Problème. Trouver là condition pour qu’une équation

• i” + Ai"~‘+....-|-Tr+U=o,

ait deux racines égales et de signes contraires , et déterminer ces racines.

Soient x, et — x, les deux racines inconnues dont il est question, il faudra, lorsque m sera pair, que l’oit ait à la fois . les deux équations

x, m 4 Ax,"~ ’ + Bx,** - * 4 . .+Tx,+U = o, a»,"— Aur, 01 -* -f-Bx,*— 4 4 - . . . — Tx, +U=a

Les ajoutànt et les retranchant membre à membre , il faudra , pour qu’elles aient lieu en même temps , que l’on ait sépa-» rément ,

(1) ... x," -J- Br I "“*4 » • T ■+* B —o ,

(3 ). . . Ax,"“‘+ Cr l " 3 4- • . . -f-Tx t — o.

La valeur de x, doit donc satisfaire à ces deux équations , et la condition de possibilité est qu’elles aient une solution commune ; on cherchera alors le commun diviseur entre leurs premiers membres , et on égalera à zéro lé reste indépendant d’x » cette équation sera la condition pour que la proposée ait deux racines égales et de signes contraires, et le commun diviseur , égalé à zéro, donnera la valeur de cette racine.

On observera qu’on peut supprimer le facteur x, dans l’ équation (a) , car x, =0, ne saurait satisfaire à l’équation (1) » parce qu’il faudrait que U fût nul, et l’équation proposée serait bien satisfaite par zt. o ; mais il n’y aurait pas pour cela deux racines égales et de signes contraires ; il n’y en aurait qu’une seule égale à zéro. Si cependant U et T étaient nuis à la fois > on aurait deux racines égales et de signes contraires , puis-

qu’elles seraient nulle» toutes les deux ; mais si l’on ne spécifie pas que les racines en question sont nulle», on pourra supprimer le facteur x, de l’équation (a) , et exprimer qu’il y a une solution commune après celte suppression. On aura ainsi la solution générale de la question. Si ensuite on demande que les racines dont il s’agit soient nulles , on égalera à zéro la valeur que l’on tirera pour elles , et on aura par là une seconde condition.

Si les équations (1) et (a) avaient n solutions communes , la proposée aurait n couples de racines égales deux à deux au signe pris.

On opérerait d’une manière semblable si m était impair.

199. PROBiistr. Trouver deux racines d'une équation F(x)=o, connaissant leur. différence S.

Si x, est la plus petite de ces racines, x, + & sera la plus grande , et l’on devra avoir <

Il devra donc exister un commun diviseur entre F (x) et F (x-f -i~). S’il est du premier degré, il serax— x t , et fera connaître par conséquent la plus petite racine , et par suite la plus grande. S’il est du second degré , il y aura deux couples de ra* cinés ayant entre elles la différence ï ; ce qui donnera quatre racines, à moins que la proposée n’ait trois racines qui suivent une progression dont la différence soit S'. ; c’est ce que l’on reconnaîtrait à ce que les deux racines du commun diviseur différeraient entre elles de i'. On raisonnerait semblablement dans le cas ou ce commun diviseur serait d’un degré plus élevé.

200. PxoM.iKE. Trouver les conditions pour qu une équation • ^ ( J ) = o, ait n racines qui forment une progression arithmétique dont la raison soit i' , et déterminer ces racines.

Soit F(x)=o l’équation donnée, et x, la plus petite des n racines ; il faudra qu’on ait en même temps les n équations

F Çx,)=ro, F(x,-f<l)=o, F(x,-f 2 < 0 =o, ... , F[x, + (n- 1 )/]=o.

Il devra donc y avoir un commun diviseur' au moins du pre-

Diqitiz

mier degré entre F (x) et chacun des polynômes F (x -f- f) , > F (x-f-uJ’) , . F [x -f- (n — x)/] /d’où résulteront n — x équations de condition.

On parvient au même résultat par la méthode des coeOiciens indéterminés , en exprimant que le polynôme F (x) a n facteurs de la forme p

<x — x,), (x — x, — «t), (x— x, — ad 1 ), [x— x,— (n — x)<t].

On agirait dé la même manière dans le cas où les racines devraient être en progression par quotient. •

aoi . Problème. Trouver les conditions pour qu'une équation du degré m ait n racines égales entre elles. . .

