XX * 1+H+ H
plaçant m , m , . . î, par er , a' . . . , il s’ensuit que l/ aa' a tt . . .
t */ iw
•est moyen»* entre i/o. l/a', l/â\ etc.
iGo. Théorème. La moyenne arithmétique entre un nombre quelconque de quantités est toujours plus grande que leur moyenne géométrique ; excepté lorsque % toute s ces quantités sont égales , auquel cas les deux moyennes sont égales entre elles et aux quantités elles-mêmes.
Soient les m quantités a, b , c ,. . . , k. Si l’on conçoit qu’on en fasse le produit, en laissant leur somme constante , lions avons vu que ce produit sera le plus grand possible quand elles seront traies entre elles, et par suite égales à leur moyenne arithmétique. Oc la racine m‘ im ' de leur produit se trouve alors égale à l’une d’elles, ou à leur moyenne arithmétique; et dans tout autre cas ce produit étant moindre, sa racine m^ou la moyenne . géométrique sera moindre que la moyenne arithmétique. •
161. Théorème. La moyenne arithmétique entre les m puissances d'un même degré a*, b*; c*, . .- , k*, est plus grande que la puissance du même degré de la " moyenne arithmétique entre a,l>,c,...,k, lorsque x est positif et plus grand que l'unité , ou négatif et quelconque ; elle est plus petite lorsque x est positif et moindre que l'unité. • •
En effet , supposons que a + ù -f- c + . . . — f- A reste constant; nous avons vu (page 1 48) que la somme a x -Jr- b 1 -f- c x -f • • • •+■ * sera la plus petite possible quand on aura a = b=c=. . .-=k.
Si x est négatif, ou si x est positif et ]> 1 , la moyenne arithmétique entre les quantités n 1 , b x ,. . . ,k x sera égaleà l’une d’elles ou à la puissance x de la moyenne entre a , b , . . . , h ; d’où il suit que quand ces dernières quantités ne seront pas égales, la somme a x -\-b s -J-c* + . . .-f-A*, devenant plus grande, on aura •
a x -f- b x -f- c T -|-. . . -f- ht
Si l’on avait x positif et'< i , on sait que la somme.'. . a x -\-b T +. . . +/<* serait la plus grande possible quand. . . . axz b — c— . . . =-k ; d’où il suit qu’on aurait dans ce cas
loftizaà b'/'Googte
162 . Nota. On considère souvent des moyennes arithmétiques de la forme
* * nb -f- pc + . . . -f- sk
m + n-hp + .. .-f -S ’’
elles semblent au premier abord différer de celles dont nom avons parlé’, mais il est facile de voir qu’elles n’en sont qu’ur cas particulier, et- qu’elles proviennent de ce que m des quantités données se sont trouvées égales à a, n à b, etc. . . , et la formule précédente représente toujours leur somme divisée par leur nombre , lorsque m,n,p,, . .,s, sont entiers. S’il s’en trouvait de fractionnaires, on les ramènerait immédiatement au cas*précédent en multipliant les deux termes de la fraction totale par le produit des dénominateurs : on verrait alors facilement entre quelles quantités cette fraction est moyenne arithmétique. * ,
Les mêmes considérations s’appliqueraient aux moyennes géométriques de la forme
' • t /a m b a cP. .. k‘.
Détermination de certaines fonctions , d'après une de • leurs propriétés caractéristiques . * ,
1 63. Problème. Trouver une fonction f (x), telle que l’on ait
quels que soient x et y*
Supposant y ~x , l’équation (i)'devient
Supposant ensuite y = nx, elle dévient
<p (3x) = f (-r) 4- <p (ajc) = 3p(. r).
En continuant ainsi jusqu’à y — (m — i )x , on aura pour toute valeur entière de m ) 4 >
. * <p (mi) = mç (x).
Or , le premier membre lie changeant pas quand on remplace m par x et x par m , le second membre doit, jouir dë la meme propriété. 11 faut, donc que la fonction <p(x) soit d’une forme telle que l’on ait
fex?(r)=xX?(' ÎI ); ‘1’°''
Il suit déjà que ^ est constant , puisque rien n’empéche
de laisser ni invariable», en donnant à x toutes les valeurs possibles. Désignant doue cette constante par a , on. aura
• <p (x) = ax.
Réciproquement, toute fonction de la forme ax, jouit delà propriété demandée, quelle que soit la constante a et la variable X , car on a identiquement
a (*+y) = ax + ay. .
i64. Problème. Trouver une fonction telle, que l'on ait iden -
tiquement
Faisant d’abord ^ = x , * on. aura p(x®) = [?(x)]V Supposant ensuite y =xx*, il viendra ,
En continuant ainsi jusqu’à y = x“ — 1 , on obtiendra l’équation générale
Posons maintenant x = a? ; l’équation précédente deviendra
Le premier membre ne changeant pas, quand on remplace y par m et m par^ , il en doit être de même du second; d’où l’on conclut
‘ [*(or)]" = |>(a")]L
Faisant
q(a m ) = a* , il vient
[ ♦ 0*0 ]” == «*' = d’où q> (x) = ï*\
La- fonction cherclice est donc de la forme x".
IIkcipkoquement , quel que soit n, cette forme convint à la
condition proposée , car on a identiquement
. (xjy)* =zx n y*. ' ■
i65. Phoblème. Trouver une fonctionnelle, que l'on ait identiquement ‘
Soit yxzx, on trouvera ç>(ax) = [tp (x)] 1 .
Faisant successivement
« -* y = ax, y = 3x, .... y= (m — i)x,.
