, C — Ba — Ab~o, D — Ca — Bè==o,etc.; d’où l’on tire A=« , B —aa.-\-C, C - Ba-f- Ab , D=Ca-j-Bù , etc.
-De sorte qu’à partir du troisième terme , chaque coefficient est égal à la somme des deux précédens multipliés respectivement par les constantes a et b. Chaque ternie se déduit alors des deux précédens en multipliant l’un par ar et l’autre par bx*. Une pareille série se nomme récurrente , et les constantes par lesquelles on multiplie les termes, forment ce qu’on appelle l 'échelle do relation.
On obtiendrait des résultats analogues, en supposant les deux termes de la fraction d’un degré quelconque.
128. Problème. Etant donnée une équation , en trouver une autre dont la première ait pour racines les carrés des différences entre les racines de la seconde.
Soit l’équation donnée
x“ ax n ~' bx n ~ ‘-j- . ... -f- v = o.
Désignons par m le degré de l’équation cherchée, ou aura la
±: \/ 1 8ra
d’où m 1 — m — 2 n —O , et m = -
On ne pourra prendre que le signe -f- du radical , parce que m doit être positif, et comme il doit de plus être rationnel et entier, il faudra que 1 -f -8n soit un carré; ce carré étant im-
pair, le numérateur i + \/ 1 +.8n sera pair, et par suite m sera entier. <
Cela posé, représentons l’équation cherchée par
i" + *x m ~‘ -f- Zx m ~* 4- ... 4- n — o.
En cherchant par les moyens connus Son équation aux carrés des différences , on obtiendra une équation du degré n qui devra être identique avec la proposée. On aura par là n équations entre les m coefficiens de l’équation cherchée. Or si n est plus grand que 3, il sera plus grand que m, puisqu’il est égal à
et l’on aura plus d’équations que d’inconnues ; il
y aura donc n — m équations de condition entre les coefficiens donnés qui se joindront avec la condition que i+8n soit un carré.
129. Nous allons chercher à développer les fonctions a*, log ( î-f-x) , sin x et cos x , suivant les puissances entières positives et croissantes de la variable x.
Problème. Pour développer a 1 , on observera d’abord que a* se réduisant à l’unité quand on fait x—o, le terme indépendant d’x dans le développement doit être 1 , et les autres ne doivent renfermer aucune puissance négative de x, sans quoi cette hypothèse les rendrait infinis. De plus, il ne saurait y avoir d’exposans fractionnaires, car alors le développement aurait plusieurs valeurs correspondantes à une seule valeur d’x > ce qui ne peut avoir lieu pour la fonction a z ; ce développement sera donc de la forme
a z — 1 -f- Ax 4- Bx a -f- Cx 1 -f- Dx* 4- etc. . . .
Or, si l’on y échange x en x -f- h , on a le même résultat qu’en multipliant a* par q. h , c’est-à-dire 1 -f- Ax 4- Bx* 4- etc. par
+ etc-
Prenant dans les deux cas le coefficient total de la première pu issance d’h , on aura , en les identifiant ,
A 4- aB r 4^3Cx a 4- etc. = A A*x -f ABx* 4- etc. ;
d’où l ! on tire
2B = A», 3 C=s AB, 4 D = AC , etc. ,
et enfin
B t> D “ÎX4 >etC -
Le développement de a* devient
AV
I* , , Ai” . A +37*
<z — i -j- Ax 4" 4- ■ ; "4— — . -f-
Il ne reste plus qu’à trouver la valeur de A. Ce développement ayant lieu quel que soit x, posons Ax = î , il devient
-f- etc. == e.
Les termes de cette série diminuant rapidement, si l’on calcule la somme des dix premiers termes , on trouvera
6 = 2,7182818 etc. à moins de 0,00000002 etc. près.
De l’équation a = e , on tire en prenant les logarithmes dans un système quelconque ,
— log a — log e , d’où A =
A log e
Si l’on désigne par V les logarithmes pris dans la base e (ces logarithmes ont reçu le nom de logarithmes népériens) , on aura A = l'a , et par suite
(2). . .a* = , + xl'a + + etc.
Faisant a=e, on trouve
( 3 ) . . .0* = ! + X + ~ + ~~ + etc.
j 3o. La valeur de c est incommensurable ; mais on peut en approcher autant qu’on veut. En effet
I | — î— -f. • ■■ -f* etc. 1 1- etc.
aTa.3 ' a. 3. 4 a a. a a. a. a
Or — 1 j
