R i (>[co« (Ti 4- 9) 4- \/ — 1 (Tv

a . . • • +tt*E , pCcos (T. 4- n 9) 4* V — 1 s * n (T» 4- o9)3 »

dans laquelle les termes du second membre , et par conséquent les modulqp

R > Ri > . . - • , R.

ne sauraient s’évanouir tous en même temps. Comme on aura d’ailleurs

- l = $(u. 4- «A, ko4 «A) 4-V—ï ¥(u<> + «/i, vo4- *A);

on conclura de l’équation (i3)

! ♦ (“o 4- «A > v. 4- «A) = R co» T 4- «R, p co» (T, 4- 4) 4* ■ • •

+ a'R.p» co» (T. ■+■ ni),

^ «A , v 0 4- «At) — R *in T 4- «R, f sia {X, 4- 8 ) 4- ..

*4- «"R. p* »in (X.4-«S);

et par suite ' . ■< . w

( 16 ). . . < = [R cos T + *R.p cos (X i +fi) + .,. + »"R«p* cos (X» -4- ni )] 1 (■+■ [R «in X + *R.p sis (T i 4-Ô) 4- ... 4“«*R*p" »in (X* 4* sfi )] 1

Si dans cette dernière formule on pose a=o, on en tirera

Donc R* = A, Rs=A*.

Si maintenant on développe le second membre de l’équation (16) suivant les puissances descendantes de R , et que l’on y

remplace ensuite R par A 1 , cette équation deviendra (» 7 ). . .F (u. 4- ah, Vq 4” ah)

= A+aA*«prR,cos(X, — ! X-M) + ... -f. R,cos(X„— ^ X4-n«)]

f fR. co* [T, 4- 91 -4- ... -4- et*” 1 f m ~' R. cos /X» -4- o6)V 7 .

-4- ["R. sin [Xi 4- 6) -4* ... -f" et""" 1 p*“’ R» sin iX* -4- nQ'l* f '

et, si l’on fait passer dans le premier membre la quantité A=^F (u 0 , v 0 ), on trouvera définitivement

(i 8 ") . . ,F(«. 4 - ah, v. -f- ak ) — Ffuo, v„)

=raA* ["B, cos(X, — X+8)-4-... -4- a— p’-' R. cos fX. — X-f-néî]

« [R, co«'(X i -4*8) 4 — 4- a" - ' f*-’ R» cos fX. 4-n0V]’ ï

^ r 4- CR. *in (X, 4- 0) 4-c... 4- p*—' R* »in (X« 4* n0)l* S

Cela posé , puisque la différence

Pfw 0 4-*à, v o -f -<*/0 — F(u,>, v 0 ) ,

ne doit jamais s’abaisser au-dessous de la limite zéro, il faudra de toute nécessité que, pour de très petites valeurs numériques de «j le second membre de l’équation précédente, et par suite le premier terme de ce second membre, c’est-à-dire le terme qui renferme la plus petite puissance de *, ne puisse devenir négatif. Or, en désignant par R m la première des quantités

qui obtient une valeur différente de zéro , on trouvera pour la terme dont il s’agit

aA* cos (T« — T + mi)

si A n’est pas nul , et

dan% l’hypothèse contraire. De plus , comme la valeur de l’arc # étant lout-à-fait indéterminée, on peut en disposer de manière à donner au facteur ' ■»

cos (T m — T -J- mfl) ,

et par conséquent, au produit

a A* a m f m R m cos (T,„ — T + m«)

tel signe que l’on voudra , il est clair que la seconde hypothèse reste seule admissible. On aura donc nécessairement

ce qui réduira l’équation (10) à

Il en résulte que la fonction F (u , v) s’évanouira si l’on attribue aux variables u, v les valeurs réelles u a , u 0 j et par suite que l’on vérifiera l’équation

eu prenant

En d’autres termes , « 0 + *' o \/ — i sera une ratine de l’équation

( i) . . . a 0 x m + aix " -1 + a n -,x -f- a, = o.

Corollaire. Si a-J-b \/ — i estracine d’une équation f(x)=Q à coefficient réels , a — -b \/ — t le sera aussi.

En effet, soit P -f-Q \/ — 1 le résultat de la substitution de a -{- b [/ — 1 à i dans le premier membre de l’équation , il faudra qu’on ait séparément P=o, Q = o. Or les termes de Q ne pourront provenir que des puissances impaires de b \/ — 1 et changeront de signe avec b ; tandis que P ne renfermant, b qu’à des puissances paires , restera le même, quel que soit le signe de b } la substitution de a — b \/ — x à x donnera donc pour résultat P — Q \/ — * i , et P — Q l/ — x est égal à zéro , puisque P etQ-sont réduits à zéro. Donc a — b \/ — i satisfera à l’équation.

x 8a. Théorème. Tout polynôme de degré pair , à cotfficiens réels , peut être décomposé en facteurs réels du second degré.

