IC
n -t- x (n + x) (n + a)* tier ». Or, cette somme est moindre que
+ etc. , serait donc un nombre cn-
+ etc. , et — - (- ; — - — - 4* etc. = -.
Le nombre entier » serait donc moindre qu’une fraction -
Tt
plus petite que l’unité ; ce qui est absurde;
La valeur de e est donc incommensurable.
i5i. Lorsqu'on prend pour valeur approchée de e la somme des n premiers termes de la série (l), l’erreur E est moindre que
^ a.3. . .n ^ {n -f- x (n -f- î) (ra-J- a) etC ‘} *
et on vient de voir que
n+i"^ («4- 0( n + a ) CtC ’ ^ »
On peut donc toujours prendre n assez grand pour que l’erreur soit aussi petite qu’on voudra.
Exemple. Si n=io, on trouve e = 2,7 182818 etc.; l’erreur est moindre que — ou que —r. — ou
que 0,00000002 etc.
i3a. Problème. Développer la g ( 1 + x) suivant les puissances entières positives et croissantes de x. ■
On cherche le développement de log ( 1 x) , parce que celui
de log x devant devenir infini par x—o, ne saurait procéder suivant les puissances positives de x. Nous venons» de trouver que dans le développement de a x , le coefficient de la première
puissance de x est : si donc nous cherchons ce coefficient log e
par une autre voie , nous connaîtrons le développement de log a et par suite celui de log (1 -f-x) , en posant ct= 1 -f- x. Or,
û J = {i+(a-i)} I = i + i(fl-i)4
(a— i) 4 4-etc.,
et la somme des coefficiens de la première puissance de x sera (a— i)‘ (a— ’i) 3 (a — O 4
-f- etc.
■.Donc
log e a o 4 ;
Changeant a en 1 -f - x et multipliant par log e , il vient
( 1). . .log (1 +x) = iog e (x — Y + y — y + etc.).
Si l’on prend e pour base du système , log e deviendra l’unité, et désignant les nouveaux logarithmes par la caractéristique V , on aura
(2)...r(i +x)=x — Y+y- — + etc.
Cette série n’étant pas convergente pour des valeurs de x
plus grandes que i , ne pourrait servir h calculer les logarithmes des nombres plus grands que 2. Pour la transformer en une autre qui soit convergente, changeons x en — x , nous aurons
r (l — x) = — x — - — etc.
Retranchant ce développement du premier, il vient
'0 — >=<T=f)= <*+T+T + ' te >'
Pour rendre cette formule convergente et d’une application commode, faisons
= 1-4 — ; nous eu déduirons
x = — , et par suite
* 0 ~ 2 {ay i 3 («y -+- Tÿ* 5(aj> + i) 5 eU } -
Or, ^i+^= r (r~z~~) — e {y + 1 ) — Hyï Donc
(3) . . . I{y + ■ ) - = ■ {~rr + si~+Tf + c, 4
Cette série donnant la différence entre les logarithmes de deux nombres entiers consecutifs, fera connaître les logarithmes de tous lés nombres entiers, en donnant à y les valeurs 1,2,3, etc. De plus elle est fort convergente , et il suffira d’en calculer un très petit nombre de termes. On calculera de cette manière les logarithme* des nombres dans la hase. e.
Si l’on veut ensuite construire une table, d’apr?s une hase quelconque a, il suffira de riiultiplier tous les premiers logarithmes par — ; cette constante prend le nom de module ; et sa
valeur pour passer de la hase c dans la hase i o est o,^3 i 29448 1 9 etp.
1 33. 11 est facile de parvenir directement à la série qui exprime le logarithme de î H-x. En effet; ce logarithme se réduit à *éro quand x = o, et quand la base est donnée, un nombre n’a qu’un seul logarithme réel; on est donc conduit à poser
(i)...log(i+a')=M(x+flx’-{-£jr , +cx*+r£r 5 -f-elc.)=y' (x) ; d’où /'(x)=»M(i +2ax-f'3ÙJ*+ | icx :i -f-5dx'*-f-etc.)
Pour obtenir une autre valeur de f'(x), on change x en x + h dans f (x) ; ce qui donne
/(r-f-ù) = log(i +x + ù) = log|(i + x) (i
= log(i + x) + log(i +
Mais, d’après la 'formule (î),
, / h \ h ah‘ . I
îog( i -j — 1 = M< — h; — ; — r-+etc.>.
Donc
fi *) = ~ m (t^) = —x+* , —x 3 + «te.).
Les deux valeurs de f'(x) devant être identiques, il faut que
aa = — i , 3b = + i , 4ç = — i , 5d = -f- 1 5 etc. ; d’où a = — i, ù = + i, er= — i, d = + i, etc.
La série { i ) devient •
'(*)• • -log(i +*) = ^(x ~ f + y - J + etc.)
Le module M ne pourra se déterminer que lorsqu’on donnera la base du système de logarithmes.
)igitized by GoogI
Désignant par £ les logarithmes qui correspondent àM = 1 , et représentant par e la hase de ce système , la formule (a) conduit à la formule (a) (page «28), et par suite à la formule (3) (page 129); cette dernière sert à calculer les logarithmes des nombres entiers dans la base e; 011 en déduit la valeur. . . .
