L’APPLICATION DE L’ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE
Problèmes déterminés.
q3o. i er Pnoiu.f-.MF.. ~D ÉcoMrosjm en fadeurs linéaires la différence des puissances de deux lignes données.
Prenons l’une de ces lignes pour unité, et représentons l’autre pt»r x , la différence de leurs puissances m Hm,t sera x m — 1 . Nous aurons la formule des facteurs de ce binôme en résolvant 1 'équation x m — 1 — o. • >
Or , on sait qu’il suffit pour cela déposer • ■
cosj’it \/ — x sin^== 1 , parce que I on aura
x = l/7— cos — ± [/ — i si n — ;
y sera déterminé par les deux conditions sin y =o, cos y ~ i ; ce qui donne y = anx , n étant un nombre entier quelconque. Il résultera de là
Pour' en déduire les m valeurs de x , il suffira , quand m sera pair , de faire passer n par les valeurs o, ï , 3, . . | m— î , gt quand m sera impair, de donner à n les valeurso, î , a, — x);
car on fait voir facilement que les rn valeuis correspondantes
J.nir . . / . unie
x = cos zz y — x sin — -
de x seront différentes les unes des autres , et que celles que donneraient les valeurs suivantes do n rentreraient indéfiniment dans les premières.
On parviendrait encore au même résultat en faisant passer n par les m valeurs, o, i, a, , ni — 1, et ne prenant que.le signe supérieur de l/— • i . •
Il suit de là que quand m sera pair, le binôme x m — x sera le produit des facteurs
x — 1 , x — cos y — i sin — ,
25T / . 2 ar
x — cos y — îsin — ,
x — cos — (î m — i } — y — î sin — ({m — i), m . m "
.t — cOs — (-m. — i ) -f- y — i sin — (irn — î), x-f- 1. Lorsque m sera impair, x m — 1 sera le produit des facteurs • ; ( x — i ), (x-*- cos — — l/— -"i sin — ^ ,
(x— cos— 4 - \/~i sin — ) , . . . ,
x — cos y — î sin — — ,
C *- (ni — 1 ) . y . t (m,— i)~]
x — cos (- y — x sin — .
Pour construire géométriquement ce produit au' moyen de facteurs linéaires , on remàrquera que le produit de deux /acteurs conjugués qui ne diflèrent que par le signe de \/ — î est réel, parce que le produit de x — cos a — \/ — i sin a par
x — cos a + Ÿ—i sin a est identiquement égal à
( x — ços a Y + sin 1 a.
D’après cela , l’on aura pour m pair j
2îr' — COS —
)’ +sin, v3-
x — cos
ji
-f- sin a
et pour m impair ,
1 , . . 2*~1 + sm‘- ...
| |^x — cos
j -f- sln*
Or, si l’on décrit du centre O (fig. iaa) un cercle ayant pour rayon l’unité, que l’on prenne une distance OA=xJ et que l’on partage la circonférence en. m parties égales à partir de B , les perpendiculaires MP, NQ, . . ., seront les-sinus des 2ît 4sr
® rCS m ’ m '••••’ et les dlstances OP» OQ, . . seront leurs cosinus. On aura donc
( 2sr\ a . a sr — » i ,
x-cos-) +sin‘- = AP + MP = AM = AMXAM',
/ 4nr\* . /*• 1
V e - “S n) + S ‘ m =AN = AN X AN'; etc
Dans le cas de m pair , le facteur x-f i donnera AC; et dans l’un et l’autre cas, la différence x m — i sera le produit des distances du pojnt A aux m points de division de la circonférence.
a e Problème. Décomposer en fadeurs linéaires, la somme des puissances m" m " de deux lignes données.
Prenant encore l’une des lignes pour unité , et désignant 1 autre par x, il faudra chercher d’abord les racines de l’équation
1 —o, qui donne x= ÿ — j.
faisant
cos y dr \/ — 1 sin^y = — », on en tire
• - . . ( an-f- 1 W . . / . (an + iW
y = (a«4- »)*■ eta?==cos —±.y — 1 srn- — .
Quand m est impair, on donne à n les valeurs successives, o,i,3, . . . , ?(m — î); et l’on déduit de cette formule les m valeurs de x. Il en résulte que x m -\- 1 est le produit des facteurs
■ î sm
(x — co s — — y ' — i
^r— cos^+ }/— i sin “), — >(-r + i).
