x m a 4 Ar— ’a* 4 Bx m “ î a
D’oïl l’on voit que le coefficient d’un terme de rang quelconque s’obtiendra en ajoutant le coefficient du même rang dans la puissance m à celui qui le précède.
Si l’on part de la première puissance, et qu’on dispose, dan» une même colonne verticale , les coefficiens d’une même puissance, on formera ainsi le tableau suivant , qui a reçu le nom de triangle arithmétique de Pascal ,
ÎO,
oo
Problèmes sur le Calcul des différences. ,
212. Problème. Si Ton a une fonction ç(i) , et qu'on y remplace x par x -f- h , on obtiendra une différence ç(x) — ^(x+h). Si ton cherche de. mèmç la différence de cette différence, en y faisant croître x de la même quantité h , et que ion prenne ainsi ni différences successives , on demande l'expression de la m t,a “ différence en fonction des différentes valeurs
?(*), <P{x+h), <p(x+oh), ... , p ( x + mh).
Soit représentée par y la fonction donnée ç (x), et par y, , y,, ...,y m , ce qu’elle devient quand on y remplace x par x-^-h, x + uh, ..., x-\-mh. On aura, en désignaut par ùy, à' y , û?y , . . . , A m y , les différences successives , ...
£sy=z(y-y)—(y,—y t )=y—ay l +y, ,
*ÿ—(y—y,)—a(y, — yO + (y»— y») ~jy — 3 y. -M >— yf
En continuant ainsi , on trouverait toujours des termes alternativement positifs et négatifs , et ayant pour coefficiens ceux de la puissance d’un binôme du meme degré que la^difl’érence que l’on considérerait. '
Il est d’ailleurs facile de démontrer la généralité de celle loi. Supposons , en effet , qu’elle ait lieu pour la différence de l’ordre n , on aura * * - ' ~
( ai4 ) v
D’où , en prenant la différence suivante,
(r-r d-nir . -r») + r Cr*-r ») -
(ri—ri)
• On voit que cliaque terme de A "y se retrouvera dans A'+'y et fournira un terme de même ordre et de même signe que le suivant, et qu’ainsi les signes seront encore alternativement positifs et négatifs , et que de plus cliaque coefficient s’obtiendra en ajoutait celui du même rang dans A n y avec le pré- \ cèdent; d*où il suit , d’après la proposition précédente , que les . coefficiensde A m+I y seront ceux delà puissance d’un •
binôme ; et que par conséquent la loi observée pour les trois premières différences , a lieu indéfiniment. On a donc pour l’ordre m • •
21 3 . Problème. Calculer la différence m iime d’un polynôme entier et rationnel du degré m en x.
On commencera par observer que la différence d’un polynôme entier et rationnel , est toujours d’un degré . moindre d’une unité que ce polynôme , et que la différence d’une constante, c’est-à-dire d’une quantité Indépendante d’x, est nulle. Cela posé, il est évident que le seul terme du degré m pourra influer sur la différence de l’ordre m, et que, par conséquent, on pourra dans le cas proposé., supposer le polynôme réduit à son premier terme Ax'". Or, la 'différence de. Ax” sera un polynôme complet du degré m — 1 , dont il faudra prendre la différence de l’ordre m — 1 , et que l’on pourra, par conséquent, encore réduireà son premier terme A mx"T‘h. On verrait sem-
blablement^jue dans la seconde différence , il faudra se borner à considérer le premier terme; et ainsi de suite , jusqu’à la différence de l’ordre m. Ces premiers termes seront successivement :
* Amx m ~’ , h,
• ' Am(m — ,
Am (m — 1 )(m — a) . .. 3 . a. 1 .h".
La différence de l’ordre m d’un polynôme de la forme
Ax" + Bx”— -f Cx"— * . . . +Tx + U ,
est donc constante et égale à A. 1 .2.3 . . ,m.h m , et ses différences d’un ordre plus élevé sont nulles.
Si l’on fait À = 1 et h == 1 , la différence m Uni se réduit à <
. 1". Coroleairb. Si l’on dispose sur une ligne horizontale les
différentes valeurs^, y, ,y % , . . . , y* , que reçoit une fonction d’x, quand on y remplace x par x, x -+• h , x -f- 2À , . . . , x-j-mh , et qu’on retranche tous les termes de cette ligne l’un de l’autre, dans le même ordre , on aura les différences premières de cba- • cun d’eux; si l’on retranche ensuite ces différences les unes des autres dans le même ordre , on obtiendra les différences secondes d ey,y , , y*, Et en continuant ainsi jusqu’à l’ordre
m, on trouvera des différences égales pour tous les termes, si y est une fonction entière rationnelle du degré ni.
Si par exemple on suppose y = x 3 et h = 1 , et que l’on commence par x=i, on formera ainsi le tableau suivant, où la ligne des différences troisièmes 11e renferme que des termes égaux entre eux, et à 1 .2.3 ,
i; 8, 27, 64 , iaS; 216, 343 , 5i2, % ..«
2* CoRontAUE. Si dans la valeur de A m y tirée du problème
< gi6 )
précédent , on remplace y par x m , et que l'on fasse ensuite x = m , on aura
m"t — m (m +h) m 4- m - fo~ 0 ( m 4. 2 h)" — etc.
Or, nous venons de voir qu’on avait
A m y — 1,2.3... mh m .
D’où suit cette identité , en faisant h =. 1 ,