. on obtiendra l’équation générale
<p(mx) = [ç(x)] n . -,
Remarquant que le changement de m en x et de x en m n’altère pas le premier membre , on en conclura
d’où , en prenant les logarithmes des deux membres dans une base quelconque , * . * •
- mlog<p(i) = xlogf(m.)j
ce qui donne *■ . • " * .
» - . Iog <p(r) r- l <jg.ç{m)
Le premier membre de l’équation est donc constant , «qu'el que soitx, puisque m est un nombre qu’on peut laisser invariable; nommant a cette constante, on aura
r log $(x) = ax ; d’où <p (x) =aj“,
b désignant la base du système de logarithmes que l’on a choisi.
Si l’on fait b‘ = A , il viendra « «
Réciproquement , toute fonction de cette forme satisfait à la condition proposée , puisqu’on a identiquement
166. Problème. Trouver une fonction telle, que l'on ail identiquement <p ( ry) = <p (x) -f- ç (y).
Faisant successivement
ys(m- l\r. t
on parviendra à l’équation
Posant x = a*, il vient
<p(ar m ) = nupCar).
Observant que y et m entrent symétriquement dans le premier membre, on obtiendra, en les substituant l’un à l’autre dans le second- membre ,
d’où £i^ = lL a ^ =c .
o désignant une constante. Il en résulte
<P (« y ) = cy.
Remplaçant a/ par x , et y par log x, on a
# ç(x) =clogXj
a étant la base du système de logarithmes.
Réciproquement, quels que soient a et c, la fonction clog x satisfait à la condition donnée, car on a toujours
'■ . c log (xj) - c log x -f e log y. ' - .
* • Problèmes divers.
167'. Problème. On a part figé vne certaine somme entre ni personnes ; la première a reçu une quantité connue a , plus la n i,m ‘ partie du reste : la seconde a reçu aa , plus la n Um ‘ partie "de ce qui reste, après avoir prélevé ces aa outre la première part : la troisième a reçu 3a, plus la n Umr partie du nouveau reste ; et ainsi de suite. On demande la valeur de la somme en question, et la condition pour que toutes les parts soient égales, et que la somme se trouve entièrement epuisée.
Soit x la somme cherchée , et y , , y u , y 3 , . . . , y m , les diiTérentes parts; d’après la loi donnée pour la formation , on aura , pour déux parts consécutives quelconques , l’une du rang p , l’autre du rang p + 1 , les deux expressions suivantes :
* , X — pa—y , — y a —.y 3 —...—y
yr = P a-i — — - — , .
Retranchant la première de Ta seconde, 011 trouve pour différence,
a — l t — Egalant cette différence à zéro, il vient y p =(n — j)a;
d’qp l’on voit que la condition nécessaire et suffisante pour l’égalité de toutes ces parts , est qu’elles- aient chacune pour valeur (n — 1 )a. Mais pour que la somme x' soit entièrement épuisée après la m Ume part , il faut que celle-ci se réduise à ma ; car s’il restait encore quelque chose après avoir prélevé ma , en n’en prendrait que la n Umt partie, et il y .aurait encore un reste après la m.‘""'.part. Il faut donc , pour satisfaire à la fois à cette condition et à celle de l’égalité de toutes les parts , que l’on ait (n — i)a = ma, ou n — 1 = m. Quand cette condition sera remplie , on aura facilement la valeur de x , en multipliant une des parts par m ; ce qui donnera . x = om 1 .
168. Problème. Trouver la valeur d'une somnie que P on partage entre ra personnes, de manière que la première ait a , plus la
. Dkjiikodby
ri'*' partie du reste ; la seconde 2a , plus la n Uml partie du reste, et ainsi de suite, sans que l’on assigne aucune relation entre les différentes parts.
Soit encore x la somme cherchée et y, , y t , . . .. ,y m , ses diverses parties. Pour connaître la manière dont les parts peuvent se déduire les unes des autres , prenons en deux consécutives quelconques,^,, ,.>>+1 ; hous aurons pour leurs expressions
jw. = (p + <K+ îr»+ i >-j-v-j,-,. r it ,
' Il
Prenant leur-différence , il viendra
y ?+ « —yp- a -
d’où ny p+ , — ny r ==na — a — y p ;
ce qui donne y, = Ç~~^)y p+ , — a.
Partons maintenant de la dernière part, qui devra être ma. pour que la somme soit entièrement épuisée , et exprimons toutes les parts précédentes, au moyen de la loi que nous venons d’observer entre deux parts consécutives quelconques; il suffira ensuite d’en faire la somme , pour connaître la valeur de x. Représentant ,
pour plus de commodité , ^ par k , on aura successivement
y m —rna,
y m ^ l = hy m —a = krna — a,
ym-! .= , — a— Wma — ka — a ,
y m ~s — kym-* — a — Wma — Wa — ha — a ,
—y,.*=-k m -'ma — /{"““a — k m ~ 3 a — 'k n ~^a—... — ha— a.
Ces valeurs de yi,y % , y s , . . . ,y m peuvent être’mises sous la ' ti
forme suivante :
y, — k m 'ma — a ^
y,- = A ” - 'ma — a ^
= h°ma a
y m ,=kma — a,
. y* — ma.
Faisant leur somme, on aura pour x la valeur suivante :
Lm .
Remarquant que 1 + A H- k* -f- ... -f- A m— 1 3= et ci»e
k' + P+...+k m -'=zk'( ^ : 1
on aura
x r ma \.k=ï)-
Remplaçant A par sa 'valeur
, il vient en réduisant
K-èjr-c- + .);c-èO+.
Telle est la formule de la somme cherchée , quels que soient 7/4 et n.