Quand mest pair, il faut donner à n les valeurs o, î , 2 ., ..., -j m — î , ,et l’on trouve que x m -+-i.cst le produit des facteurs.
(x—cot — — V— ««in — 'j ■ (x— cos — + y — isin— ^
V m mj V, m ni J
(m — l)ir . j . (m — i)ar (m — i)ir . . j . (m — i'»
x — co«.- — *— — ■** y — ism , x— cos'- f-y — un- ,
On construira les facteurs réels du second degré, comme dans le problème précédent, avec cette seule différence que les divisions de la circonférence en m parties égales ne commenceront pas au point B, mais au point qui en serait distant
de l’arc — .
Théorème. Si une circonférence est divisée en m parties égales , et qu’on prenne l’origine des arcs en un point quelconque, la somme des sinus des m arcs terminés à cespoints de divisions sera nulle, ainsi que la fomme de leurs cosinus.
Cette propriété est une conséquence immédiate de ce que le centre du cercle est le centre des moyennes distances des m points de division, et que par conséquent la somme des distances de ces points à tout diamètre est nulle. Mais on peut la déduire de la considération des racines de l’équation binôme a” ~ î o, ainsi que plusieurs autres propriétés remarquables.
On observera pour cela que dans celte équation les termes en x manquant depuis x m , la somme des racines est nulle ainsi que celle de leurs produits deux à deux, trois à trois, . .., m — J à m — 1 j et par conséquent il en est de même de la somme de leurs carrés, de leurs cubes, . . ., jusqu’à leurs puissances (m — inclusivement.
Or les m racines de l’équation x m — i = o se tirent de la formule
: co s
an-r
i sm
2 nx
en donnant n les valeurs successives , o , î , a, m— t ; faisant la somme de toutes ces racines, et égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire, on aura
Q7T 4» 6 7r . (m — i)tt
cos o 4- cos f- cos H- cos — ■ 4- . . . + cos = o ,
, . a*- . . 4 tt 6sr (m— i)t
sino + sin-*- 4- sm — 4- sm f- • • • *r sin = o.
Jusqu’ici la propriété n’est démontrée que pour le cas où l’origine des arcs est l’un des points de division; mais on l’étendra facilement à une origine quelconque, en remarquant que si l’on multiplie toutes les valeurs de x par cos ù -f- \/ — x sin a , leur somme n’en sera pas moins nulle, et tous les arcs se trouveront augmentés de a ; ce qui conduit aux formules générales :
cosa-j-eos^a-j-^- ^-f-cos^a-f— ^ ^4"- . .+cos ^n~ K ^ ^ = o ,
a-}-sin^«4-^^4-sin^a-f-^^ sin^a+^—-i— o.
Théorème. Si Von partage une circonférence en m parties égales , la somme des carrés des cosinus dès arcs terminés à ces m points de divisions , sera égale au carré du rayon multiplié par - m , et il en sera de même de la somme des canés des sinus de ces arcs.
sm
En effet t d’après ce que nous avons vu dans le théorème précédent, la somme des carrés des racines de l’équation x m — i =o est nulle, et le sera encore quaud on les multipliera par une expression quelconque de la forme cos a -f- i sin n; ce qui ne fait qu’augmenter les arcs de a. •
Or, le carré de ,
C0S ( a + ^) + l/:::lsin ( fl + £ S r )’
sc réduit à
°° sl ( a+ iîr) ” sin> ( a+ ^f) + v '~ 1 sîn ( 2a + iSr)
Maintenant, si l’on fait la somme des m valeurs que détermine cçtte formule générale , et que l’on observe que la somme des troisièmes termes est nulle , d’après le théorème précédent > il s’ensuivra d’abord que la somme des carrés des cosinus des arcs en question , est égale à la somme des carrés de leurs sinus. Or, la somme des carrés du sinus et du cosinus d’un même arc, est égale au carré du rayon ou à l’unité , en prenant ce rayon pour unité ; la somme des carrés des sinus et des cosinus des m arcs, est donc égale à m; par conséquent chacune de ces
deux sommes est égale. à - m.
3* Problème. Calculer le rayon d un cercle tangent à trois droites données.