On égalera le premier membre de l’équatioq donnée au produit d’un facteur (x — fl)* par un polynôme indéterminé du degré m — n , il en résultera m équations, entre lesquelles on éliminera a et les m — n coefficiens tlu polynôme indéterminé) et il restera n—i équations de condition entre les coeiliciens de l’équation donnée. • -

Si , d’après la théorie des racines égales , on exprimait que le premier membre de la proposée et sa dérivée ont un commun diviseur du degré n — 1 , il en résulterait d’abord n — 1 équations de condition ; mais il faudrait de plus que ce commun diviseur fût une puissance du degré n — 1 , d’où résulteraient n — 3 équations de condition ; ce qui en ferait en tout an — 3. On en trouverait donc plus par ce moyen que par le premier , et cependant il semble qu’on n’a introduit aucune condition étrangère. Pour lever cette difficulté , observons que les n — 1 équations qui expriment qu’iby a un commun diviseur du degré « — 1 s’appliquent au cas général où les racines de ce diviseur sont inégales , et qù l’on a par conséquent n —r 1 couples de racines égales deux à deux dans l’équation proposée. Si maintenant on exprime que les n — 1 racines du commun diviseur sont égales, cesn — 1 couples feront an — 2 racines égales dans la proposée. Le nombre an — 3 de conditions, tenait donc à ce que l’on exprimait que l’équation avait an -r- 2 racines égales , et non pas

( ao 5 )

seulement n ; ce qui s’accorde avec le premier procédé , par les coefficiens indéterminés.

aoa. Théorème. Si toutes les solutions d’une équation à deux variables (i)...<p(x,y)=o , satisfont aune autre équation (a)...F(x, y)=o, le polynôme F(x,y) sera divisible par <p(x, y), en supposant que ces polynômes sont entiers et rationnels.

En. effet , concevons qu’on attribue à y une meme valeur quelconque dans les deux équations; l’équation (2) devra admettre en même temps toutes les valeurs d’x correspondantes de l’équation (1) ; le polynôme F(x,y ) sera donc divisible par <p{x,y ) , quand on l’aura multiplié, s’il est nécessaire, par une certaine puissance du coefficient du terme qui est du plus fort degré en a; dans ( x,y ) , laquelle peut être» une fonction 4 ” (y) dey 1 . Ainsi le produit -vj, (y) F (x , y ) est divisible par <p(x,y), quels que soient x,y,etle quptient de F ( x , y ) par p(x,y) deviendrait entier par rapport à x et y , si on le multipliait par ^(y).

En raisonnant pour x comme pour y , nous ferions voir que le produit 4 /,(x)F(x,y) serait divisible par q>(x,y"), et que par conséquent le quotient de F ( x , y ) par $ (x, y ) deviendrait encore entier si on le multipliait par \J/, (x). D’où il suit enfin que ce quotient de F ( x ,y ) par q> ( x,y ) est entier par rapport à x et k y ; car sans cela il ne pourrait le devenir , quand on le multiplierait indifféremment par une fonction d’x seulement, ou d’y seulement.

ao 3 . Théorème. Soit une équation ( 1 ) . . . ( x , y) = o du degré viens., et du degré n en y ; si V équation (2) ... F (x,y)=o admet toutes les solutions de p(x, y) = o correspondantes à m valeurs des, et à n valeurs rfy, le polynôme F (s , y) sera divisible par <p(s, y) , en supposant ces deux polynômes rationnels et entiers.

Soient en effet x, , x, , . . . , x m , les m valeurs d’x données : puisque pour chacune d’elles l’équation (2) admet toutes les solutions en y de l’équation (t), il s’ensuit que pour ces mêmes valeurs d’x , F ( x ,y) est divisible nar ç ( x ,y ) , quand on l’aura multiplié par une puissance 'J'O’O du coefficient du terme du plus haut degré en y dans $(x,y). Le reste de la division de

4- (x) X F (a: , y ) par $ (x , y ) sera donc nul pour les m valeurs x, , x, , . . . , x m . Mais ce reste ne peut être que du degré m — t puisque le diviseur est du degré m ; donc il est nul quel que soit x, et par conséquent la division de 'Ki)xF(i^) par <p{x , y~) réussit quels que soient x ■ et y. La démonstration s’achèvera comme dans le théorème précédent, et l’on en conclura semblablement que F (x , y) est divisible par <p(x ,y).

ao4. TnÉoniME. Si l’équation F(x,y)=o admet toutes les solutions de f>(x,y)x:o l quand x ou y prennent des valeurs quelconques entre deux limites données, le polynôme F(x ,y ) sera divisible par ç(x,y).

