On suivrait la même marche pour développer le produit

des n faetenrs

au moyen des produits

yfy - 0

... ()•— rt-f l),

..{z—Sl + l),

et l’on en déduirait semblablement le développement de

Sur la recherche des Equations d après des relations connues entre leurs racines et les racines d Equations , données.

Nous supposerons d’abord que les racines de l’équation cherchée ne soient liées respectivement qu’avec une des racines de l’équation donnée , puis avec deux, trois, et enfin avec un nombre quelconque d’entre elles; de là résulteront les problèmes suivans : r

191. Problème. Trouer une équation 3 une seule inconnue, y, qui soit telle, que sms racines soient liées à chacune de celles de réquation donnée F (x) = 0, par là relation <p(x,y)~o.

La question revient à trouver une équation qui ait pour racines toutes les valeurs d’y que l’on obtiendrait en remplaçant dans ç(x, v) = 0 , l’inconnue x par les différentes racines de F (x) = o. Il ne s’agit donc que de trouver, d’après la théorie connue de l’élimination , l’cquation finale en y , résultant de l’élimination de x entre les deux équations

Les transformations les plus usuelles relatives à la résolution des équations , se rapportent à ce problème.

192. Problème. Trouver une équation dont les racihes soient liées q n racines quelconques d'une équation donnée , par une relation donnée.

Soit ï (x) = o l’équation donnée. Désignons par x, ,x t ,...,x n n racines quelconques de cette équation, et par

XO . ., f (x, , x, , arj , . . . , x*,y) = ô ,

la relation qui doit exister entre ces racines et la racine correspondante y de l’équation cherchée ; il faudra que l’on ait en même temps

Ce» n équation» ayant lieu conjointement avec , x t ..y)=o quelles que soient les racines x , , . . . , x a , et n’exprimant qutre chose sinon que .r, , X», ... ,x n , sont racines de F(x) = o , il s’ensuit que si l’on élimine entre ces n -j- i équations , les n quantités, x, , x» , . . . , x m , l’équation finale en y aura pour racines les valeurs résultantes de toutes les combinaisons assignées par l’équation (1) , entre n racines de F(r) = o, et sera par conséquent l’équation cherchée.

Nous allons donner quelques applications de ce principe, au cas où les racines de l’équation cherchée dépendraient de deux racines d’une équation donnée d'après une loi connue.

ig3 . Problème. Trouver une équation^ont les racines soient les différences entre deuic racines quelconques d’une équation donnée.

Soit l’équation donnée F(x) = o. Désignant par x, , r, ; deux quelconques de ses racines , et par y la racine correspondante de l’équation cherchée, on aura à éliminer x, et x, entre les trois équations ,

La dernière donne x, = x s -|-y.

Reportant cette valeur dans F (x, ) = o , il reste à éliminer x, entre ••••.*• •• -

F(x.) = o et F (x, +y) = o;

ou , ce qui est la même chose , à éliminer x entre

F(x)=o et F(x-f-y) = o.

Si l’on avait d’abord éliminé x, au lieu de x, , on aurait eu x» =x, — y j et il serait resté à éliminer x, entre les deux équations F(x,) = o , F (x, — y ) = o,ou bien entre la proposée et F ( x — - y) = o. D’où il suit que pour avoir l’équation aux différences on peut substituer à x indifféremment x±.y et éliminer x entre l’équation proposée et celle qui résulte de cette 1 substitution. Cela montre d’abord que l’équation aux différences

ne change pas quand on change y en — y , et que par conséquent les termes de cette équation sont tous de degrés pairs , comme

nous le Terrons encore par une autre considération.

On voit facilement qu’en faisant passer successivement x, et x, par les m valeurs dtmt elles sont susceptibles , m étant le degré de l’équation F ( x ) = o , il en résultera m* valeurs poury ; l’équation finale en y sera donc du degré m % \ mais on pourra l’abaisser en observant d’abord qu’il y aura m valeurs nulles de y relatives aux différences de chaque racine avec elle-même ; on pourra donc y supprimer le facteur y m , ce qui réduira le degré à m* — m ou m(m — 1). On observera de plus que s’il y a la racine x, — x, , il y aura aussi la racine x. — x, , et que par conséquent les facteurs de l’équation en y sont de la forme

( >’— ) ( y+ <*), ( y— C) ( y + O, - ou ( y* — , (.y*— **)•••

Et posant y*=a,on aura une équation du degré \ m (m — 1) en z , qui aura pour racines les carrés des différences des racines de la proposée.

