fn — s

. . , , 771 Cth 1 . .

m m — m (ni -j- i) m -j — - — (m 4*2)”’

Si l’on faisait h — — 1 ,ou aurait , quand m serait pair ,

Et si m était. impair, on aurait

— ' zi.? - *’

Théorèmes sut les Nombres premiers.

ai 4 . Théorème. 5 z le produit AB est divisible par un nombre P premier avec B, le facteur A sera divisible par P,

En effet, le plus grand commun diviseur de B et P, étant par hypothèse l’unité , on déduit de la théorie élémentaire du plus grand commun diviseur, que celui de AB et AP sera A, et que P divisant AB et AP, divisera leur plus grand commun diviseur A.

Corollaire. Les principales conséquences de Ce théorème fondamental sont exposées dans tous les traités élémentaires. On

on déduit, par exemple, U manière de décomposer un nombre en ses facteursprem iers , d’où l’on peut conclure un moyen dd déterminer tons les diviseurs d’un nombre. Soit en effet a m C* y f etc. le nombre proposé (« , C , y . . . . , étant des nombres premiers) , -tout diviseur de ce nombre sera de la forme aPCy * . , . , les exposons f*, », ne peuvent surpasser m , n,p, ...; d’où il

suit que tous les diviseurs du nombre proposé, seront les differens termes du produit des facteurs

Le nombre de ces diviseurs est (m -fc- i ) («H* 1 ) ( P 4 * i )• • • • La somme de ces diviseurs peut se mettre sous la forme

On en déduit le moyen de trouver un nombre qui ait un nombre donné p de diviseurs. On décomposera p en facteurs quéleonques ; on diminuera chacun d’eux d’une unité, et l’on prendra ces nombres pour exposans de facteurs premiers arbitraires ; il en résultera un nombre qui admettra p diviseurs.

Il suit encore de là que tout carré admet un nombre impair de diviseurs; car tous les exposans de ses facteifrs premiers étant pairs, le produit (/n-f- i) (rz - f- 1 ) (p- f- 1 ) .... est impair.

Si l’on demandait de combien de manières le nombre N peut se décomposer en deux facteurs, on trouverait

~ (m-J-x) (ti-f-t) (/>+ 0— , p a,- ce qUc à chaque facteur A corres-

pond l’inverse — , et que par conséquent le nombre des produits

de deux facteurs differens , est la moitié de celui des diviseurs. 11 faut en excepter le cas où le nombre N serait un carré; alors le nombre des diviseurs est impair , parce que la racine carrée se correspond à elle-même pour donner le produit JN; d’où il suit que dans ce cas il /aut prendre la moitié du nombre des diviseurs diminué de l’unité, at ajouter i au résultat; c’est-à-

( ai 8 )

dire que le nombre des manières de décomposer un carré en deux facteurs , est - | {ni + *)(“+ O (p+.O ••• + »)•

La formule précédente ^ (m-f- 1) (n-f- i) (p-f- 1) .... pourrait encore être employée en prenant l’unité au lieu de la frac- | •

tion -que donnerait la division de(m-f-i)(n-J-i) (p-f-i) —par a.

Si l’on Toulait que les deux -facteurs dans lesquels on décompose IJ, fussent premiers entre eux, le nombre des combinaisons ne dépendrait plus des exposans m , et serait le

même que si l’on avait N — a£y ... ; d’où il suit qu’en appelant k le nombre des facteurs premiers et, C, y on aurait

pour le nombre des diviseurs - (l -f- 1) (1 -f- i)(i ■+• 1) ou • a

-X 2 1 , ou enfin a* - '.

ai 5 . Problème. Trouver combien il y a de nombres pre~ miers avec un nombre donné N et inférieurs à N.

i°. Supposons d’abord N = et.M , a. étant un nombre premier et M un facteur quelconque qui peut être divisible par une puissance quelconque de A. Les termes de la suite i , 2 , 3 , . . . , N qui sont divisibles par ce, sont a . , 2ü , 3 st, . . . , Met ; en appelant donc x le nombre des termes de la première suite, qui ne sont paè divisibles par ce, on aura *

x = Ma — M = M («e — i)= N ^

a°. Soit maintenant N r= <*£M , a et ff étant deux facteurs premiers difl’érens , et M un nombre quelconque ; on pourra distinguer dans la suite , 1 , u , 3 , ... ,N, trois sortes de termes ; les x termes premiers avec <e et 6 ; ceux qui sont divisibles par a. sans l’être par C, «ou par C sans l’être par et ; et enfin ceux qui lo

sont par a£. Les termes divisibles par a sont au nombre de -

ou MC; mais si Pon en ôte ceux divisibles par C, leur nombre se réduira d’après le cas précédent à M (C — î).