Si l’on demandait que toutes lés parts fussent égales, il faudrait , d’après le problème précédent , que l’on eût n — 1 = m et la formule ci-dessus se réduirait à x = am' , comme nous l’avions déjà trouvée dans ce cas particulier.
ïG<). Les intérêts d’une somme se cumulant à chaque instant , il est évident que si l’on doit un intérêt R à la fin d’un an , on
aurait du désavantage à payer — au bout de G mois , et — à la
fin de l’année , parce que le premier paiement que l’on ferait au milieu de l’année, porterait intérêt pendant les 6 derniers mois, et l’on se trouverait avoir payé réellement plus quel! au bout de l’année. Si, au lieu départager l’intérêt total en deux paicmens, on le partageait en trois , en quatre , et ainsi de suite indéfiniment-, le préteur aurait de plus en plus d’ avantage à cette division du paiement, qt l’on peut se proposer de calculer la limite de cet avantage en supposant que le nombre des paiemens tende vers l’infini ; c'est ce qu’on résoudra de la manière suivante : Problème. Trouver la limite de ce que devient un capital après n années, en supposant que d’intérêt de i* par an est r ft , que l’année est divisée en i' instans çgaitx , que d intérêt
de i 1f pendant un instant quelconque est — • , que P intérêt
s’ajoute à la fin de chaque instant au capital pour porter intérêt (Tendant P instant suivant, et que le hombre S' tend vers l'infini.
L’intérét de i # pendant un instant étant y , l’intérêt du ca-
ttr *
pital et. * pendant le i er iustant est -y ; de sorte qu’à la fin’ du
f . ar* / /■N
1 er instant, ce capital vaut a # -f* -y ou a” X ( i ■+• y. Par conséquent le capital a * vaudra, à la fin du a e instant a* X -f- Çÿ , à la fin du 3 e instant a* X ^ i + , . . ., et
à la lin de la n ,imt année ou de S'a instans, le capital <**'• vaudra a* X -+■ • Désignant cette dernière valeur par x, on
ra
Pour obtenir la valeur de x correspondante à S' infini , on
aura
UH)
développera d’abord la puissance indiquée, Ce qui donnera
Cette valeur de x revient à
Supposant J 1 infini, -les fractions etc., se réduisent
à zéro , de sorte que . .
/ , i nS r 4 , I ‘ s i' s , « f r* , . \
* = ^i + nr + -- + — + — +etc.J.
Or , d 5 après la formule (3) (page 1 26) , la série qunnultiplie * exprime le développement de e*'. On a donc x = «e"\
1 70. Phobixmb. On propose de démontrer quil n’existe que cinq polyèdres réguliers.
Soient, x le nombre des côtés de l’une des faces d’un polièdre régulier, y le noiübre des angles plans qui forment chaque angle solide de ce polyèdre , et z le nombre de scs faces- Si l’on inscrit une sphère dans le polyèdre, et si l’on mène des plans par le centre de la sphère et par les différons côtés des faces du polyèdre , ces plans diviseront la surface de la. sphère en z poligones sphériques égaux qui auront chacun x côtés j il y aura y angles des polygones sphériques qui concourront en un même point ; et comme la somme de ©es angles est égale à 4
angles droits, chacun d’eux vaudra - d’un angle droit j les x angles intérieurs de chaque polygone sphérique , vaudront donc ■—-d’un angle droit. Or, en prenant l’angle droit pour unité
d’angle, et le triangle sphérique tri-rectangle pour unité de surface , la surface de tout polygone sphérique a pour mesure , la somme de ses angles intérieurs ,' moins le produit de deux angles dfoitspar le nombre des côtés du polygone diminué de a.
et la surface de la sphère est égale à 8 (*) ; la surface de chaque
, ’ polygone spliériqpe est donc égale à a (r — a) , ou à
ujc -+• 4 ; et comme la somme des surfaces de ces z poly-
gones forme. la surface totale de la sphère, on a
( — — 2 r -f- 4^ z = 8; d’où (i)...z= — .
\ y J v ux — — a )y
Les valeurs entières positives de x,y, z, qui satisferont à cette équation, détermineront les polygones réguliers demandés. Cherchons ces valeurs; x et y étant positifs, pour que z soit positif, il faut et il suffit que
ar
( x — a)y<ax-, d’où y
Or, il faut au moins trois côtés pour former une face , et trois angles plans pour composer un angle solide , donc x > a et y Les deux limites de y exigent que
> 3 ; d'où x < 6.
On ne doit donc assigner à x que les valeurs 5, 4, 5 ; les valeurs correspondantes de a * déduites de l’équation (î), sont
J2L. et *L.
6 — y * 4— y îo — 3y
Par conséquent : 1 ®. On ne peut combiner avec x=t3 , que y = 3 , y — 4, y = 5 ; les valeurs correspondantes de z sont 4,8,20; ce qui détermine le tétraèdre, Y octaèdre , et Y icosaèdre ; toutes les faces de ces polyèdres sont des triangles équilatéraux.
2 °. Avec x *= 4 , on nè peut combiner que y ~ 3 ; cè qui donne z = 6. Cela fournit le cube dont les six faces sont des carrés. * i -
(*) L'oyez la 4' proposition du 7' livre de h Géométrie de M. Legendre.
3 °. Enfui, lorsque x = 5 , le dénominateur 10 — 3 y devant être positif, il faut fine y = 3 ; d’où z—iu. Cela détermine le dodécaèdre , dont les douze faces sont des pentagones réguliers.
Il n’existe donc que cinq polyèdres réguliers , savoir : le tétraèdre , le cube, Y octaèdre , Y icosaèdre et le dodécaèdre.