0,43429 etc., de y - - ; et ces logarithmes multipliés par le mo-
dule 0,43429 etc. , fournissent les logarithmes des mêmes nombres pris dans le système tabulaire dont la base est 10.
Pour calculer la base c qui correspond à M = i, on observe que si <t exprime l' 10, on aura e* = 10. Prenant les logarithmes tabulaires des deux membres de cette égalité, et désignant ces logarithmes par l, il vient
/(e*) = /10, ale — 1, le — - — --- = o, 4342g etc.
Cherchant dans nos tables à quel nombre correspond le logarithme 0,43429 etc., on trouve que 0=2,7182 etc.; ce qui s’accorde avec le résultat du n° i3i.
i34. Dans toute sérié dont les termes sont a l ternativement positifs et négatifs , si chaque terme est moindre que le précédent, la somme des n premiers termes différera de la somme de tous les termes , d une quantité moindre, que le n-f- i Umr terme. En effet; soit une série de cette espèce
S= a — b -\- c — d e — f -}- g — etc. ,
a , b , c, d , e , f, g , etc., seront des nombres positifs, et on aura &<o, c<£, d<r, e<d, f <e , g < f, etc. Or
S = a — (b — c) — (d — e) — (/— g) — etc. ,
S — a — b + (c — d)H-(e — f) + etc. ,
S = o — b c — ( d — e) — (f — g) — etc.
Et ainsi de suite. Chacun des binômes compris entre parenthèses étant positif, on voit que
S^>a — b-j-c — d, «te.;
ce qui démontré le principe énoncé. On voit de plus que les somnles partielles sont alternativement au-dessus et au-dessous de la somme totale. .
1 35. Problème. Développer sin x et cos x suivant les puis- <y sances croissantes de x.
Ces développcmeüs ne pourront renfermer que des puissances entières et positives de x, par les mêmes raisons que dans les fonctions précédentes; de plus, sin x ne pourra renfermer que des puissances impaires de x, et cos x des puissances paires , parce que le-prcmier développement doit changer de signe avec x, et le -second rester le même. Et comme x = o, réduit cos x au rayon î , on doit poser
sin x = ax -f- ix 3 -f- ex 5 + dx 7 etc. , cos x = î + ax* -f- -f- yx 6 -f- etc.
Remplaçons x par x + A dans sin x, et prenons le coefficient de la première puissance de A, ce coefficient sera la dérivée de sin x ou de son développement. Or
sin (x -f- A) = cos A sin x sin A cos .r.
Remplaçant sin A et cos A par leurs développemens , qu’on obtiendra eu changeant x en A dans ceux de sin x et cos x, il viendra
sin (x-f- A) = (i «A* -f- etc.) sin x -j- (ah -f- bld -f- etc.) cos x.
Le coefficient de la première puissance de h , dans ce développement, est- a cos x; l’égalant à la dérivée du développement de sin x, qui est
a + 3 Ax 2 + 5cx* -f- j dx 6 -f- etc. , on aura l’identité
a (i + + Cx* rt- etc.) = a -f- 3Ax 4 -f- 5cx‘ + etc. ;
d’où
(i)..,fl=:fl, 3b = a*, 5 c = af, 7 e? = ay , etc.
Agissant de la même manière pour oos x, on aura
cos ( x -J- //) = cos x cos h — sin x sin h.
Le coefficient de la première puissance de h sera dans oe cas — a sin x, et l’égalant à la dérivée de cos x, il viendra
— a ( ax + bx 3 -J- ex 5 -f- etc.) = aetx -f- 4ÊX 3 -f- Êyx 5 -f- etc. ; d’où
(a) . . ,' 2 a — — a*, 4î= — ab , 6y = — ac , etc.
• Les équations (i)et (a) donnent successivement
Les développemens de sin x et cos x deviennent
s > etc -
sin x = ax •
— etc. ,
co s x = î —
ax
it rt
— etc.
Pour déterminer la constante a , nous observerons que quand x tend indéfiniment vers zéro, le rapport tend indéfini-
ment vers l’unité. En effet , si d’un point ou mène deux tangentes à un cercle, la somme de leurs parties comprises entre ce point, et les points de contact sera plus grande que l’arc convexe qu’elles embrassent ; le ihèmc rapport existant entra l’une des tangentes et la moitié du même arc, il s’ensuit d’abord qu’un arc est plus petit que sa tangente; or l’arc est evidem-
sinx
ment plus grand que son sinus. Donc — — - est toujours plus
grand que i.mais plus petit que l’unité. Or = cos x
® 1 tangx 1 1 n tangx r
donc la limite est l’unité quand x tend vers, zéro : donc à plus
, . smx . . sinx
forte raison qui est compris entre 1 et - ■ , s'appro-
tang x sin x
chera indéfiniment de i ; donc enfin la limite -de est i. Or.
en divisant par x le développement de sin x, et ftiisant converger x vers o, on trouve a pour limite du rapport j donc a = 1 , et par conséquent
sin x = x -
+ etc..
co s X = I f-
• 4 * etc.
