OU

et pourvu que les nombres a, C, soient premiers , cette valeur de N jouira de la propriété demandée.

Ainsi, on fait la somme des nombres i , a , a*, a 3 , etc., jusqu'à. ce qu’on obtienne une somme qui soit un nombre premier ; on multiplie cette somme par la dernière puissance de a à laquelle on s’est arrêté; le produit satisfait à la question.

On en déduit que les valeurs de N sont 6, 28 , 4gS , etc.; ers nombres ont reçu le nom de nombres parfaits.

Sur la Théorie générale des Polynômes et des Equations algébriques.

1 80. La propriété fondamentale de cette théorie consiste en ce que toute équation f(x) = o a une racine ; c'est-à-dire qu’il existe toujours une expression réelle ou imaginaire de x qui > substituée à l’inconnue x, rend l’équation identique. Cette proposition a été long-temps regardée comme évidente ; M. Cauchy en a donné une démonstration que nous allons faire connaître , et qui a l’avantage de prouver en outre que toutes les racines

imaginaires des équations algébriques sont de la forme

aàz.b\/ — 1 ; a et b désignant des quantités réelles.

Nous commencerons par faire observer que toute expression imaginaire de la forme a±b\ / — 1 peut se mettre sous la forme

dt \é — 1 gin (); il suffira pour cela que l’on ait

a — ( cos t , ù = £sinÔ;

d’où l’on tire

( a = a a -f- b\ cos t — — , . , sin ê — — — - ■

On peut donc toujours déterminer ( et t en valeurs réelles de manière à opérer la transformation ci-dessus indiquée.

On pourra donc facilement élever toute expression de la forme adzb y/ — 1 à des puissances entières ou fractionnaires, positives ou négatives, réelles ou imaginaires; il suffira, d’après ce que nous avons vu (n° i36) , de multiplier l’arc 8 par le degré de la puissance, puis d’élever le facteur réel ç à la même puissance.

181. Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes a. , a, , . . . , , a»

l'équation

dans laquelle n désigne un nombre entier égal ou supérieur à l unité , a toujours des racines réelles ou imaginaires.

Démonstration. Désignons , pour abréger, par f (x) le premier membre de l’équation (i ) f (x) sera une fonction réelle ou imaginaire, mais toujours entière, de la variable x; et, puisque toute expression réelle u se trouve comprise comme cas particulier dans une expression imaginaire u il suffira , pour établir le théorème énoncé , de démontrer généralement qu’on peut satisfaire à l’équation

en prenant

X = u- fi- vy/ — 1,

puis attribuant aux nouvelles variables u et v des valeurs réelles. Or, si l’on substitue la valeur précédente de x dans la fonction f (x) , le résultat sera de la forme

<p(u r v) , %(u, v) désignant deux fonctions réelles et entières des variables u et v. Cela posé , l’équation (î ) deviendra

et, pour y satisfaire, il suffira de vérifier les deux équations

réelles

ou, ce qui revient au même, l’équation unique

Donc , si l’on pose pour plus de commodité

il restera seulement à montrer que l’on peut obtenir des valeurs réelles de u et de v propres à faire évanouir la fonction

On y parviendra sans peiné à l’aide des considérations suivantes : D’abord, pour déterminer la valeur générale de la fonction F(u , v) , on représentera chacune des constantes réelles ou imaginaires a 0 , a„ . . . , a n , , «„ , ainsi que la variable imaginaire u-\-v\/—\ > par le produit d’un module et d’une expression réduite; et l’on écrira en conséquence

= fo(cosfl 0 -f- V/ — isinflo), fl, = f ,(cos 8. ■+■ \/ — i tint,)...

a., — i sin8«,;,a« = f„(cosâ»-f-\/ — i sin8«).

(6) . . ,u-\- v \/ — i = r(cos t -J- \/ — i sin f). On aura par suite

’ f{u + vV — ■) = for* [co*(nH-8.)4-V /— 1 tin (nf-f-8.)]