171. Problème. Déterminer la somme des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique.
Soient a, b , c, d, ..., h, l, Jcs termes de la progression, et f la raison ; on a
d’où
/>"■= f- -m[m — -f- ~m[m — 1) (m — -+• cfîc.,
r" = 4» 4- ■+■ -m[m — 1 ) (m — 1 -f-cic.,
l m *=» k m -f- -m (m — — 1) ( m — + clc.
Ajoutant ces équations membre à membre, et désignant par s Sm , S m , , Sm, , etc., les sommes des puissances m, m — 1,
m — 2, etc., des ternies de la progression, on trouve
S m — a" = S« — S«i — A fc - , )’+ — i;<f*(S«-. — /*•“*) -+• etc. ;
d’où
S«-, ==/»-' H — !- (/»— a») — '■ m - ■ T ' J (S—,- A—»)— etc. mi 1
Cette dernière formule fait dépendre S„, des puissances inférieures S*,, , S»3 , ... , S, , S, , S„.
Exemple. Pour obtenir la somme des m — i H "" puissances des rt nombres naturels 1 , 2 , 3 , . . . , rt , on fait
ce qui conduit à
etc.
Donnant k m les valeurs 1 , a, 3 | 4 , etc. , on trouve
C 0 n(rt+i) c n(«+0( 2n +0 c n a (n+i)*
^ ^ ^ >ctc.
17a. Problème. On demande le nombre de boulets contenus dans une pile dont la base est un triangle équilatéral, ou un rectangle, ou un carré; tous ths boulets se touchent et sont de même diamètre.
i°. Lorsque le pile est triangulaire (fig. 101 bis) , en la divisant en tranches horizontales à partir du sommet S, on obtient • les tranches représentées ( fig . 102 bis) (*) ; la i re tranche contient un seul boulet , la a® en renferme 1 + 2 ou 3 , la 3 ° en contient j+a + 3 ou 6 ,..., et en général, la n Umt tranche est composée de 1+2 + ... + n boulets. Les nombres 3 , 6 , etc. ont reçu le nom de nombres triangulaires , pàt-ce qu’ils expriment combien il faut prendre de cercles égaux et tangens pour qu’on puisse disposer ces cercles en forme de triangle (M- i° a bis).
Le nombre des boulets de la pile SABC (fg. 101 bis) , étant 1 + 3 + 6 + 1 o + 1 5 ou 35 , on formerait des piles triangulaires en prenant 1 + 3 , ou 1 + 3 + 6 , ou 1 + 3 + 6 + 10 boulets. Les nombres 1+3, t +3 + 6, etc., s’appellent des nombres pyramidaux , parce qu’ils expriment le nombre de sphères égales et tangentes qu’on peut disposer en pyramide triangulaire. Les nombres de boulets contenus dans ces piles sont faciles à déterminer. En effet :
la 1" tranche contient . . t boulet,
la a' en contient 1 -f- a,
la 3 * en contient t-t-a + 3 ,
la (h — en contient 1 -f- a + 3 + .. . •+• (A— 1).
Ajoutant les nombres contenus dans chaque colonne verticale ,
(*) La figure (toa iis) représente les cinq sections horizontales faites dans la pyramide SABC {fig. toi bis) par des plans menés par les centres dej boulets.
et désignant par Xn:i le «ombre total de boulets des n—i tranches, on voit tjuc
X.,=(n— i)foisi+(n— a)foisa+(/i— 3 )fois 3 +...-f^/i— (n— i)Jfois(/i— i) =«{ .+a+ 3 +...(« ,)} { «• + a . + 3 . + ...
Lorsqu’on prend une tranchp de plus, le nombre total des boulets des n tranches est
Substituant pour i-J-a-f- 3 4 - ... -f-n et j» 4 .a’‘- 4 - 3 ! ‘-f-...+n’, leurs valeurs | »(« 4 * i) , | n(n + 1 ) (an -f- 1) , on trouve
Le nombre n des tranohes est égal au nombre de boulets du côté AB de la- pile SABC. Dans la Jigure 101 bis, on a n— 5 i la formule (1) donne Xs = 35 ; la pile est formée des cinq tranches de boulets indiquées ( fig. 10a bis).
2°. Pour évaluer le nombre X des boulets contenus dans la pile tronquée ABCabc {Jig- 10 1 bis), on désigne par m le nombre des boulets du côté ab de la tranche supérieure abc 5 le côté «£ de la tranche immédiatement supérieure renfermant m — 1 boulets, on obtient le nombre des boulets de la pîleS*^ en remplaçant n par m — 1 dans la formule (1); la différence entre les nombres de boulets des piles SABC, S*Cy , exprimant X , on trouve
n et m sont les nombres de boulets des côtés AB, ab, des deux bases du tronc. On obtient le nombre 3 i des boulets de la pile tronquée ABCûic (fig. 101 bis), en faisant n= 5 , » m= 3 , dans la formule (2); oette pile est composée des trois dernières tranches de la fig. 1 02 bis , et ces tranches contiennent C + io-J- i 5 ou 3 i boulets.
3 °. Quand la pile a pour base un rectangle ABCD (Jig. io 3 bis), les tranches horizontales sont des rectangles , et la pile entière
est terminée par une file ET de lioulcts; tes faces latérales sont deux triangles équilatéraux EAD, FBC, et deux trapèzes EFBA, EFCD. Si la file supérieure EF contient J + 1 boulets, la 2 * tranche a'b'cd' sera un rectangle dont les côtés a'b' } b'c', contiendront* respectivement J 4- 2 boulets net a boulets -, il y aura donc (<i -f~ 2 ) X a boulets dans cette tranche; la 3 e en contiendra (l'+3)x3, et ainsi de suite. Désignant par Y» le nombre total des boulets des n tranches qui composent la pile entière EFABCD, le coté BC renfermera n boulets , le côté AB en contiendra S -f- n , et on aura
Y» = (il-f - 1 ) X i •+■ (<! -J- a) X a -4- (f -f-3) X3+... — -f- n)Xn
Remplaçant x-f-a-f-3-4- . . . -f- n et i*4-a*+3*+ • • • + »*, par leurs valeurs £ n(n+i), | n(ra-j-i) (an+i), il vient
Y » = èn(n + 0 (3J'-f-an-f- 1).