Ces formules sont très convergentes pour les arcs plus petits qu’un demi-quadrant; car les termes décroissant rapidement et étant alternativement positifs et négatifs, l’erreur commise en s’arrêtant à un terme est moindre que le suivant (n° i 34) : c’est par elles que l’on calcule les tables des lignes trigonométriquCs.
i36. Si l’on change x en x — 1 dans le développement de e* ( voyez page 126 ), on aura
+ etc.
Comparant cette série avec celles qui expriment sin x et eus x, on en conclura identiquement
. 1 = cos x -j- [/ — 1 sin x.
Si dans cette équation on- éliange x en mx, il viendra
e i *mV— 1 cog mx y' — , s ; n /j jx.
Or e mxV '~ 1 = (e**^ — , ) m (cos x + \/ — 1 sin x )" ; d’où il résulte, quel que soit m,
(cos x -f- {/—^i sin x)* 1 = cos mx + l/ — » sin mx.
Réflexions préliminaires et Problèmes sur l'écoulement des liquides.
\Zf. Lorsque pendant des temps égaux quelconques les quantités de liquide qui sortent d’un vase sont égales, on dit que la vitesse de l’écoulement est constante, et par vitesse on entend la quantité de liquide qui sort pendant l’unité de temps.
Lorsqu’au contraire les quantités de liquide qui sortent pendant des temps égaux quelconques ne sont pas égales , la vitesse de l’écoulement est variable.
Nous allons résoudre plusieurs problèmes en supposant que chaque vase est un cylindre vertical dont toutes les sections horizontales sont égales entre elles, que le liquide sort par un orifice horizontal pratiqué au fond du vase , que la «urfacc supérieure du liquide reste plane et horizontale, que la* vitesse variable de l’écoulement est proportionnelle à la hauteur du liquide dans le vase, et que a désigne la constante par laquelle il faut multiplier la hauteur du liquide pour obtenir la vitesse correspondante de l’écoulement.
Cela posé : si la hauteur du fluide dans un vase étant h mètres , chaque section horizontale de l’intérieur du vase est q mètres carrés, le volume total du fluide sera qh mètres cubes. Désignant donc ce volume par V mètres cubes, on aura
V r- qh ; d’où /i = -.
Ainsi, le nombre d’unités cubes du liquide contenu dans le vase, divisé par le nombre d’unités de surface de chaque section horizontale de l’intérieur du'vase, donne pour quotient le nombre de mètres de hauteur du liquide dans le vase.
Pour déterminer la valeur de a relative à un vase donné, on mesurera la hauteur du liquide dans ce vase ; soit h mètres cette hauteur; on laissera sortir le liquide pendant l’unité de temps, en entretenant toujours l’eau à la même hauteur h ; la vitesse de l’écoulement sera constante, et si la quantité de fluide qui sort pendant celte unité de temps est v mètres cubes, alors
v sera la vitesse de l’écoulement due à la hauteur h du fluide ;
on aura v—ah, d’où a~ T - On connaîtra donc a.
La vitesse de F écoulement à un instant quelconque est donc la quantité de fluide qui sortirait pendant l’unité de temps si a partir de cet instant la vitesse de l'écoulement devenait constante.
La valeur de a sera supposée la même dans les vases que nous considérerons.
Ces hypothèses sont rarem'ent d’accord avec ce qui se passe réellement dans la nature, mais il ne s’agit ici que d’exercer le raisonnement des élèves.
1 38. i* r Problème. La quantité d’eau contenue dans un vase est p; le liquide sort avec une vitesse variable proportionnelle à chaque instant à la hauteur de l’eau. Combien restera-t-il d’eau dans ce vase après t heures d’écoulement? Toutes les sections horizontales du vase sont constantes et égales à q mètres carrés. Pour résoudre ce problème , nous concevrons que l’heure , prise pour unité de temps, est divisée en n inslans égaux; la
durée de chaque instant sera — ou - , et les t heures conn n n
tiendront tn inslans. Nous supposerons d’abord que la vitesse de l’écoulement ne varie qu’au commencement de chaque instant, c’est-à-dire que cette vitesse est constante pendant chaque instant et variable d’un instant à l’autre; ce qui approchera d’autant plus de fournir la solution demandée, que le nombre des jnstans sera plus grand. Lorsque nous aurons trouvé la formule générale qui correspond à cette hypothèse , nous supposerons que le nombre n des instans contenus dans l’unité de temps est infini ; la durée de chaque instant devenant infini— ment petite , nous aurons exprimé que la vitesse de l’ccoulement varie au commencement de chaque instant infiniment petit, c’està-dire d’une manière continue ; le problème sera donc résolu- Effectuons ces calculs, et cherchons d’abord comment la quantité d’eau contenue dans le vase à la fin d’un instant, se déduit de ce qu’il y avait au commencement de cet instant. Si la quan-
Vite d'eau renfermée dans le vase au commencement d’un instant est R, et si la hauteur correspondante du liquide est h , le vo-
luine R du fluide sera égal à qh . de sorte que i = — ; la vitesse
constante de l’écoulement pendant cet instant sera — , c’cst-à- ✓
dire que la quantité d’eau qui sortirait en une heure ou en n
. . . . oR
mstans, si la vitesse restait constante, serait — j ce qui sort
pendant un instant est donc — ; la quantité d’eaq qui restera
à la fin de cet instant sera donc R
Désignant par i la constante 1 — , on voit que la quantité
(Veau renfermée dans le vase au commencement d'un instant quelconque étant R , pour obtenir ce qui en restera à la Jin de cet instant , il suffit de multiplier R par la constante h.
