CO

lorsqu’on y suppose x = 00.

aai. 1 “Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de x, la différence

converge vers une certaine limite k, la fraction

fi f)

convergera en même temps vers la même limite.

Supposons d’abord que la quantité k ait une valeur finie’, et désignons par t un nombre aussi petit que l’on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger la différence

/co

( qs6 )

vers la limite A-, on pourra donner au nombre h une valeur assez grande pour que , x étant égal ou supérieur à h , la différence dont il s’agit soit constamment comprise entre les limites

Cela posé, si l’on désigne par n un nombre entier quelconque, chacune des quantités

f(h + a)— /(AtH 1 ),

etc. ... ,

et par suite leur moyenne arithmétique, savoir,

se trouvera comprise entre les limites h — t, k -f-i. On aura donc

* étant une quantité comprise entre les limites —

Soit maintenant

L’équation précédente deviendra

et l’on en conclura

/(x)=/( A) + ( x — h ) (A-fa),

De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de x , il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier n, sans changer la valeur de h. Supposons, en conséquence , que dans l’équation ( 2 ) l’on considère h comme une quantité constante.

et x comme une quantité variable qui converge vers la limite X. .Les quantités.

renfermées dans le second membre , convergeront versl a limite séro , et le second membre lui-même vers une limite de la forme

a étant toujours eompris entre — t et -f- 1. Par suite, le rapport

aura pour limite une quantité comprise entre k — i et £ + «. Cette conclusion devant subsister , quelle que soit la petitesse du nombre t , il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité k. En d’autres termes, on aura

(3) . . . = /t = lim.[f (x-f - 1 ) — /"(x) j. 1

Supposons , en second lieu , h — ce. En désignant alors par Il un nombre aussi grand que l’on voudra, on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable, pour que, x étant égal ou supérieur à h , la différence

qui converge vers la limite x, devienne constamment supérieure à //; et, en raisonnant comme ci-dessuç, on établira la formule

Si maintenant on pose h -f- n — x , on trouvera , au lieu de l’équation (2) , la formule suivante

de laquelle ou conclura, en faisant converger x vers la limite oo , ,

La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre H, quelque grand qu’il soit. Cette limite supérieure à tout nombre assignable ne peut être que l’infini positif.

Supposons enfin k = — oo. Pour ramener ce dernier cas au précédent, il suflira d’observer que, la diilérence

ayant pour limite — oo , la suivante

aura pour limite -f oo. On en conclura que la limite de — - — ;

est égale à -f oo , et par suite que celle de — — / est égale à — oo.;

Corollaire. Pour donner une application du théorème précédent , supposons

L étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l’unité. On trouvera

/(x-f i)-f(x)=L(x-f 0-^LCx)=x(. -fl); et par suite

k=zh (i-f^)==L(i) = o.

On peut donc affirmer que, x venant à croître indéfin huent, le rapport

convergera vers la limite zéro-, et il en résulte <fue , dans nn système dont la base est supérieure à f unité , les logarithmes des nombres croissent beaucoup moins rapidement que les nombres eux-mêmes.

Corollaire. Supposons , en second lieu ,

A désignant un nombre supérieur à l’unité. On trouvera /(x+O— f(x) = A*+*— A* = A*(À-i), et par suite

/f = (A — i)A® =oo.

On peut donc affirmer que, x venant à croître indéiiniment , le rapport