Soit «T + n = m , on trouve
n et m sont les nombres de !>oulets des côtés BC , BA de la base de la pile. Supposant n~5 , m = 8 , on trouve que la pile EFABCD contient îoo boulets.
4°. Enfin, pour évaluer le nombre Y des boulets de la pile tronquée ABCDabcd ( fig . io3 bis ) , il suffit de prendre la différence entre les nombres de boulets des piles EFABCD, EFa'ôVd'. Désignant par n et m' les nombres de boulets des côtés bc,ba de la base supérieure du tronc , les nombres de boulets des côtés
b'c', b' a ! , de la l»se de la pile BTa'b'c d', seront n ' — î et m i ;
on obtiendra donc le nombre des boulets de cette petite pile en
remplaçant dans la formule (3) , n et m par n ' — i et m' 1 5
on en déduit
(4) . . . Y = gf n(n~f~ î ) (3 m — n-f- î ) — ( n î )n'(3m' — n'—i ) }.
n,.m , n et m', sont les nombres de boulets des côtés BC,
BA, bc, ba, des deux bases de la pile tronquée. Or
m , ab — S' ri — m -, donc m — n=m' — n;
cette relation donne le moyen d’éliminer une d.es quantités m'> ri, m , n.
Pour trouver combien la pile tronquée oècdABCD (Jig. i o3 bis ) , contient de boulets, on fait m=8, t» = 5, m —6, ri— 3, dans la formule (4) ; ce qui donne
Y = loo — t4 = 86.
Remarque. Lorsque la base ABCD (f‘g- io4 bis ) est un carré ; 7 n = n, 77 »'= 7 »'; la pile S ABCD est terminée par un seul boulet, car ^ = 77 » — 7 i=o, et la file EF (Jig- io3 bis) contient 1 boulets; les formules (3) , (4) deviennent ; 1 % t Y„ = g/i(/i+!)(a7»-M), Y =^{“( n +i)( a « + i) — C' 1 ' - — >)}•
173 . TnÉORÈME. Le produit de n nombres entiers consécutifs quelconques est divisible par le produit des nombres i , 2 , 3, 4,. .n- En effet, l’identité
(p+l) (p+ï)...(p-gn— 1 )
donne
Cette dernière démontre que si le produit de 7 » — 1 nombres entiers consécutifs p + 1 , p-f a, . . . , p-f-7» — 1 > est divisible par le produit des n — 1 nombres entiers 1 , 9 ,. . ., 1 »— 1 , le reste de la division de (p+i) (p-f- 2 ) . . . (p + 71 ) par 1 X 2 X • . . X n sera le même que celui de la division de p(p + 1 ) ... (p-f-71 — 1 ) par 1 X 2 X • • • X n ; c’est-à-dire que si la propriété énoncée convient à n — 1 facteurs , le reste de la division du produit de n nombres entiers consécutifs par 1 X 2 ... X 7i , ne changera pas quand chaque facteur diminuera d’une unité p le reste de la division ne çbangera donc pas >
lorsqu’on diminuera de p unités chacun des n facteurs p -f- 1 > p +2 , . . . , p+ n; le produit 1 X 2 X ... X n de ces nouveaux facteurs étant divisible par 1 X a X ... X n , on voit que si la propriété énoncée est vraie pour n — 1 facteurs , elle le sera également pour n facteurs; or, elle convient à deux facteurs, car l’un de ces facteurs étant toujours un nombre pair , leur produit est divisible par x X a; le principe est donc démontré.
■Application de la Théorie des Progressions à la Solution de plusieurs questions qui s'y rapportent.
174. Problème Deux voyageurs partent d'un même point * et marchent , l'un pendant 8 heures, F autre pendant 9 heures. Le 1" a parcouru un kilomètre pendant la 1" heure, et o lm ,i 6 pendant la dernière ; sa vitesse est telle , que" F espace parcouru diminue par heure d'une quantité constante. Le a' voyageur borne sa carrière dans F étendue d'un chemin planté de Si arbres, à x m ,a de distance Fun de Fautre. Le 1" de ces arbres a servi de point de départ commun aux deux voyageurs , et le second voyageur marchant avec une vitesse constance, se dirige de la manière suivante : il va jusqu'au 2' arbre et revient au point de départ ; il parvient de là au & arbre , puis revient de nouveau au.\" ; il arrive ainsi successivement à chaque arbre , et s’arrête enfin quand il est de retour au but d’où il est parti. On demande lequel des deux voyageurs a parcouru le plus.de distance , et quel eût été le rapport de leurs vitesses , si le premier voyageur eût fait sa’route d’un mouvement uniforme.