Cette; dernière propriété conduit à la solution du problème, car la quantité de liquide contenue dans le vase au commencement du 1 er instant de l’écoulement étant p, les quantités d’eau qui resteront dans le vase à la lin du 1 er instant, du 2 e ,. . . , du tn iimt , seront pi, pi 5 , . . . , pi‘“. Nommant donc x la quantité de liquide qui l'estera dans le vase après t heures d’écoulcuieul , on aura •
x = pi‘-c=p(,-^ )".
Pour trouver ce que devient celte valeur de .r quand n est infiniment grapd , c’est-à-dire quand la vitesse varie d’une manière continue, on développera d’abord
la for-
mule du binôme, et l’on verra aisément que ce développement peut se mettre sous la forme
Tl) çd
r etc.
Lorsque n est infini, les fractions - , - , etc., se réduisent à
zéro, et en faisant — = z, la formule demandée dev ient
x = p{i — z + - — + etc.j.
Or, en désignant par e la base des logarithmes népériens , et en faisant x= — z dans la formule (3) (page 1 26) , on trouve
1 — c -j = + etc.
Donc enfin ,
Re-
cette valeur de x est très remarquable par sa simplicité; elle fournit la solutiop dp problème proposé.
1 3 g. a? Problème* On a deux vases ; l’eau sort du premier, entre dans le second , et sort du second par la partie inférieure. L'eau sort du premier vase avec la vitesse constante v'; elle sort du second vase avec une vitesse variable , proportionnelle à la hauteur de l’eau dans ce vase. Lorsque l’écoulement com- ' mence/le premier vase et le second contiennent respectivement pl et p mètres cubes d'eau. Toutes les sections horizontales du premier vasg sont égaks à q' mètres carrés , et celles du second sont égales à q mètres carrés. On demande combien il restera d'eau dans chaque vase, après l heures d'écoulement.
Dans le premier vase, il restera (p' — tv) mètres cubes d’eau. Pour trouver ce qui restera dans le second vase, 011 raisonnera comme dans le problème précédent, et l’on dira : si à un '"listant quelconque, la quantité d’eau qui reste dans le second
vase est R, la hauteur de l’eau sera —, et la vitesse de l’écoule-
oR . . .. «R
ment sera — ; pendant eet instant, il sortira — , il en entrera , *• f 7 "<7
— ; donc à la fin de cet instant, la quantité d’eau qui restera
clans le vase sera
( E + ^--^)> *0 -£)+£■ ou (®*+ï)
Ainsi , le nombre de mèt'es cubes d’eau contenus dans le second vase au commencement d’un instant quelconque étant R, la quantité d’eau qui restera dans ce vase à la fui de cet
instant sera (**+& V .
Cette propriété générale conduit à la solutiontlu problème ; car au commencement de l’écoulement, le deuxième vase contenant p mètres cubes d’eau, si la vitesse ne variait qu’au commencement de chaque instant , les nombres de rriètres cubes d’eau qui resteraient successivement dans ce vase, seraient
Fin du l rr instant
instant *
}4 + — = pi>q. — (t +6) r
pb'-t (i -4-4) 1 X H = -) +
Fin du tn i,m • inst. />&'•+— ( 1 -f-i •+•&*+•• + V
Désignant dont! par x la quantité d’eau qui. restera dans le second vase , après t heures d’écoulement , on aura
Mais b = i ; donc 1 — b = — .
qn • qn
Substituant cette valeur de t — b, on trouve
vq
Lorsque n est infini, b ,n devient é~ l (n° 1 .38) , la vitesse de l'écoulement varie d’une manière continue, et le nombre de mètres cubes d’eau qui restent dans le second vase après t heures*
d’écoulement est donné par la formule
1 4o:- 5* Problème. On a deux vases , l'eau sort llu premier , entre dans le second, et sort du second par la partie inférieure. Les vitesses d’écoulement, par les deux orifices, sont variables et proportionnelles aux hauteurs de l'eau au-dessus de ces orifices. On demande combien il restera d'eau dans chaque vase après t heures d'écoulement.