Ce théorème est une conséquence du précédent; car quelque rapprochées que soient les deux limites entre lesquelles on peut prendre x arbitrairement, cette variable étant susceptible de recevoir une infinité de valeurs , en pourra prendre par conséquent un nombre supérieur au degré de ç(x,y) , par rapport à x-, il en serait de même pour y.

ao5. TnéoniME. Si deux équations F(x,y)p=o et ç(x, y)=o, admettent au moins uiie solution commune pour une infinité de valeurs ' de l’une des variables , de x, par exemple ; et qu'en même temps ç (x ,y ) n’admette aucun facteur rationnel en x ou en y ; le polynôme F(x,y) sera divisible par ç>(x , y)- En effet , si ou élimine y entre les deux équations , par le procédé du plus grand commun diviseur, on parviendra au reste final en x, qui , égalé à zéro, devra, d’après l’hypothèse , admettre une infinité de solutions ; il faudra donc qu’il soit nul de luimême; il existera donc un commun diviseur entre F (x, y») et ç>(x, y). Mais on suppose que ç (x ,y) n’admet aucun autre facteur rationnel que lui-même; ces conditions ne pourront être satisfaites à. la fois que si p(x,y) est facteur dans F (x, y).

Coboli.aibv.. Il en résulte que si deux équations à deux variables ont une infinité de solutions communes, et que leurs premiers membres soient indécomposables en facteurs rationnels, ces équations seront identiques:

Ainsi, P équation rationnelle d’un arc de courbe, quelque petit qu’il soit , est identique avec l’équation de la courbe en ■

( ao 7 )

tière. C’est pour cela qu’en citer chant les équations des lieux géométriques, on trouve souvent des branches de courbes étrangères à la question : c’est qu’alors la construction ne fournissait qu’une partie du lieu de tous les points compris dans la même équation rationnelle , et que l’équation de cette partie est la même que celle du lieu total.

Si , par exemple , on demandait le lieu des milieux des cordes menées à un cercle, par un point extérieur, on trouverait l’équation d’un cercle , tandis que la construction ne fournit que l’arc intercepté par le cercle donné.

Des Equations binômes.

Ces équations peuvent toujours se ramener à la forme y m +u — pyM -j. D> Supprimant les n s >lutions égales à zéro , il vient y"rpp=o.

Désignant par « la valeur arithmétique de \/ p , et faisant y = *x, l’équation précédente se réduit à (i). . x m qr i =0.

Les m valeurs de y s’obtiendront en multipliant successivement a par chacune des m valeurs de r, tjrées de l’équation (1). Ces valeurs dé x sont nommées racines de l’unité.

L'équation (1) n'a jamais de racines égales, car il n’y a pas de commun diviseur entre 1 et sa dérivée mi'" 1 .

206. Tiiio ni mi. Quand m et n sont premiers entre eux. les équations x" — 1 = o , x" — 1=0, n’ont pas d'autre solution commune que x = 1.

En effet, si l’on .divise x m — 1 par x* — 1 , on aura pour dividendes partiels consécutifs,

«"-•-r-i , x*“** — i, x— s *— 1 , etc.

Le, dernier reste sera 4 mm x, p,éta»<t,Jc reste delà diyir

s km de «m par n. Le plus grand* commun diviseur entre x m ~ 7 t et x"*r-a , sera donc le même qu’entre — * et x ? — 1 ; du môme ce, dernier sera identique «une «oint, de x'’ — 1 et os» 1 ,

( ao8 )

q étant le reste de la division de n par p. En continuant ainsi , on parviendra à un reste du premier degré en x, puisque les exposans m et n sont premiers entre eux et que les quantités p, q , etc. , sont les restes successifs qu’on obtient en cherchant le plus grand commun diviseur de m et n. Par conséquent, le commun diviseur de x m — 1 et a;” — i est x — 1 ; et par suite l’unité est la seule racine commune aux deux équations proposées.

5207. Voyons maintenant à quoi l’on peut réduire la résolution de réquation x m — - 1=0.

Supposons d’abord que le nombre m soit premier; dans ce cas, toutes les puissances de * jusqu’à <t m auront des valeurs différentes, à moins que l’on 11’ait a— 1. Car si deux puissances a' et «d étaient égales , on aurait «" = a", et de là ct n ~~’= 1 ; or aucune puissance de a moindre que m ne peut être = 1 tant que a n’est pas — 1. En effet, puisque et m — 1 = o , si l’on avait en même temps — i =0, n étant < m , il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune ; et en cherchant par les règles ordinaires, le plus grand commun diviseur des deux quantités <*’" — 1 et *"' — i , on trouve nécessairement a. — 1 pour ce diviseur , à cause que m est un nombre premier; de sorte que la fracine commune aux deux équations*" 1 — 1 =0 et — 1 = 0 ne peut être que l’unité.