De même les termes divisibles par C , sans l’être par « , sont au nombre de M(<* — 1 ); et les termes divisibles par ctC sont

en nombre iVI. On aura donc • .

Or , le premier membre aCM peut être mis sous la forme [•t+(«-0][»+(C-«)]M,

et développant , d’après la loi connue du produit de binômes ayant même premier terme, on aura

Mf î + Ça — 1) -f- (*— 1) (C — 1 )

Comparant avec le second membre de l’équation précédente , on trouvera

3°. Soit N = aCyM.

On pourra distinguer dans la suite i, 2,3,...,N, quatre sortes de termes; les x termes premiers avec a., Ç , y } les termes divisibles par un de ces facteurs seulement; ceux qui le sont par deux seulement; enfin ceux qui le sont par trois. Les

termes divisibles par a sont au nombre de — , ou de M Gy ; mais

. et

si l’on ne considère parmi eux que ceux qui sont premiers avec C et y , il n’en restera îjue M(£ — 1 ) {y — 1 ) , d’après ce qu’on a vu dans le cas précédent.

Les termes divisibles par c£ sont au nombre de — ^ou de M y\

mais en ne considérant que ceux qui sont premiers avec y , leur nombre se réduit à M(y- — 1 ).

Enfin, les termes divisibles par t£y sont au nombre de ~q- \

( aao )

ou de M. On aura donc , .

aCyM = x + M(C — i )(y — - 1 ) -f M, + M(et— 1 ) (S— i) -fM(£ — i),

"Considérant encore xCyM comme le produit

et le comparant au second membre de l’équation précédente , on en ooriclura •

On déduirait semblablement le cas de quatre facteurs premiers de celui de trois; et ainsi de suite. De sorte que les nombres premiers avec un Bombre de la forme N —a. m C n y p â' 1 ... et plus petits que N , sont en nombre marqué par

216. Problème. Trouver combien de fois un nombre premier 8 est facteur dans la suite 1,2, 3 , ... N ; ou en d'autres termes , quelle est la plus forte puissance de 6 qui divise le produit 1 . 2 . 3 ... K.

Soit x le nombre de fois que 6 est facteur dans 1 . 2 . 3 ... N,

dans t* b

et désignons par E ^ ^ le plus grand entier compris II est évident que *Cr) est le nombr^des termes de la suite 1 , 2 , 3 , .... , N, qui sont divisibles par 8 ; que E ^ ^ ^ est le

nombre des termes ele la même suite , qui sont divisibles par 8’ ; et ainsi de suite. Or, il est évident que le nombre total des facteurs 8 contenus dans le produit 1 . 2 . 3 . . . N , est égal au nombre des termes qui contiennent une seule fois le facteur 6 r plus le nombre de ceux qui le contiennent deux fois \ plus le-

nombre de ceux qui le contiennent trois fois; et ainsi de suite,

jusqu’à ce que ^ se trouve moindre que l’unité. On aura donc

x=E (r) +E (F) +E (l) + etc -

Si par exemple on cherche combien de fois 7 se trouve facteur dans le produit des nombres naturels 1, 2, 3 , etc., jusqu'à 1 0000 , on aura les opérât ions suivantes ,

' ioooo> ‘ 7 y

La somme de tous ces nombres étant i 665 , laplus forte puîssance de 7, qui divise le produit.-! .3.3... 10000 est y ,6as .

Si l’on avait N = S™ , les nombres E , E seraient 6 m— * , 6"-*, ..., 1 , dont la somme est 7 i ou

217. On n'a pas encore trouvé de formule qui donne tous les nombres premiers et qui n’en donne pas d'autres. On peut démontrer que si cette formule existe , elle ne saurait être uno fonction entière et rationnelle dune variable x. Car, soit par exemple la formule Ax m -f- Bj.-"* - * 4 Car" -2 -j- ... 4 Tar 4 U ; et soit a une valeur d’or qui donne pour le polynôme le nombre premier p ; faisons x = <*-f • py , y étant un nombre entier quelconque; leterme indépendant d]y, après la substitution, sera

À* m 4 Bct" - * 4 ... 4 Ta 4 U,

ce qui est égal à p, et tous les autres termes renfermeront le facteur p ; on aurait donc un nombre différent de p et divisible par p , et qui ne serait pas par conséquent un nombre premier. La formule \x m U ne peut donc renfermer uni-

quement des nombres premiers.