Nous conserverons la notation précédente , et nous ferons
On a vu dans le n° i38 , que la quantité d’eau qui reste dans le premier vase après t heures d’écoulement est p'e~ i \
Soit y la quantité de liquide qui restera dans le second vase après t lieûres d’écoulement. Pour trouver la j aleur de y , on supposera qu’au commencement d’un instant quelconque les nombres de mètres cubes d’eau contenus dans le premier vase et dans le deuxième, soient R.' et R \ les hauteurs de l’eau seront ^ et — ; les vitesses d’écoulement seront — et —
oR'
Les quantités d’eau écoulées pendant cet instant seront et — ; donc à la fin de cet instant, le premier vase ne con-
tiendra plus que
aBf
et le second en contiendra
r ïî + 2®:
nq nq
ou R'6',
ou R6 -f-
oR'
nq'
Ainsi, les nombres de mètres cubes d’eau contenus dans le premier vase et dans le deuxième z, au commencement d’un * instant quelconque étant R' eiR, les quantités d'eau qui restent
dans ces vases , après cet instant, sont
R' Xi' et (Rxi+R'X^r).
Ces formules donnant le moyen de passer d’un instant à l’autre, on verra facilement que les nombres de mètres cubes d’eau qui resteraient dans.chaque vase,6i la vitesse ne variait qu’à chaque instant, seraient *
Au commencement du i" instant, dans le i" vase p', dans le a* vase p ,
Fin du t" inst. , t" vase p'b' , a' vase pb + p' — -, ,
nq
a* inst. , i" vase p'i'* , a' vase pb'+^—j'^b+b')
î' inst., t" vase p’b 1 ', a' vase pb'+^-^f (6* + 44' -4-6'’)
,,,p'n Pl> 3 — & M \
Fin du 4‘ inst., I" vase p'b a' vase pb*-P—,!b i + b , b'-pbb’ 1 -hb' 1 )
nq
Par conséquent , si la vitesse ne variait qu’au commencement de chaque instant, les y mètres cubes d’eau qui Testeraient dans le second vase après tn instans, seraient donnés par la formule
Un l P a (b ln i ,,B \
Mais
donc
1 ^ gj. y ^ CL
qn q'n ’
q'n (i — b') q — q' ’ donc .,.y = pb‘"-y-^ (à m b' ,a ) = +
Supposant n infini , b"‘ et b' ,n deviennent e~ z et e~ z ' ; donc enfin
Si les sections horizontales q , q' des deux vases étaient égales, b deviendrait égal à b', et la valeur de y renfermerait des termes infinis. Pour trouver la valeur de y, correspondante à l'hypothèse q = q', d’où b = b', on prendra la formule
Cette valeur de y se présentant sous la forme " , on divisera
b ‘“ — b ,,n par b — b', ce qui donnera le quotient exact
l,m—i Itn-ty' b m ~ % b' z ■+•*•+ b' ,a ~ l ; supposant b = b' , ce
quotient devient b ,n ~‘ ; de sorte que la valeur de y est
y=r h ‘'+i%* f ( p + ïr) x i "-
Supposant n infini, b ,n devient e~ z , b se réduit à l’unité, et l’on a
1 4 1 . 4 e Problème. Un vase rempli de vin se vide par un orifice, et ce, vase est continuellement rempli par de l'eau ; de sorte que le liquide reste toujours à la meme hauteur. Le mélange de l’eau et du vin se fait continuellement. On demande les proportions du mélange après un temps donné.
Le liquide restant toujours à la même hauteur, la vitesse v de l'écoulement est constante; conservant les notations précédentes, on verra que
v — - a\ d ou - = — .
Pour résoudre le problème, on supposera d’abord que les proportions du mélange ne varient qu’au commencement de chaque instant. Supposant ensuite que le nombre des instans
est infini, on trouvera les formules demandées. Effectuons les calculs. Si au commencement d’un instant quelconque la quantité de vin contenue dans le vase est Y, la quantité de mélange
qui sortira pendant cct instant sera - on Or, sur la quantité p du mélange, il n’y a que V de vin; les mètres cubes de
mélange ne contiennent donc que ■— V de vin ; la quantité de vin qui restera dans le vase , après cet instant , sera donc
Ainsi, pour passer de la quantité de vin contenue dans le vase au commencement d'un instant , à celle qui reste après cet instant , il suffit de multiplier la première quantité par b.
Mais, au commencement du i tc instant de l’écoulement, le vase contenait p de vin; les quantités de. vin contenues dans le vase à la fin du i er instant,- du 2 ', du 3', , du tn Umr , sont donc
pb , pb\ . . . , pb ,n .
Désignant ce dernier nombre par x , on aura x = pb m .
Celte formule suppose que les proportions du mélange ne varient qu’au commencement de chaque instant. Pour que le mélange sc fasse continuellement, il faut que n soit infiniment grand; alors b‘ n devient e~ z , et l’on a
at vt
x—pe , z--—-.
Telle est la quantité de vin qui restera dans le vase ‘après t heures d’écoulement. £ette quantité diminue à mesure que le temps augmente, mais elle ne peut jamais devenir nulle; le mélange contiendra donc toujours du vin.
.42. 5*. Problème. On a deux vases , dont P un ne contient
que de Peau , et dont l'autre ne renferme que du vin pur. L’eau sort du premier vase, entre dans la second, se mélange à l’instant , et sort ainsi mélangée. Les vitesses des écoulemens sont proportionnelles aux hauteurs des fluidés au-dessus des orifices. ■ On. demande les proportions du mélange après un temps donné.