Il suit de là, i°. que les puissances *, •*, a 3 , . . . , représentent toutes les racines de l’équation y m — 1 =0 , en prenant pour * une quelconque des racines de cette équation, autre que l’unité. Car puisque = 1 , on aura aussi a im = 1 , a? m =z 1 , etc.; de sorte que les puissances * , *“, a 3 , ... ,«”■ seront aussi des racines de la même équation ; et tomme elles sont au nombre de m, et ont toutes des valeurs différentes , elles donneront nécessairement toutes les racines de l’équation y m — 1=0,

Il s’ensuit aussi , 2°. que si dans la série des puissances «t , •*>

• 3 , . . . , a m -‘, , on substitue pour • une quelconque de ces puissances ( comme «“ , n étant m ) la nouvelle série *" , *“* , • 5 “, etc. , en rabaissant toutes les puissances au-dessous de « m , à cause de a m —t , contiendra encore les mêmes puissances,

mais dans un ordre différent ; car il^est visflde que tons les ex* posans n , 2 n, 3 « j etc. , sont différens ,.el que leurs restes de là division par m le sont aussi, parce que m est un ndiubre premier ; de sorte que ces restes étant an-nombre de m, et tous • différens entre eux , ne peuvent être qtie les nombres 1,2,

208. Considérons maintenant le cas où m n’est pas un nombre premier. Alors , si n est un diviseur de m , toutes les racines de l’équation y" — i=.o seront communes à l’équation y m — 1 =0, parce qu’en supposant le nombre r racine de l’équation y n — i=o, on aura r" = 1 , et par conséquent aussi ,

r"‘= 1 ; de sorte que r sera çussi racine de l’équation — 1=0.

En faisant donc « = r,on aura *’"== 1 ; et si m=np , il est visible que dans la série des puissances « , a * , » 3 , . . . , * m , cba- /

cune se trouvera répétée p -fois; par conséquent ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l’équation y m — 1=0 , parce, (pie cette équation n’a jamais de racines égales.

Soit m=spq , p et q étant deux nombres premiers, et soit /S une des racines de l’équation y p — 1 = o’, et y une des racines de l’équation y 1 — 1. =»o, il est clair que fi- et y seront aussi racines de l’équation y m — i =0 , parce que ff et yi étant = 1 , on aura aussi fin=t, y Pi = 1 ; mais toutes les racines de l’équation y m — 1=0 ne pourront pas être représentées par les puissances successives des racines fi et y.

On voit aussi que le produit fiy sera rajinc de la môme équation y m — 1 = 0; mais aucune puissance de cette racine f . dont l’exposant serait inférieur à m , ne pourra être égale à l’unité, à moins que fi ou y ne soit l’unité; car il faudrait que l’exposant de cette puissance fût un diviseur de m, et par conséquent égal à p ou à 7; on aurait donc (fiy) p =: 1 -, ou (fiy)i=i Dans le premier cas, on aurait y p = 1 , à cause de fi p =. 1 (hyp.). et comme on a déjà yi — 1=0 (byp.), il en résulterait y — i=o, à cause que p et q sont premiers outre eux. Dans le second cas , on aurait fi — 1=0.

Ainsi , tanPque fi et y sont différens de l’unité, la racine fiy - i 14

( aïo )

Je l’équation y 1 = o , a , lorsque m—pq, la môme prcv priété que la racine « lorsque m est un nombre premier, savoir, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par les puissances successives de fiy.

Comme les valeurs de fi sont au nombre de p, et celles de y au nombre de q , les valeurs de fiy seront au nombre de pq , c’est-à-dire de m; et il est facile de prouver que ces valeurs se- . ront toutes différentes entre elles, parce qu’elles peuvent être représentées par fi r y’,en faisant successivement r = 1 , i, 3 ...,p et s=i ,a, 3 . ..,<7 ,à cause que les nombres pet q sont supposés premiers. D’où il suit que p et q étant des nombres premiers, et m étant égal à pq , toutes les racines de l’équation y m — î = o peuvent être représentées par les produits fiy des racines des équations y r — 1 = o , yi — 1 = o.