Si nous supposons que les trois droites se coupent deux à deux , il y aura quatre solutions. Considérons d’abord le cercle O inscrit dans le triangle ABC (fig. >23), formé par la rencontre de ces droites; désignons par a , b , c, ses trois côtés, par S sa surface et par R le rayon du cercle inscrit; on aura
S = AOC + BOC 4- BOA — - iR + - oR + - cR;
ou
fl — aS — 2 f p{p — a ) \p —b) \p — c) . • c-+-6-f-c . 1 o.p
Semblablement, on aura pour le centre O*,
S = AaC+ÊO'A.-BO'C = i6R'+icR'~.inR': 1
d’oh ' R' = -J^ s- < /p (p— b ) Cp~) "
On aura de même pour les deux autres cercles O", O*,
R" =\/ P - ^ r p 0 ^ P c ~' by ) et R^^IE^EI)
i er Corollaire. Si Ton multiplie entre 'elles les valeurs de ees quatre rayons, on trouvera • ,
BR'R' R* = p (p — a) (p — b) (j) — r)= S*.
Z^e produit des quatre rayons dès cercles tangens à trois di’oites qui se coupent deux à deux , est donc égal au carré de la surface du triangle déterminé par ces trois droites.
2 e Corollaire. Si l’on suppose que les deux points B, C , restant fixes, ainsi que la direction BA, le point A s’éloigne indéfiniment, les deux droites BA , CA , tendront à devenir parallèles; cherchons ce que devient la formule qui donne le rayon R , quand CA devient parallèle à BA. Menant la perpendiculaire CD à AB et faisant CD=A, BD=«; les quantité» a, h, », B seront constantes. Les variables b, c, s’approcheront de l’infini, mais leur rapport aura l’unité pour limite, car
Or,
fl __ f/ (a-f-6-f-ç) (q-pZ> — c) (q-f-c — b) ( 6-f-c — q)
1/ Tb^—Ja — c)‘ ]7^+Ô^TF|
( 3 io )
Remplaçant A* par sa valeur A* -f- c* — 2 c* -f- «*, il vient
V^( A®— a“ -f- * a — 2cct -f- aac) (a“ — A* — -+- aac -+- 2 c tï) t
Divisant chacun des facteurs sous le radical par c , ainsi que
le dénominateur, puis faisant c infini, et observant que - se ré-
duit à 1, on trouve
R = j \/ (a a — 2«) (aa -f- 2«) = ^ {/a 1 — «*•
Ce qui donne pour R la .moitié de la perpendiculaire AD ; comme on pouvait le prévoir.
4 e Problème. (Fig. 124). Trouver l'expression du rayon du cercle circonscrit, à un triangle ABC , dont les côtés a , h, c sont donnés. \
Soit 11 le rayon dit cercle circonscrit O. Abaissons la perpendicujaire BD à AC, tirons le diamètre BE et joignons EC; les triangles semblables B AD, CBE donneront
BD : c a : aR; d’où R=-
abc
' ab X BD‘
Or A X RD est le double de l’aire du triangle ABC ; donc * abc
diagonales
4 Vplp—u) ( p — b ) ( p — c )
5* Problème. ‘(Fig. 1 25). Trouver les deux d'un quadrilatère inscrit ABCD, en fonction de ses côtés a , b , c , d.
“Désignons par x et y» les diagonales BC, AD; les deux angles B et C étant supplémens l’un de l’autre, leurs cosinus sont égaux et de signes contraires ; on a donc
2 ab
\ 2 cd J ’
d’où
y * (aA-f-crl) —cd (a*-f-b-) + ab (c’-f-d*) — (c b-j-da) (ca+bd),
* / (cb ■+■ da) (ta + bd)
et par suite y —y
ab + cd
Les cosinus des anules A et D donneraient semblablement
J (ab rd) (ôc -f- bd)
X V ad -f- bc
1 " Coroix.viur. En multipliant entre elles ces valeurs de x et y ,-on trouve
xy = ac -f- bd.
Ce qui fait voir que h rèi tan "lé dés di'cg tuiles d'un quadri- 1 (itère inscrit est égal à la somme des rectangles des cotés opposés .
a' Corollaire. En divisant l’une par l’autre les deux mcines expressions, on obtiendra
x ab -f- cd
y ad -j- Æc ’
d’où il résulte que les deux diagonales d‘un quadrilatère ins crit sont entre elles comme les sommas des rectangles des côtés qui partent des extrémités de chacune d'elles.