On connaîtra tout le chemin parcouru par le 1" voyageur , en cherchant la somme des termes d’une progression arithmétique, dont le 1" est un kilomètre, le dernier o lm ,36 et dont le nombre des termes est 8 ; la formide connue conduit pour P expression de cette somme au nombre 5 , ’ n ,44 ou 544 o mètres; telle est l’étendue de la route du premier voyageur. •
La route totale du 2 e voyageur se détermine avec la même facilité. En effet , ce voyageur va au 2' arbre et revient au i* r ;
îl parcourt doue 2 fois i"',2 ou 2™, 4. 11 parcourt ensuite 2 fois la distance du. 1 er arbre au 3 e , c’est-à-dire 2 m ,4 plus 2 m ,4, et comme l’cs{)ace qu’il parcourt augmente à chaque voyage, du double de la distance entre deux arbres , on voit que la route totale du 2 e voyageur est exprimée par la somme des termes d’une -progression arithmétique, dont le i* r terme est a m ,4, dont la raison est 2 m ,4 , et dont le nombre des termes est 5o. Calculant cette somme , on trouve que le second voyageur a parcouru 3o6o mètres en 9 heures; il parcourrait donc par heure le 9 e de 3o6o m , ou 34o m ; mais le i 8r voyageur a parcouru en 8 heures 544o m ; conséquemment , s’il eut marché avec une vitesse constante, il eût parcouru en une heure le 8 e de 544o m > , ou 680 mètres. La vitesse du i ,r voyageur est donc à celle du 2 e , comme 680 est à 34o, ou comme 2 est à' 1. La vitesse uniforme du 2* voyageur est donc douille de celle du I er . Les espaces parcourus par les deux voyageurs étant 544o m et 3o6o"‘, on voit que le i er voyageur a parcouru 238o mètres de plus que le second.
175. Problème. Unepièce d'artillerie a reçu une charge et un degré- d'inclinaison tels , que le boulet acquiert, en sortant, une vitesse égale à otite que conserverait un corps , ayant tombé librement de io3684 décimètres de hauteur, si après avoir parcouru cet espace, V action de la pesanteur vendit à cesser d'agir sur lui , et qu'il continuât de se mouvoir uniformément. On suppose que le boulet n'éprouvant de la part de l'air aucune résistance , se dirige avec une vitesse uniforme , et quil met 5 secondes pour parvenir à son terme. Un courrier marchant dans la direction du boulet, part d’un point distant du lieu de la pièce d'artillerie de 1246 mètres , et parcourt 16 mètres dans la 1 "seconde , 32 mètres dans la 2* , 64 m dans la 3', et ainsi de suite en doublant. Il s arrête au bout de 6 secondes , et l’on met alors le feu à la pièce. On demande si le boulet peut atteindre le courrier.
Pour réso udre ceprohlème , je rappellerai plusieurs principes de Physique dont on aura besoin; savoir :
« i°. Qu’un corps abandonne à Faction de la pesanteur , dans
*m milieu non résistant , parcourt 4 g décimètres pendant la 1 r • seconde de sa .cliute.
« 2°. Que lorsqu’un corps pesant est tombé pendant un >» nombre quelconque de secondes , la vitesse qu’il a acquise est y telle , que si la pesanteur cessait d’agir , il décrirait par chaque » seconde autant de fois 98 décimètres ^qu’il s’est écoulé de » secondes.
» 3°. Que l’accélération acquise, pendant la chute, par les » corps soumis à l’aqtion de la pesanteur ,, est exprimée parla »> progression des nombres impairs. 1, 3,5,7, etc.... »
Pour appliquer ces principes à la détermination de la longueur du -chemin que doit franchir le boulet en 5 secondes , je commencerai par chercher combien il faut de secondes à un corps pouf tomber d’une hauteur égale à io3G84 décimètres , et le 3* des principes ci-dessus, fournira l’équation
io3G8i = 49(i4-3+5-t-7+....etc.), 0 u 21 16 = 1 +3+5+ etc.
La progression arithmétique qui forme le second membre , contient autant de termes que le corps dont il s’agit a mis de secondes dans sa çhute ; il est donc utile de chercher quel est le nombre des termes de cette progression ; en représentant ce nombre par n, l’équation précédente peut recevoir cette fbriue
L’extraction de la racine carrée conduit à n=46; ainsi le corps a employé 46 secondes pour descendre de io 3G84 décimètres.
D’après les conditions du problème, et en vertu du 2' principe rapporté, la vitesse initiale du boulet pendant la 1” seconde, sera 46. X 9 m |8 = 45o m ,8 ; et l’espace total qu’il aura parcouru pendant 5 secondes', sera 5 fois 45o m ,8 ou 2254 m .
Il reste maintenant à déterminer le chemin fait par le courrier pendant 6 secondes de marche ; d’après l’énoncé , ce chemin est exprimé par la somme des termes d’une progression géométrique dont le i ,r . terme est 16 mètres, dont la raison est 2,
et dont le nomhrc îles termes est 6. En calculant cette somme ,* on trouve 1008 mètres. Si l’on ajoute à ce résultat, le nombre i2,46 m qui exprime la distance du point de départ du courrier à la pièce d’artillerie, on aura pour somme 2254 mètres.
On voit donc que le courrier ne peut pas être atteint par le boulet, car à l’instaqt où l’on tire la pièce, le courier est déjà arrhé au point pu le boulet doit s’arrêter.
176. Problème. Trois mobiles partent en même temps d'un même point d’une circonférence ; ils la- parcourent dans le même sens avec des vitesses 1 constantes , v', v", v" ; la longueur de la circonférence est c. Il s'agit de trouver les rencontres de ces mobiles deux à deux , et trois à trois. On suppose y" f> y' et v a > v'.