Nota. Il est lion d’observer comment on peut supprimer de suite les m solutions nulles , au commencement du calcul. L’équation F ( x -+*,y ) =o peut se développer comme il suit:

et en vertu de l’équation proposée on pourra supprimer le premier terme F(x), ce qui réduira la question à chercher les solutions communes aux équations »

F(x)y + F*(x) • • =o etF(x) = o.

Or, si l’on divise la première par y , on détruit les m solutions communes à y— o et F(x) — o , qui sont précisément celles que l ? on voulait supprimer. On continuera alors l’opération comme à l’ordinaire, et l’équation finale en y ne contiendra

que les m (m — 1 ) différences entre chaque racine et les m - — i antres.

ig4. Problème. Trouver une équation qui ait pour racines les sommes deux à deux des racines d'une équation du m‘ im ‘ degré, ( 1 ). .. F„(x) — o.

Soient x , , x», deux racine? de l’équation ( 1 ) , et y la racine correspondante de l’équation cherchée ; on obtiendra celle-ci en éliminant x, ‘et x a entre les trois équations

.La dernière donne x, =y — : x» ; substituant cette valeur de x, , il faudra éliminer x» erttre les équations

F(x,) = o et ‘F(jr — x») =0,

ou bien éliminer x entre

F(x)= o et F(y< — x ) = o.

"L’équation résultante sera du degré m* , par la même raison que dans le cas de l’équation auxdifférenccs; mais. on pourra encore l’abaisser en observant d’abord qu’elle renfermera les racines x, - 4 * x, , x» + x» , etc. , ou ax, , 2 X a , etc. Formant donc une équation qui ait ses racines doubles de celles de la propo sée , ce qui se fera en substituant dans celle-ci j x à x, puis divisant l’équation aux sommes par l’équation qu’on obtiendra ainsi, on aura une équation du degré m 1 — m ou m(m — 1) qui n’aura plus pour racines que les sommes des racines différentes de la proposée.

On remarquera encore que X, -f-x a et x„ -f-x, étant racines à la fois , elles seront toutes égales deux à deux; le premier membre sera donc un carré , et en extrayant la racine carrée, il restera une équation du degré | m ( m — 1 ).

Nota. On peut supprimer dès le commencement du calcul les solutions doubles des racines de la proposée. En effet, il faut éliminer x entre les équations % ' - , .

F(i) = o et F ( ^ — x ) = o.. k

Retranchant la première de ta seconde , on pourra substituer à celle-ci la différence F(y> — x) — F ( x ) =o, et éliminer entre cette dernière et F(x )=o. Or F(y> — x) — F(x)/est divisible par y— ax, puisque ce polynôme se réduit à zéro quand on y fait y — ax. Supprimant donc ce facteur , on ôtera) les m racines doubles de celles de l’autre équation F(x)=o.

ig 5 . Problème. Trouver L‘ équation aux rapports des racines d'une équation du m lim ‘ degré , F (x) = o.

Soient x, , x„ deux racines de l’équation F ( x ) = o , et l’iuconnue de l’équation cherchée ; il faudra éliminer x, et x, entre

F(x,) = o, F ( x, ) = o et ~ ~y.

Cette dernière donne Xi =yx, -, substituant dans la première, il vient P équation F (yx t ) = o, et il faudra éliminer x» entre cette dernière équation et F(x,)=o,ou, ce qui revient au même, éliminer x entreF(x)=o et F ( xy) = o.