6' Problème. Etant donnés la surface et le périmètre d'un triangle rectangle , trouver ses trois côtés.
Soient a son périmètre, m* sa surface ,x 1’liypotéouse, ct y, a, les deux autres côtés. On aura . #
x -\-y -f- a —a, yz—Um*, y* -f- s* — x*.
La première équatiou donne
( y-f-s)’=r(« — x)%d’où y I -f-a , =:(rt — x)’ — oyz—(a — x)' — 4 m *. Ou aura donc , eu vertu de la troisième équation
x* — (a — xy — 4m*-, dou x = -a .
Pour trouver y et s, on remarquera qu’on cooaâi leur
• somme a — x ^ , et leur produit xm'-.y et s sont donc
ii.. • . /« i 2 »«*\
racines de 1 équation t ~ — l " T — “ ) t + am’ xzo ;
et par conséquent leurs valeurs sont
7 e Problème. Étant donnés le périmètre et la hauteur d'un triangle rectangle , calculer ses côtés.
Soient, x l’hypoténuse, y et z les deux autres côtés, h la hauteur donnée et a le périmètre. On aura
x-f -y-h z — a, hx=yz, x % = y*-hz % - De la première équation on tire y+z—(a — x); d’où > y 1 -f-a*=(a — x) a — 2yz=(a — x) a — aSx; et en vertu de la troisième il vient
(a---x) a — 2 A jb
x*; d’où
Connaissant x, on en déduira facilement y et z, puisque leur somme est a — x et leur produit hx.
8 e Problème. Étant donnée l'hypoténuse h d’un triangle rectangle , ainsi que la somme a des deux autres côtés x , y , et de la haut eu» z, trouver les inconnues x, y, z.
Les équations qui détermineront les inconnues x, y, z, sont
x-f- y' -h z — a > bz—xy, x a -f-y a = ù a
, La première équation donne
(r+y)* = (a — z )* * d’où x a — ( a — Z Y — üiz.,
et d’après la troisième équation , il vient
(a — zy — 2 bz-=b*-, d’où z. = a-f-ù ±: [/uab + ab’.
H est évident qu’il ne faut prendre que le signe inférieur du radical , puisque la hauteur z est nécessairement plus petite que a -J- b.
• Connaissant z, on déterminera x et y dont on connaîtra la
. somme a — z, et le produit bz ^ de sorte que x et y seront racines de l’équation
— \/ 2 ab-\-ub‘) 1 4-ê“ -f °b — 2ab + 2 b*~o-
Si l’on avait cherché l’équation finale en x , 1 e calcul aurait été beaucoup plus compliqué. On aurait tiré des deux premières
et reportant dans la troisième , on aurait obtenu l’équation x* -f? 2 bx 3 -f- è®x®~ si s (o + b) x b‘ (a® — i®) = o.
Son premier membre se décompose en deux facteurs du second degré, qui , égalés à zéro , donnent
(1) . . .x*-]-(b-{-V' 2 ab-{-ab')x-^-b i -\-ab-+-bV nab-)-ub‘=o ,
(2) . . . x*-f-(è — 2ab-±-'jb‘)x-{-b'‘-i-ab — b y/ aab-\-2b'=o.
Les deux racines de l’équation (î) étant négatives, doivent . être rejetées ; les racines de l’équation (a) expriment les valeurs de x et y , puisque ces deux dernières quantités entrant de la meme manière dans les équations données , auraient conduit à la même équation finale. On voit que l’équation (a) est précisément celle que le premier calcul a fournie.
9* Problème. Connaissant la somme a des deux côtés x , y , de l’angle droit , et la longueur h de la perpendiculaire abaissée du sommet de F angle droit sur F hypoténuse !** , trouver les trois côtés x , y, z. Ou a
(i)...i+y=fl, (2) . . ,xy=.hz , ( 3 ). . .x*-f-y = z\
L>es deux premières équations donnent * ï’+y* — a' — 2 ht.
Egalant les valeurs de x® -f-y% on obtient l’équation finale s® — a® — - a hz ,
qui donne z.= —
car z doit être positif. .
z étant connu , les équations (i) et (a) font voir que x et y seront les racines de l’équation
at hz !e= o.
