SI

converge vers la limite oo ; et il en résulte que t exponentielle A 1 ? lorsque le nombre A surpasse l'unité , Jinit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x.

Corollaire. On doit observer, au reste, qu’il n’y a lieu à chercher par le i Cr théorème la valeur du rapport

correspondante à x rs oo , que dans le cas où la fonction y (x) devient infinie avec la variable x. Si cette fonction restait finie

pour x= oo , le rapport- aurait évidemment zéro pour

JC

limite.

Je passe au théorème qui sert à déterminer dans plusieurs cas la valeur de

pour x = oc. Voici en quoi il consiste :

33Q. a e ïnÉouÈME. Si , la fonction f (|x) étant positive

pour de très grandes valeurs de x , le rapport

converge, tandis que x croit indéfiniment, vers la limite k, l’expression

ywf

convergera en même temps vers la même limite.

Supposons d’abord (pie la quantité k , nécessairement positive , ait une valeur finie, et désignons par t un nombre aussi petit que l’on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger le rapport

/ÜT

vers la limite lt, on pourra donner au nombre h une valeur assez grande pour que, x étant égal ou supérieur à h , le rapport dont il s’agit soit constamment compris entre les limites

Cela posé , si l’on désigne par n un nombre entier quelconque , chacune des quantités

et par suite leur moyenne géométrique, savoir,

rüï+nïf L t\h) j

se trouvera comprise entre les limites k — e, &+ t ; on aura donc

a étnnt une quantité comprise entre les limites — t , t. Soit maintenant

L’équation précédente deviendra

cl l’on en conclura

De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de x, il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier n , sans changer la valeur de h. Supposons, en conséquence , que dans l’équation (5) l’on considère h comme une quantité constante , et x comme une quantité variable qui converge vers lalimitc oo. Les quantités

renfermées dans le second niemîire, convergeront vers la limite t , et le second membre convergera lui-même vers uno limite de la forme

« étant toujours compris entre — « et + t. Par suite , l’expression

aura pour limite une quantité comprise entre h — « et li -f- 1 . Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre «, il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité k. En d’autres termes, on aura

(G). . Jim. Ifix) y = A = lim&±Ù-

Supposons , on second lieu , la quantité /r infinie , c’est-à-dire', puisque cette quantité etft positive , h = oo. En désignant alors par 11 un nombre aussi grand que l’on voudra , on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable pour que , a' étant égal ou supérieur à h , le rapport

qui converge vers la limite oo, devienne constamment supérieur à H ; et , en raisonnant comme ci-dessus, on établira la formule

Si maintenant on pose h -}- n = x , on trouvera, au lieu de l’équation (5) , la formule suivante

i ii

de laquelle on conclura, en faisant converger x vers la limite oo ,

La limite du rapport