On prendra l’heure pour unité de temps ; de sorte que les nombres d’unités d’espace , parcourues en une heure par les mobiles , seront respectivement v', v" et v* . Pour que deux mobiles se rencontrent , il suffit et il faut que la distance parcourue par l’un de ces mobiles , soit égale à celle que l’autre mobile a parcourue pendant le même temps, augmentée d’un nombre exact de circonférences. Cela posé : si après y heures de marche, les deux premiers mobiles se trouvent sur un même point de la circonférence, les nombres d’unités d’espaces qu’ils auront parcourues seront vy , v"y, et n désignant un nombre eutier positif quelconque, on aura
v"y = v'y -+-nc; d’où (i)...j';
ne
Donnant successivement à n les valeurs 1,2,3, 4, etc.', les valeurs correspondantes de y exprimeront dans combien d’unités de temps le 2 e mobile rencontrera le i* r mobile , pour la fois , ou pour la 2 e fois , etc. 1 Par une raison semblable , le 3 e mobile aura rencontre n' fois n'c .
le i? r mobile, dans -5 ; heures, et le 3 e mobile aura ren-
contré n" fois le 2 e mobile , dam
heures', désignant ces
hombres d’heures , par z et f, on aura
m n ne
Pour obtenir les rencontres des mobiles deux à deux , il suffit de donner successivement aux indéterminées n,n ,n " , les valeurs 1 ,3,3,4, etc.
Les rencontres des mobiles trois à trois, se déduisent de ce qui précède. En effet, le a* mobile rencontre le 1 er après y heures, et le 3' rencontre le premier après z heures. Par conséquent, pour que les trois mobiles sc trouvent sur un même point de la circonférence, il suffit et il faut que les valeurs ( 1 ), ( 2 ) de y et z, soient égales. La question est ainsi réduite à' calculer les valeurs entières positives des indéterminées n , n , qui satisfont à l’équation
' rr\ n v — v
dou (4)... -B
lorsque les valeurs numériques des vitesses v ' , v", v w , seront
données , on réduira la fraction •
pl
a sa plus sim
pie
ex-
pression ç ; b et /3 seront des nombres entiers positifs, et toutes
les solutions entières positives de l’équation (4) se déduiront des formules nz=z»e, n = Ce, en donnant successivement à e les valeurs 1 , 2 , 3, etc. Le nombre d’heures écoulées depuis l’instant du départ des trois mobiles jusqu’au moment où ils se retrouvent sur un même point de la circonférence, est exprimé
par l’une quelconque des quantités égales —’ lC t
v—v ■ v" — û 7 ’ signant ce nombre d’heures par x, et remplaçant les indéterminées n , n' , par leurs valeurs générales aie. Ce , on aura
tr.ee Cce
Les mobiles sc seront donc rencontrés e fois, trois à trois.
CtCB
dans —u — —, heures ; les valeurs correspondantes dey et z étant
*ec. Sec . ' , . ,
y = , z = yr — , , on voit que pendant ce temps, le
a e mobile aura rencontré »e fois le i* r , et le 3® aura rencontré Ce fois le i* r . Il est facile d’en conclure que le 3* mobile aura rencontré (C — a)e fois le a', car les relations (5) donnent
( v " — v')rr — ace , (v" — t /)x = Cce; d’où ( v--vO^= ( C-«)ec, * =
et la comparaison de celte valeur de x avec la valeur (3) de f,
démontre la propriété énoneée. Ainsi , après ~ heures, le
2 ® mobile aura rencontré ae fois le i* r mobile , le 3® mobile aura
rencontré 6e fois lé i* c mobile, le 3® mobile aura rencontré
(C — «) e fois le 2 ® mobile, et les mobiles se seront rencontrés
e fois trois à trois; e désigne un nombre entier positif quel-
conque; ^ est la valeur de la fraction^ -, réduite à sa plus
simple expression , et on a
«ce G ce (G — a) ec
Exemple. XJne montre marqïie les heures , les minutes et les secondes ; les trois aiguilles sont sur la douzième heure; il s'agit de trouver les rencontres deux à deux et trois d trois de ces aiguilles. Le cadran est divisé en 6o parties égales; pendant Une heure, les aiguilles parcourent respectivement 5, 6o et 36oo de ces divisions ; on a donc
v' = 5, v" — 6o , v m —36oo, c — 6o ; d’où.
Ainsi, la première rencontre des trois aiguilles aura lieu
dans 12 heures; l’aiguille des minutes aura rencontré H fois celle des heures , l’àiguille des secondes aura rencontré 719 fois celles des heures, et l’aiguille des minutes aura rencontré 708 fois celle des secondes.
177. Problème. Dacchus trouve Sylène endormi près' d'un tonneau plein de vin , et boit pendant les trois cinquièmes du temps que Sylène aurait employé à vider le tonneau. Sylène s'éveille et boit le reste du vin. Si Bacchus et Sylène eussent bu ensemble , le tonneau eût été vidé six heures plus tôt , et Bacchus n aurait bu que les deux tiers de ce qu'il a laissé à Sylène. On demande combien il faudrait d’heures à chacun d’eux en particulier , pour vider le tonneau.
D’après cet énoncé :
i°. Si l’on diminue de six heures, le temps employé par Bacchus et Sylène pour vider le tonneau lorsqu'ils boivent successivement, le reste doit être égal au temps qu’ils mettraient à vider ensemble le tonneau.
2 0 . Si Bacchus et ^ylène eussent bu ensemble , la quantité de vinliue par Bacchus eût été égale aux deux tiers de ce que Bacchus a laissé à Sylène.