En effet, les racines imaginaires sont en nombre pair, et par couples de la forme a±b \/ — i , qui donnent toujours deux facteurs x — a — b \/ — i et x — a-{-b\/ — x dont le produit est ( x — a ) 4 -f- b‘. Quant aux racines réelles , qui seront aussi en nombre pair, elles fourniront chacune un facteur réeldupremier degré, et le premier membre de l’équation pourra par conséquent être décomposé en facteurs réels du second degré.

En faisant a -{-b v/ — i = ç ( cos 9 + V— x sin t ) , on aura

(x*—*a )‘-f* 5 a s=î(x-*-çcosô)* + ( 3 sitx “0 es x 4 — x cos <■+*{*•

Telle est la forme sous laquelle pourront se mettre tous les facteurs du second degré relatifs à' deux racines imaginaires conjuguées.

i83. On sait que tout polynôme du degré m est égal au produit de m facteurs du premier degré, multiplié par le coefficient du premier terme j et de plus qu’il n’y a qu’unü seule marxière d’opérer cette décomposition : de sorte qu’une équation du degré m a toujours m racines et jamais davantage.

Cela posé , deux polynômes entiers du degré m sont nécessairement identiques lorsqu’ils sont égaux entre eux pour plus de m valeurs de la lettre ordonnatrice; car, soient F (x) et $>(x)

ces deux polynômes , on doit avoir F (x ) = $(x) pour un nombre de valeurs de x supérieur au degré de cette équation , ce qui ne peut avoir lieu si les termes ne se détruisent pas identiquement.

i84. Problème. Former un polynôme entier du degré m, connaissant ses m racines , et la valeur qu’il obtient quand on y fait x = x D .

Soit u ce polynôme ; soient x , , x» , X 3 , ... , x m ses m racines , et u a la valeur de u pour x=x„. Le polynôme cherché devant être divisihlepar chacun des m binomesx— x, , x — x a , . . . , x— -x m , sera de la forme

, u A ( x — X| ) ^ x )( x -- Xj ) . • * ( x Xrj P our déterminer A, faisons x = x 0 , nous aurons

u 0 — i A ( x 0 — x, ] ( Xo x» ) ( x 0 — — Xj ) . . . ( x Q X|] ) }

dou A ( X 0 — X, ) ( Xo — - X, ) ( X„ — X3 ) . ff( Xc — X m ) ’ et par suite V

( X 0 — Xj ) ( X 0 — X a ) , . , ( Xo 1 X m )

i85. Problème. Former un polynôme entier du degré m, connaissant, les m— f- 1 valeurs qu'H prend quand on donne successivement àx les m -f- 1 valeurs , x a , . . . ,x m .

Soit u ce polynôme , et u„ , u t , t* a , . . . , u m , ses m -f - 1 valeurs connues. Nous avons trouvé (n° 1 84) la forme d’un polynôme du degré m qui se réduisait à une valeur donnée u,, pour x sa x 0 , et qui devenait nul pour toutes les valeurs x, ( x a , x$, ... , x m . Nous résoudrons donc la question en faisant la somme de m+i polynômes de cette forme qui se réduisent respectivement à u 0 , u, , u a , u 3 . . . , u m , pour chacune des( m •+• 1 ) valeurs d’x et qui dev'eni ent nuis pour les m au-

1res; ü en résultera

(ov,— X, ) (x c — x a ) . . . (x 0 — x m ) ’ '

; +UiX (x-^x 0 )(x— x,)(x— x 3 )...(x — X m )

Cette somme formant un polynôme du degré m eu x , qui pour les valeurs x,, x a , . . . , J* m , attribuées à x, acquiert les m + 1 valeurs données u 0 ,u,,..., u m , satisfait aux conditions demandées et est le seul qui puisse y satisfaire, puisque deux polynômes entiers sont identiques quand ils sont égaux pour un nombre de valeurs d’x supérieur à leur degré.

Si l’on change u en u — a , a désignant une constante quelconque, il suffira de changer u 0 , u,, u t> . . . , u m en u„ — a, n, — a , ... , u m — a, car si la substitution de x m donne u > e ^ e rendra u — a = u a — 1 a j on aura alors la formule suivante :

(x— x, ),.. (x— X m ) (X 0 — X,)'... (x o — x„) (X-Xp.) ... (x X m )

rr ,

•' , vX» Xo) . . . (x m — i -x m , )

Cette formule est préférable à la précédente en ce qu’on peut profiter de la constante a pour faiée disparaître un tei me du second membre ; il suffira pour cela de la prendre égale à l’une des valeurs u„ , u, , . . . , u m .