On verra encore qu’en faisant passer successivement x, et xy par les m valeurs dont elles sont susceptibles, il en résulter» m* valeurs pour y , parmi lesquelles m seront égalés à l’unité et pourront par conséquent être supprimées en divisant le premier membre de l’équation finale par Çy — i) m . De plus,

s’il y a la racine — , il. y aura aussi la racihe — * ; ce qui montre

que l'équation résultante , du degré m* — m ou m (m — 1 ) , sera réciproque , ef que par conséquent son degré pourra s’abaisser àï/n(m — r)ï ' *

Nota. On supprimera les rh solutions égales à L’unité en retranchant- membre à membre le» deuh équations F(xy) =:# «t F (x). = d ; l’équation résultante

F (.xy) — F (x)=o

sera satisfaite par y — 1 , et son premier membre pourra par conséquent être divisé par y» — 1;. ou ôtera ainsi les solutions égales à Puhité et correspondantes aux m racines de l’autre équat ion: F ^r) afc o»

i 96. Problème- Trouver l'équali''n aux produits deux à deux des racines de Péquâtion du m Wm ' degré , F (x) = o.

Désignant par x s , x % , deux racines quelconques de t'(x) =o , on aura l’équation cherchée en y , en éliminant T, et x a , entre les équations

Tirant de la dernière x, = , et reportant dans la première,

il restera à •

éliminer x a entre F^^J ou x entre F (1)=»

■ o et F(F»)=o,

et F(x) =o.

L’équation finale sera encore du degré m* , et aura m racines qui seront les carrés des racines, x, , x % , x m . On pourra donc les supprimer, en formant une équation qui ait pour racines les carrés de celles de la proposée ; ce qui se fera en substituant [/ x k x dans cette dernière ; puis on divisera le premier membre de l’équation finale par le premier membre de cette transformée. De plus, les racines restantes seront égales deux à deux, puisque x, X x, et x, Xx, sont deux valeurs dey ; on pourra donc extraire la racine carrée du premier membre , et

le degré de l’équation demandée sera ainsi réduit à - m (m — i).

Nota. Pour supprimer de suite les carrés des racines de la proposée, on retranchera encore l’une - de l’autre les deux

équations F — o , F (x) = o ; l’équation résultante

F F(x) —o sera satisfaite évidemment par y=x* , donc

elle sera divisible parjy — x* ; et supprimant ce facteur, on dtera les m solutions égales à x*, qui correspondront à F (x) = o. 197. Problème. Etant donnée une équation F (x) = o , dont

x, , x a désignent deux racines quelconques, en trouver une autre dont les racines soient toutes les combinaisons de la forme p(x,-f-* a ) -f-.qx,*, p et q étant des constantes données.

Tout se réduira à éliminer x, et x, entre les trois équations

F(x.) = o, F(x,) = o, p(x, + x,) + qx,x, —y.

V '■ nr

Tirant x, de la dernière , on aura x a = - — : L

Reportant dans la seconde , il restera à éliminer x, entre

- FW =° et r (SS,) = °' •

ou x entre

F(x) = o et

p+qx x

F(y^pf)

\p-f qx/

Le nombre des combinaisons de la forme donnée étant m *, lorsque x« et x“ passent successivement par les m valeurs de x Jirées de F(x) =o , il s’ensuit que l’équation finale sera encore du degré m*. On en pourra supprimer m solutions de la forme apx-f-qx®, en formant une nouvelle éq.uation qui ait ses racines de cette forme , ce qui se fera en éliminant x entre F (x) — o et 2 px -f- qx* — z. Quand on aura trouvé l’équation en z, on y remplacera z par x , et on divisera par elle l’équation finale, qui ne sera plus que du. degré m(m — 1).

Enfin , on la réduira au degré ^ m(m — i) , en observant que

ses racines seront égales deux à deux , et que par conséquent on pourra extraire la racine carrée de son premier membre.

Nota. Il sera encore possiMe de supprimer d’avance les m solutions de la forme 2 px -f- q r* ; en effet , si l’on retranche l’une de l’autre les deux équations entre lesquelles il faut éliminer . x , on pourra leur substituer le système des deux suivantes : ' x

F C^ï)“ F(x)=o - et F(c)= °-

Or, la première est identiquement satisfaite quand on y fait

= on y = *px + qx>; ' .

donc son premier membre est divisible par y — a px — qx' ; et supprimant ee facteur , on retrancbera de l’équation finale les m' solutions de la forme opx -f- qx'.