2l8 ‘ La su ite des nombres premiers est indéfinie. Car soit p un nombre premier quelconque, le produit des nombres premiers, depuis 1 jusqu’à p , augmenté de l’unité, ne peut être divisé par aucun des nombres premiers , depuis 1 jusqu’à p; donc , ou il est premier , qu il admet des diviseurs premiers au-dessus de p. Doue enfin , quelque grand que soit un nombre premier , on en peut encore trouver un au-dessus ; ce qui démontre la propriété énoncée.

2 1 9. Theouèmf.. Soit p un nombre premier , et N un nombre

entier quelconque , non divisible par p ; le nombre N'’ -1 1

sera divisible par p.

En effet, soit x uu nombre entier quelconque, on aura

. . -f-xL,

Or, je dis que tous les termes du second membre, excepté le premier et le dernier, ont "leurs coefficiens divisibles par p. Car soit le coefficient général

Il est nécessairement entier ; et comme p est premier, et que fona n <Cp> il s’ensuit que le facteur p du numérateur, ne peut détruire aucun des facteurs du dénominateur ; ceux-ci sont

donc détruits par les facteurs (p — 1) , (p — a), . . . , (p n+i) ;

et par conséquent p restera facteur du quotient. Donc.......

(i+x)' — 1 — X* est divisible par p , quel que soit l’entier x.

Posons maintenant i-f-x=N, on aura alors N? — (N i)p 1

qui devra être divisible par p; donc N p ne diffère de (N — i)*-f 1

que par«n multiple de p ; et en sous-entendant ce multiple; on aura ,

ou en retranchant N de part et d’autre ,

N? — N = (N — iy — (N — 1). '

■Changeant N en N — 1 , on aura semblablement

(N — î)* — (N — i)= (N — 2) p — (N — 2), et de même

En continuant ainsi on arrivera à (N — N)* — {N — N) ou zéro. Donc N*" — N est nul , en faisant abstraction, de tous les multiples de p qu’il renferme. Donc enfin N p N ouK (N? — 1 — 1) est divisible par p. •

D’où il suit que toutes les fois que N ne sera pas divisible par p , le nombre N p— ! — 1 le sera. Ce qu’il fallait démontrer.

220. Théorème. Si n est un nombre premier , le produit 1, 2,3 ,..., n— 1 , augmenté de t unité , sera di visible par,i 1 ; et réciproquement , tout nombre qui satisfera à cette condition , sera premier.

En cflët,nous avons vu (page 216) que l’on avait, quel quel fut le nombre pair m ,

rn m — m(m — i) m -j (m — 2)

Si Fon fait m= n — 1', et qu’on néglige les multiples den; on aura par le théorème précédent

Donc le produit 1 .a . 3 . . . m, en y négligeant les multiples de n , se réduit ù

1 — m-jr

+ etc.,

( aa4 )•

If. nombre (le ces termes étant m ; niais celle somme est le développement de (i — i) m , moins son dernier terme qui est -|- 1 , parce que ni étant égal àn — 1 , est pair. Donc j le produit 1 .3.3 . . . m, ou 1 . a . 3 . . . (n — i), est égal à un multiple de n, moins l’unité, et par conséquent î .a. 3. . .[n — b)-f-i est divisible par n.

Réciproquement , il n’y a que les nombres premiers qui satisfassent à cette condition. En effet , si n est composé de deux facteurs inégnux , ils seront compris tous les deux dans la suite

1.3.3. . .. ,(n — î), et par conséquent le produit i.a.3...(n — i) , serait divisible par n. De même , si n était le produit de deux * 1

facteurs égaux à a , on aurait a <[ - (n — i), et par conséquent

la suite 1,3,5,...; (n — i) , renfermerait a et 2 a, et le produit serait encore divisible par a 2 ou par n. Donc enfin la quantité

1 . 2 . 3 .. . (n — î) + • n’est divisible par n que quand n est

premier.

Il résulte de là que pour s’assurer si un nombre est premier, il suffirait de voir si le produit des nombres naturels jusqu’à ce nombre exclusivement , donne — î de reste , quand on le divisé par ce même nombre. Mais ce produit devient tellement considérable quand n a une valeur un peu élevée, que ce moyen de vérification est réellement impraticable , et bien moins prompt que l’essai par la division. On peut cependant l’abréger , en substituant à la deruière moitié des facteurs l, a , 3 , ». , (n — 2 ) , (n — i ), leurs seconds termes — 1 , — 2 , ... ; ce qui ne fait que retrancher du produit un multiple de n : alors les facteurs à égale distance des extrêmes, sont égaux et de

signes contraires; de sorte que si ^ (n — î) est pair, on pourra

faire abstraction des signes — et il faudra que