On prouvera de même que si m = pqr, en supposant p,q , r des nombres premiers , et que fi , y , J 1 soient respectivement des racines quelconques des trois équations y?— i = o, y* — i=o, y r — i=o, le produit fiyS~ , en donnant successivement à fi, y,} toutes leurs valeurs , pourra représenter toutes les racines de l’équation y m — i=o-, et que celles de ces racines qui seront exprimées par fiyï en excluant l’unité des .valeurs fi , y , i , aurout les mêmes propriétés que les racines de l’équationy* — î =o, lorsque m est un nombre premier.

Et ainsi de suite.

209. Mais si l’on avait m—p*,p étant un nombre premier , en prenant fi pour une quelconque des racines de l’équation yP — .1=0 , il est*clair que fi serait aussi racine de l’équation

y* — 1 =0, et que y fi le serait aussi. On prendrait donc, dans

ee cas , pour y une quelconque des valeurs de y' fi , et l’on aurait r — '*

également fiy ou fi\/ fi pour l’expression de toutes les racines de

y"— 1=0. Et en effet, en donnant à fi les p valeurs dont il est ** ♦

susceptible, on aura p a valeurs pour fiy' fi) de plus elles seront différentes; car si l’on avait pour deux d’entre elles |S y'fi-=zfi , ÿfi' t

il s’ensuivrait, en élevant les deux membres à la puissance pi 0 "* mt ~g'p-*-‘ t d’où g=g' , puisque g F = i et g' p = i.

Les p* valeurs de g \/ g seront donc différentes quand on donnera à g les p valeurs différentes tirées d ey p — 1=0.

De même , si m =p 3 , en conservant les valeurs de g et y , on

ferait de plus î = \/g, et l’on aura gyl pour l’expression de. toutes les racines de y m — i — o , en donnant successivement à g ,y , / toutes leurs valeurs.

Et ainsi de suite.

Donc en généaol , si m —pPq'r *. ... , et que g, y, l, etc., soient

respectivement des racines quelconques des équations y p i=o,

y *~ 1 * = 0 > f— 1=0, etc., p , q , r , etc. , étant des nombres premiers; si l’on fait de plus g' = \/g, g" == etc . ÿ=\/y,

■ y — y > e tc . > ^ = V* ) = V*' > etc., on aura

gg'g ". . . Xyÿy" ... x tW . . .

pour l’expression générale des racines de l’équationy m i=o •

en donnant successivement à g , g' , etc. ,y ,y' , etc. , f, «P, etc. \ toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particul ier.

On, voit par là que pour avoir les racines d* l’équation à deux termes y m î =o, lorsque m n’est pas un nombre premier, i| suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposans soient les nombres premiers qui composent le nombre m.

a î o. Enfin nous remarquerons que comme l’équation y m — i=o manque de tous les termes intermédiaires, si l’on nomme 1 , *, @>y>^) etc., ses racines, on aura

1 ~h‘ t ~i~g-hy-t-y + etc. = o,

1 +« a -M'H->*+;*+etc.=o, i + + g 3 + y 3 4 - -f- etc. = o.

. 1 + + g”-' + V"=‘ + ■*- etc. = O.

•( aia )

Ensuite, à 'cause de * m = 1 , / 2 m = 1 >etc. , on auré

1 + * m 4 4 y m 4 i m 4 etc. — m,

i 4 . 4 . / 2 «-+-' 4 - 5 ,"+' 4 . etc. = o ,

1 4 - * m " M 4* 4 > m+ ‘ 4“ etc- = ° ,

et ainsi de suite.

* Pour résoudre l’équation x m — 1 = 0, quand m est premier, on supprimera d’abord le facteur x — 1 , et il restera l’équation réciproque 4"* • -4^4 1 =0 qui se ramènera

comme on saif à une autre de degré moitié moindre.

M. Gauss a fait connaître une méthode au moyen de laquelle on peut résoudre l’équation x m — 1 =0 à l’aide d’autant d’équations qu’il y a de facteurs premiers dans m — 1 , et qui ne montent qu’aux degrés marqués par ces facteurs. Nous renvoyons à ce sujet à l’excellent ouvrage de M. Gauss , intitulé . Recherches arithmétiques. •

211. Problème. Déduire les coefficiens de la puissance m+i d’un binôme , de ceux de la puissance m. Soit *

(x 4* a ) m = x m 4* Ax m-, a 4" Bx” - “a a 4 Cx m “* 5 a 3 ~j-etc.

Si l’on multiplie le second memftre par i + a, ou aqra la puissance m 4- 1 de x 4 ° } les deux produits partiels seront

x* + 1 4* A x m a 4* Bx m “*a* 4 - Cx nf ~‘a 3 4" • • *