Nous supposerons toujours, que les sections horizontales des fluides dans le premier vase et dans le second sont q et qy que les nombres de mètres cubes de fluide contenus dans ces vases , lorsque l’écoulement commence , sont p et p. Si au commencement d’un instant quelconque , le second vase contient P de
mélange, dont "V de vin; alors la hauteur du mélange sera — ,
oP ^
la vitesse de l’écoulement de ce mélange sera — , et la quantité
de mélange qui sortira pendant cet instant sera — 011 — Y P
nq nq
Mais P du mélange ne contient que V de vin pur; donc — X P . n< 7
du mélange ne renferment que — X V de vin.
nq
De sorte que le vin qui reste dans le second vase au commencement d’un instant quelconque étant V, le vin qui reste à
la fin de cet instant est (\ — V ) ou bV .
. ^ nq J
Ce résultat étant le même que dans le problème précédent, 'ou en conclura que le nombre de mètres cubes de vin qui restent dans le second vase après t heures d’écoulement est pé~ l . De sorte que la quantité de vin qui reste dans le second vase est la même que s’il n’entrait pas d’eau. On conçoit que cela est possible, car si d’un côté l’eau qui entre accélère la vitesse de l’écoulement ,* de l’autre elle diminué la proportion de vin du mélaijge ; et le calcul démontre que la compensation est exacte. Les quantités de fluide qui restent dans chaque vase sont données par les formules du n° i 4 o. •
Problèmes sur les Mctxima et les Minitna.
i i3. ^Problème. Partager un nombre a en deux paflies dont la somme dès carrés ou des racines carrées soit maximùm ou minimum.
i*. La somme des carrés est x*+ (a — x)“ ou ax“— aax-f-a*. La première dérivée donne l’équation 4x — aa = o, d’où
x = -a: La seconde dérivée étant. positive, la somme des carrés
est un minimum pour x=± — a.
2 ". La somme des racines carrées est
Egalant la dérivée de cette fonction à zéro, il vient
77^ y =-° ; d’où x = -û.
■iy x av/a— x . a
La seconde dérivée est L 1
et Comme x= -.a la rend négative, on a un maximum.
Dans ces deux cas les deux parties sont égales.
144. Problème. Trouver le maximum de l’aire d'un triangle dont on connaît un coté a et le périmètre 2 p.
Cette aire a pour expression [/p{p — a){p—b)(p— c ); U
faut donc connaître le maximum du produit ( p —b)(p c ),
sachant que b c = ap — a; ce qui réduit ce procfuit' à (p — b) (a + b —p) ; b étant la variable, la dérivée sera (P — b) — (a-f-ù—p) q U i égalée à zéro donnera
b~p — -a, et par suife c=p — - a. * ‘
Le triangle a donc les deux côtés cherchés égaux.
145. Problème. Trouver le minimum de l'aire totale ou du volume d’un cône droit circonscrit à une sphère donnée.
îo
Soit a le rayon de la sphère et x la hauteur du cône , la surface totale du cône (fig. 10 ) aura pour mesure
• srAN.NX + srAN* ou 7r (a AN + AN . MX) :
OS: on a AN : BM :: AX : MX, ou AN : a ” x: \/ x?— aar. Substituant, la surface conique totale deviendra
/ an’x* \
w — S-ax ).
\x' 1 — 2 ax * /
Pour en trouver le mi niimtm, divisons par va et réduisons ,
il vient — f — - — , ou
x a — a ax
La dérivée égalée à iéro donne Six(x — aa) — x* = o, ou x % — 4ax = o; d’où x = 4 a, car x = 0 ne peut convenir.
La seconde dérivée deviendrait positive en y faisant x=4aj on a donc un minimum. Les valeurs correspondantes sont
BX = 3c,. XM z=a[/E] AN=aV/n, NX = 3aV/â.
a°. Le volume du même cône aura pour mesure
vrAN.x __ va'x' J va*x % *
3 * ° U 3(x a — a ax) * °° .3 (x — a a)'
Il faudra donc encore trouver le minimum de ; ce qui
» • . X— 2fl' *
conduira aux mêmes résultats. - • T
i46. Pr.OBi.biE. On donne un levier dont le parint d’appui est A {fig. n), et auquel une force connue P est appliquée perpendiculairement à la distancé AB = a ; le poids du levier est de b pour une unité de longueur ; on demande en quel point, il faut appliquer une force X minimum, qui produise l’équilibre.
Soit Is le point cherché , et A A=x. Le poids du levier terminé en A ; sera bx , et pourra être considéré comme appliqué
au milieu AI de Afo on aura donc pour l’équilibre, l’équation è- Pa+AxX -=Xx, d’où X= — 4-— .
Pour que X soit un minimum, il faudra faire
— Pa L. i — A. pPrt , . /âPâ
• + d ~y > ct X= V ~b"
i 47 . PnoBL *me. Trouver entre deux points lumineux, le point le moins éclairé de la droite qui les joint.
Soient m’ et n*, les intensités des lumières A et B, à l’unité de distance : Soit a la distance entre les points lumineux , et x celle du point cberclié au point A.