On obtiendra donc les deux équations du problème , en calculant les quatre quantités qui entrent dans ces deux conditions. On supposera que le tonneau contient a. litres de vin, que Bacchus vide le tonneau en x heures et Sylène en 5 y heures;
pendant une heure, Bacchus boira donc - litres et Sylène boira < ~ litres. Or , Bacchus boit pendant les ^ de 5 y heures , ou 3 y heures ; il aura donc bu , pendant ce temps , 3 y fois * litres, ou
litres ; il ne laisse donc à Sylène que « — ou - (.r — - 3 y) litres. Cherchons en combien de temps Sylène a bu ce reste : il hoit » litres en 5 y lieures , c’est-à-dire un litre en — heures ;
il a donc bu ces - (x — 3 y) litres , en - (,r — 3 y) fois heures,
»u en ^ (x — 3 y) heures. De sorte que Baechus et Sylène ayant bu successivement, ont vidé le tonneau en 3y+^ (x — 3y)
heures, c’est-à-dire, en ^ (8x — i5y) heures.
Si Bacchus et Sylène eussent bu ensemble, ils auraient bu a et, «(x-f-5y)
-•.+ ç- litres, ou — — litres , en une heure , c est-a-dire
x 5y 5 xy
« (x Sy) litres en 5xy heures, et par conséquent les « litres
contenus dans le tonneau en - ' • heures ; la portion de vin
bue par Bacchus pendant ce temps , eût été — fois - litres , litres.
ou
Les équations du problème sont donc
—rr-> -4rir = L (*— ^ 3y)x|>
elles se réduisent à
(î). . .a5xy*— tj5y^ -f 3x*y — 6x* — 3oxy =o,
( 3 ). . .3oy*-f- uxy — 2 x , =ô.
La nature de la question actuelle exigeant que x et y soient positifs , on rejettera les valeurs négatives de ces inconnues ; ce qui conduira au calcul suivant : l’équation ( 2 ) donne
11 , / 1 21 2 .11 îq 3
La substitution de cette valeur dey dans l’équation ( 1 ) conduit à x = 1 5; d’où y = 2 et 5y = 10 . Ainsi , Baçphus buvant seul eût vidé le tonneau en i5 heures, et Sylène en 10 heures.
Ces nombres satisfont à toutes les conditions du problème. En * ! • * ** effet, Bacchus trouve Sylène endormi et boit pendant les -z de
10 heures, ou 6 heures; or, en une heure il boit 1 du
tonneau; il a donc bu pendant fi heures les —, ou les
5 du Anneau; il 'laisse donc les - du tonneau à Sylène; Sy-
lène s’éveille, et boit le reste pendant lés | des 10 heures qu’il
mettrait à vider tout le tonneau, c’est-à-dire en 6 heures- de sorte que Bacchus et Sylène buvant successivement, ont’mis 12 1,eures à vider le tonneau. Si Bacchus et Sylène eussent bu
ensemble, ils auraient vidé, dans une heure — l ! 01J 3 , . . io 6*
du tonneau, et. par conséquent le tonneau en 6 heures, c’est-àdire en six heures de moins que s’ils eussent bu successivement.
Pendant six heures, Bacchus eût bu les -î du tonneau • c’est
en effet les- des - du tonneau qu’il avait laissés à Silène.
il 8. Problème. Former la longueur du mètre en plaçant
des pièces dor de ao francs et de 4 o francs les unes à la suite des autres.
Les longueurs respectives des diamètres des pièces de ao' et de 4 o étant a. et ; a6 millimètres, si l’on prend x pièces de et y p.eces de 4 o», la somme a.x + afiy millimètres des longueurs des diamètres de ces pièces devra être égale à 1000 millimètres, il suffit donc de chercher les valeurs entières de x et v
Z * ‘' é,uali “ a,x+ ^=
X — aSe — 200, y = 200 — aie,
et comme e, x et y, doivent être des nombres entiers positifs, on ne peut ta.re que e = 8, d’où x = 8, ,y — zT- et
e— 9, ou X-. 34 , y=n. p ar conséquent, pour former la longueur du métré avec le plus petit nombre poLble de pies de *0 et de 4 o , û faut prendre 8 pièces de ao' et 3a pièces
t mè’t 2 TT f ° Urnit 16 m ° yea de ““P 0 ** la longueur du mètre avec la plus petite somme possible.
ia. .
Remarque. Lorsqu’on assigne d’au 1res valeurs entières à e, une des inconnues x, y , devient négative ; ce qui indique qu’on peut obtenir la longueur du mètre en portant d’abord des pièces de 20^ ou de 4 o^ dans un sens, et en reportant des pièces de 4o f ou de ao f en sens inverse. Par exemple, e = io donnant x= 6 o, y=~ »o, on met 60 pièces de 20 f les unes à la suite des autres ; on porte 10 pièces de 4 o f en sens inverse en revenant de la dernière pièce de aof vers la premièse, la distance de la dernière pièce de 4 o» à la 1” pièce de ao f est 1000 millimètres ou un mètre.
lyg. Problème* Déterminer un nombre entier N, qui soit égal à la somme de ses diviseurs (on fait abstraction du diviseur N).
Un nombre premier ne saurait jouir de la propriété demandée , car la somme de ses diviseurs est égale à l’unité. On cherchera donc si N peut être de la forme <* m X S , » et S désignant des nombres premiers. Le nombre a" X £ devant ctfe égal à la somme de ses diviseurs , on a
«»xC = (i 4- « m )x(i+£) — « m «;
Or, £ doit être un nombre entier ; cette condition exige que le dénominateur soit l’unité; car autrement, le reste de la division du numérateur de £, par le dénominateur, serait,.,..
. . . -J-*®- 1 ) , et <* étant positif, ce reste ne ae réduirait pas à zéro ; il faut donc que ^
Or, cette équation revient à
a devant être plus grand qUe l’unité, on ne peut admettre que la valeur «4* a de <* ; elle donne
„ + ■ ■ . -fa"— )
* ’ a m — (l 4 - a 4 “ 4 - • • . 4 - ee m ’)