Si par exemple on voulait déterminer un polynôme du premier degré en x, qui se réduisît respectivement à u 0 et u, , pour les valeurs x„, x, de x; on ferait a=u 0 , dans la dernière

formule, et on aurait •'

Ui — u„

Xi mmmm X 0 *

Si u et x désignent l’ordonnée et l’abscisse d’un même point , cette équation sera celle de la droite qui passera par les deux points x„ , u 0 et x, , u„ .

iS6 . Théorème. Soient x 0 , \i s, un nombre m + 1 de valeurs d x, à chacune desquelles correspondent 11 —J— 1 valeurs d’y qvi peuvent varier tf une valeur d x A l’autre : si deux Jonctions entières, du degré m en x , et du degré 11 en y , deviennent égaies pour toutes ces valeurs cTs. et d’y , elles seront identiquement égales. En effet, soient -les deux fonctions F(x, y), ç(x,y) fies deux fonctions F (x 0) y ) , <p{x a ,y), devenant égales pour n-f- 1 valeurs d ey, seront égales, quel que soit y , d’après un des théorèmes précôdens. Semblablement F (x, ,y) et p ( x, ,y) seront égales quel que soit y , et ainsi de suite jusqu’à F(x m ,y) et (p(x m ,y). On aura ainsi (m-f- î) égalités dans lesquelles on peut supposer que l’on donne à y une même valeur arbitraire ; d’où il suit que, quel que soit y , les fonctions F (x, y) et p(x,y) sont égales pour m-f- 1 valeurs de x; donc enfin elles sont égales quel que soit x , et par suite les deux fonctions F(x,y ), <p (x, y ) sont égales quels que soient xe t y. '

187. € o ho Li. a ire. Il suit de là que deux fonctions entières sont égales identiquement, lorsqu’elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables ; ou seulement pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

On en peut dire autant des fonctions d’une ‘seule variable.

188. Problème. Former une fonction entière du degré m en x et du degré n en y, connaissant les valeurs particulières quelle reçoit lorsqu en prenant pour x lune des valeurs de la suite

on prend en même temps pour y l’une quelconque de n -f- 1 valeurs données , qui changent d’une valeur dix à l’autre.

Si dans la formule trouvée (page 190), pour le cas d’une seule variable, on remplace u par F ( x , y ) , on trouvera

Ff (x — Xy)(x—x a )...(x—x m ) F ^ (x 0 — x,) (x 0 — x, ), . .(x„— x„) ^ '

( j — xj(x — x,) .. .(fc— . x M ) (X, X 0 ) (x, X,). . .(x, X m )

(X m X 0 ) (Xjo — * X, ) .

Et si l’on désigne par p un nombre entier quelconque audessous de m 4- 1 , et par ÿ oi y , , y a . . ,y n les 1 valeurs d ^

correspondantes à x f , on aura semblablement

F fx y-» - cy~ . y?. } ü-yJ ~ jA f u v i

* (*>»>) " (>-,,) (jo-j.) . . . (>->) ’ y°> ’

Cette dernière formule fera connaître successivement les valeurs de F (x„ , y) , . . . . , F(x ro ,j), en donnant à p les valeurs successives 0,1,2, . . , , m ; et les reportant dans l’avant dernière équation , on connaîtra la fonction demandée F (x , y).

On agirait de la même manière pour les fonctions d’un nombre quelconque de variables.

Nous allons offrir quelques applications de ces principes.

189, Problème. Exprimer le produit

(i+ji) (x+J- O , . . (r - n + rb au moyen des produits suivons

et de ceux qu'on obtient en remplaçant n par les valeurs 1 , 2, 3 , 4 , . . . , u — 2,» — 1. v -

Supposons d’abord que x et y soient entiers et supérieurs à n ; le produit proposé sera le numérateur de la fraction qui exprime le nombre de combinaisons que l’on peut faire avec x +y lettres prises n'u n. Désignons par a , b , c , d , un

nombre x de ces lettres et par * , G, y , les y autres.

Nous pourrons considérer le nombre total des combinaisons, comme décomposé en groupes renfermant, le premier , les combinaisons où les n lettres feront prises seulement dans les x premières ; le second , les combinaisons où il entrera n — 1 lettres des x premières , et une des y restantes , — et enfin le -dernier groupe renfermant les combinaisons faites seulement avec les y lettres *, Z, y

Ôr , on voit facilement, d’après la théorie connue des combinaisons, que les divers nombres de combinaisons renfermées dans ces groupes sont respectivement ,

il l - y'* ( ' - 1 W 9k .»

"*n ito

Egalant cette somme au nombre total des combinaisons des x 4~ y lettres n à n , et chassant le dénominateur on aura le développement demandé

(*4-y) (x-f-y— i ) (x-fy— a) . . . (x-f-y— «4* 1 )