L’intensité d’une lumière variant en raison inverse du carré de la distance au point éclairé, la somme des intensités des jdeux lumières sur le poilit cherché, sera
x* (a — xÿ> ’
expression dont il faut avoir le * minimum, ce qui donne
— 2 m a r ( an’ (n — x)
OU
n'x 3 = m\a — x) 1 ; d’où (« — x) ÿ = x \Zn‘-
Cette dernière équation conduit ix
V + yV
Lorsque m ■= n , • on trouvo x = — a.
Il est facile Je s’assurer que cette valeur de x détermine mj minimum.
i48. Problème. Trouver le maximum du produit de m facteurs dont la somme est donnée.
Nous avons vu que dans le casde deux facteurs , il fallait qu'ils fussent égaux. Or , si les m facteurs n’étaient pas égaux dans le cas du maximum de leur produit, on pourrait en prendre deux d’entre eux- inégaux , et les rendre égaux sans changer leur somme , le produit serait alors plus grand qu’auparavant } il n’était donc pas le plus grand possible. Sa plus grande valeur correspond donc à l’égalité de cçs facteurs; ce qui en détermine la valeur.
i4g. Problème. Trouver le maximum ou le minimum de , la somme des puissances d’un même degré donné m de quàn-. tités variables a , b, c,. . . . , k, dont la somme est constante.
Nous avons vu, n° 4a, que quand il n’y avait que deux quantités, il fallait qu’elles fussent égales , et que la somme de leurs puissances du degré m , était un minimum quand m était positif 'et plus, grand que l’Unité , ou avait une yaleur négative quel- , conqUe; et qu’elle était un maximum quand m était positif et plus petit que l’unité. 11 est facile .d’en conclure que le maximum et le minimum ont lieu dans les mêmes circonstances, quel que soit le nombre des quantités a, b , . . . . , k ; c’est ce que l’on fera voir en démontrant par un raisonnement déjà employé précédemment?, qu’il est impossible que dans le cas du maximum ou du minimum , il y ait deux' de ces quantités inégales. . .
i5o. Problème. Trouver le maximum de t aire d'un triangle dont on connaît le périmètre 2 p.
L’expression de l’aire sera , en appelant x et y deux des côtés,
il faut donc avoir le maximum de (p t- x) (p — ÿ) (x -f- y — p) t
‘ Les deux dérivées partielles égalées à zéro , donnent
— (p — y)(*+y— p) + (p— x Hp— y)~°>
d'oà l’on conclut immédiatement p — y =p — x , ou y = x. Reportant dans l’une des deux équations , il vient
x — -f r , et par suite y =•— , 2 p — x— y = y-
( rt 9 ) .
Le triangle est donc équilatéral , et on s’assurera , comme dans les cas précédeus , qu’il est maximum. • •
- 1 5 i . Problème. Trouver le maximum du volume d'un parallélépipède dont la somme des arêtes contiguës est une constante a. ;
Soient x, y , z ces arêtes , on aura x -f- z = a , et le volume xyz deviendra fty (a — x — y).
Les deux dérivées partielles'égalées à zéro 'Conduisent, à
y (a — x — y ) — ry = o, x (a — x — y) — xy=o.
La simple inspection de ces équations donne y = x, et substituant dans l’une dçs deux , il vient - . »
x(a — 2 x) — x s = o, ou ax — 3x* = o; d’où
x=x-, et par suite y~-, z =
I* parallélépipède est donc un cube.
' Lefc secondes dérivées feront voir facilement qu’il est un maximum.
1 5a. Problème. Partager un nombre connu a en trois parties x, y j a — x — y, telles qu# le produit x' n y"(a — x — y )p soit maximum ou minimum. " '
Les deux dérivées partielles par rapport à x et ^ , étant égalées à zéro et réduites , donnent •
ni (a — x — y) — px -
l (a — x—y)—py = o-,
d’où X — -
in-\-.n-\-p
na pa
-Un ■* 1 —
On voit donc qu’il suffit de partager le nombre donné a en trois parties , qui soient dans le rapport des exposans , m , n,p.
En formant les secondes dérivées , on reconnaîtra qu’elles satisfont aux conditions du maximum.
Lorsque m = rt=p , les trois parties sont égales, et on retombe sur l’exemple précédent.
j 53. Problème. Trouver le maximum du carré du produit des
racines supposées ri elles 4 e l'équation du troisième degré dota les deux premiers termes sont x‘ + px.
Soient a , b , c, les trois racines , on aura ...
a-f- A+e = o, ab + ac -f- bç = p. •
Pour trouver le 'maximum de a*b'c-, gn égaler# à zéro sa dérivée par rapport à a, ce qui donnera, en observant que abc ne peut être nul dans le cas du maximum , 6c + acb' -f- abc —O. L’égalant à zéro et dérivant les deux équations données, on aura
bc -f- acb' + abc = o , x -f- b' -J- c — o , i b «f- ab' -j- c -f- ac -f- bc -f- cb' -t* o;
Eliminant b' et c , on trouve a~c. Reportant dan§ les deux premières , on obtient les trois valeurs suivantes : * .