-hftr*-’ [cos(n — 1 . t-bO,)-b \/ — 1 sin (n—t . t-f-8,)]

-t- p«— , r [cos (t -f- 8„— 1 ) -b [/ — 1 sin (s -t- $»,)] -t- p„ (cos 6m — 1 sin Bm) i

et l’on en déduira

, uj reôotjtfiht 1

\ • nrî® m *;nfr ’ »iXlï Mnr.

$(u, fl) = p 0 r* cos coj(n — 1 . 1 + 8.)- f- ...

... -4-p„-, r cos (f 4 - 8.- , ) -t- p» cos 8«,

}*(“, «0 = por* sin (nt 4- 8 0 )4- p.r*-’ sin (n — 1 . t -ht,) -f- ...

.. . 4-p«-, r sin (r •+■ 8.-,) 4-p. »i« 8 . j

f F( U, v) = ( f ‘ ra c0 * + 9 ») ■ r * - .’ co * 7"— i • ) *

1 ' l 4- p r co* (t 4- 6 «T 1 ) 4- f. cos 8» /

+ f for’ sin (nt 4- S») 4" P* »iU,(n— i . t4-fl,) 4- ... I * l ...... . 4- p»-i-r sin (t 4-8.,) 4-p. sin 8» f

i , . ap. p, cos(t4-*o“â.y k f» 4

= r**> x < [ p, • 4- Qf. p. cos (at 4- 8. — 8.) | r*

-f" etc

Il résulte de cette dernière formule que la fonction F (u, v) , toujours évidemment positive, est le produit de deux facteurs, dont l’un , savoir

croîtra indéfiniment si l’on attribue aux variables u , v ou à l’une d’elles seulement des valeurs numériques de plus en plus grandes tandis que l’autre facteur convergera dans la même hypothèse vers la limite f o*, c’est-à-dire vers une limite finie différente de zéro. On en conclura que la fonction F(u, t>) ne peut conserver une valeur finie qu’autant que les deux quantités u , v reçoivent elles-mêmes des valeurs de cette espèce, et devient infiniment grande dès que l’une des deux quantités croît indéfiniment. De plus, comme l’équation (4) donne pour F (u , v) , une fonction entière, et par conséquent une fonction continue des variables u et u , il est clair que F(u, v) , variant avec elles par degrés insensibles, et ne pouvant s’abaisser au-dessous de zéro, atteindra une ou plusieurs fois une certaine limite inférieure qu’elle ne dépassera jamais. Représentons par A cette limite, et par u 0 , v 0 un des systèmes de valeurs finies de u èt de v, pour lesquels F (u , t/) se réduit à A , en sorte qu’on ait Identiquement ,

(io):..F(t/ 0 ,t/ 0 ) — A.

La différence F(n , v) — F (u Q , t/ 0 ) ne s’abaissera jamais au-dessous de zéro; par conséquent, si l’on fait

(il )...u = u 0 + ah, v = v 0 + *k,

«désignant une quantité infiniment petite, et h, k deux quan-*

tités finies, l’expression . ' ,

ne sera jamais négative. En partant de ce principe, il sera facile de déterminer la valeur de la constante A, ainsi qu’on va le faire voir.

Si dans l’expression imaginaire f(u- l-u^/ — i) on substitue pour u et v leurs valeurs données par les formules (l 1 ), cette expression , devenant alors une fonction imaginaire et entière du produit

«(A + fc l/ — i),

pourra être développée suivant les puissances entières et ascendantes de ce même produit. En désignant par

R (cos T 4- sinT) , R, (cos T, + 1/ — i sinT,),

• • • R» (cos T# -f- [/ — i sin T„) ,

les coefliciens imaginaires de ces puissances dont quelques-uns peuvent se réduire à zéro, et faisant pour plus de commodité

( 12 ). . .h -f- k V ~~ * p (axs Ô -f* V — i sin 6),

on obtiendra l’équation

! /"[«• 4- i'oU ' — i -h “(h 4- k]/-~ i)]=R(cosT ~h [/ — i «in T)