Formant fti seconde dérivée de ç' J 6*c* etT reportant ces valeurs, elle sera négative; d’où l’on conclura que le produit ti’b’c* est un maximum. Si donc on désigne par q le dernier terme de l’équation proposée, le carré de ce produit sera plus grand que q* , qui est le carré du produit dcS racines, ou lui sera tout au plus égal. Les racines ne seront donc pas toutes réelles , si l'on a
q* '>a‘ > b*c i , .ou q*~i> ■■ ,
ou enfin 4 p 3 -f- 27 q 5 >0.
Telle est , en effet, la condition connue pour que l’équatkm x 3 +px -\-q = o , ait deux racines imaginaires...
i54. Problème. Trouvgr l'aire maximum, du rectang’e inscrit dans un triangle donné. I
Soient ABC ( ftg. 1 2) le triangle donné , et , b , c , les côtés opposés aux angles A , B , C ; h la hauteur A , et x,y les côtés du
'( «Si )
rectangle inscrit, on aura ' ,
> y : h :: be : c , x : a :: a.e : c.
Or , BE + AC = c ; substituant les râleurs de AE et BE , tirées des deux proportions , il vient
^ —c; d’où ay + hx :
: ah.
Pour trouver le maximum de xy , on aura , en notant toujours les dérivées par des accens , y+ xy' =o.
Dérivant l’équation donnée, on a ay' -J- h — o, et éliminant y, il vient
y — — — o ; d’où ay Txhx,
équation qui , jointe à ay -f- hx = ah , donne zhx = ah ; d’où
a h , . ‘ah . ,
x— - , et par suite y = - , et 1 aire sera — , moitié de celle
du triangle. *
Le signe delà seconde dérivée d(f xy , fera voir que ce produit est un maximum. • . * * •
i55. PnonLÈME. Trouver la plus courte et la plus grande distance d’un point à un cercle donné dans le même plan.
Soient a, b, les deux coordonnées du point, .x* -f-y 1 — R* l’équation du cercle , et x, y , les coordonnées d’un quelconque de ses points : il faudra trouver le maximum et le minimum de (x — «O’-j-C.y — i)*; oe qui conduit à
y étant la dérivée d’y.
Or , l’équation du cerple donne Eliminant y', il vient
x + yy'xs 6 .
d’où
as a — ( y — h) - = o , — ay -f- bx = 0 ,
équation qui , jointe à x a -f- y 3 = R a , donne *
' rtaR ±bîi , .
Les signes supérieurs déterminént un minimum et les inférieurs un maximum, lorsque a et b sont positifs ; c’est ce que fait voir le signe de fa seconde dérivée de (x — ; a) a -+-(y — by. Les deux points construits sont les intersections du cercle et de la droite , menée par son centre et le point donné.
i56. Problème. Trouver le maximum du volume d'un cylindre dont on connaît la surface totale m 3 .
En désignant le rayon de la base par R et la hauteur par h , on aura
( 1 ) . . . 2xR a + axRA = m a .
Le volume aura poyr expression xR a /i. Prenant les dérivées, il vient
2RR'4 + Jl a = o , aRR' + R 'h +R = u. •
Eliminant R', on trouve (a). . . h = aR.
Les équations (i) et (a) donnent
R=m V / i et/,=m v/ê
Le volume xR a 4 devient rn 1 \ / —J—.
On verra, comme précédemment , que ce volume est maximum. 1.47. Problème. Trouver le maximum du volume d'un cône • droit dont la surface totale est m a .
Soient R le rayon de la base et x l’apothème , on aura
(1)... xR* -f- ttRj: — m 3 .
Le volume aura pour expression xR a j/ a? 3 — R 3 .
CKgitized by C
La dérivée égalée à zéro , donne , ' Vf
' 2 R'(x‘ — R a )+Rx — R l R'=o.
Dérivant l’équation (i) , on a 2RR' +R -f- R'x = o. EliminantR', il vient 3R* — x* -f- 2 Rx ■= o ; .
équation qui , jointdà la première, donne
d’où l’on voit que ce cône est semblable au cône' minimum circonscrit à la spbère (n° ! 45).
Théorèmes sur les quantités moyennes.
i58. On appelle moyenne entre plusieurs quantités, toute quantité comprise entre la plus petite £t la plus grande. On donne le nom particulier de -moyenne arithmétique entre; m quantités, à leur somme divisée par m; ct de moyenne géométrique, à la racine m i<m ‘ de leur produit.
i5ii.' Théorème. Soient des fractions quelconques à termes positifs
la fraction
sera moyènne entre les premières.
En effet, supposons ces fractions rangées par ordrç de grandeur^ et, soit q le quotient de c par b ; on aura •
a = bq, a 1 > b'q , a" >’b"q, .
d’où . •
a-\-a'-\-a’ . . -\-b'-\-b n . . .) pu ^ • • ><7-
La fraction (î) est donc plus grande que la plus petite des proposées. On prouverait semblablement qu’elle est plus petite que la plus grande ; elle est donc moyenne entre elles.
étant respectivement égales aux suivantes
Corollaire. Lçp fractions , £,