Si l’on avait cherché l’équation finale en x, on aurait tiré des équations (i) , ( 2 ) , les valeurs
qui, reportées dans (3) , auraient conduit à
• x<— aax 3 -f- (a a — a/i a )x a — 2 ah'x — a a A a = 0 ; équation qui se décompose dans les deux suivantes r
(4) ... x 4 — ax — A* 4 . hl/ÏS-i- £^= 0 ,
(5) ... x a — ax — a 4 — o.
Or, des deux racines de l’équation (5), l’une est négative (puisque le dernier terme est négatif), et l’autre est positive et plus grande que a (puisque la somme des racines est égale an coefficient a); ces deux racines doivent donc être rejetées ; ou ne doit donc prendre que les deux racines de l’équation ( 4 ) , elles font connaître a la fois x et^y , puisque ces inconnues entrent de lf même maniéré dans les équations primitives. On voit que cette équation est la même que celle eu t qu’avait donnée le premier calcul.
io* Problème. Trouver les trois côtés d’un triangle, rectangle, connaissait la somme a de ces côtés , et la somme b de la hauteur et de l'hypoténuse. ....
Soient, x l’hypoténuse , y et z les deux autres côtés , et h la hauteur , on aura les équations
x-{-y-t-z=a, x h ■== b , hx^rzyz, y‘-j-z‘z= x\
La i r * et la 3* donnent
yf -f- — C 3 •*“ x )‘ *hx >
d’où , au moyen de la 4° > on tire
• (a — x)*— ahx~x % , ■ ou a* — 2 ax — uhx — o; équation qui, jointe à la 2 e , donne
x=ï(a4-6±; \/ b* -\-uab — û 1 ) , h=i{b—;a± ^ b‘-^-aab — a“)-
Mais b étant nécessairement plus petit que a , le radical ne saurait être pris avec le signe supérieur , parce qu’alors h serait négatif chacune des inconnues x, h , n’a donc qu’une seule valeur. Quant à y et z , on connaît leur somme a — x et leur produit Hx ; ils sont donc racines d’une équation du second degré dont les coefficiens sont connus ; on aura donc deux valeurs pour chacune de ces inconnues; mais comme elles entrent symétriquement dans les équations , cette équation du second degré aura .y et a pour racines, et le problème ne sera susceptible que d’une seule solution.
Si l’on avait cherché l’équation finale en y ou enz,on l’eût trouvée du quatrième degré, et on l’eût ramenée au second, comme dans les problèmes précédens.
1 i e Problème. Etant donnés, le périmètre , l’angle A et la surface d’un triangle, déterminer ses cotés."'
‘Soient x et y les deux côtés qui comprennent' l’angle A, et s le troisième côté ; désignons par a le périmètre , efr par ô* la surface du triangle; les conditions données fournissent les équations » -
X +y + z = a, cosA== , xysinA = aû a .
Reportant dans la a' équation la valeur de xy tirée de la 3* on parvient à
T - / s f si„ A ’
La 1” équation , combinéè avec la dernière, donne
+ y* = (a - z)> - axy =( a *). 4*1.
sin A.
Egalant ces deux valeurs do x* -f y* , on trouve
z—ja— — (L± c .°lA\ a \ sin A /
Or, sin A, = a sin ^ A cos j A, cosA = acos^A — 1
donc
Donc
1 4 - co s A
sin A
2 cos* i A 2 sin A cos j A
= coti A.
z — ~ — — cot ~ A.
On en déduira facilement les inconnues x et y, car on connaît leur somme a — z et leur produit .
sin A'
1 a* Pbobi.kmi:. (fig. 12S). Dans un angle donné XAY, mener une droite minimum MN, telle y que U triangle AMN soit egat a une surjace donnée m*. 0
Soient on aura
MN = z, AM = x, AN=ji; — x ' a +Y a — 2 4 y cos a.
L’aire AMN ayant pour mesure ^xysinA, et devant être egadt a m* , il s’ensuivra
4m* cos A
sin A
xysinÀ = 2/n*, d’où z* = x*-f-y>
Tour trouver le minimum de z*, on égalera à zéro sa dérivée, et remarquant que la dérivée du produit constant xv < oit aussi être nulle , on aura les deux équations suivantes, dans, lesquelles x est la variable indépendante .
d’où
y + xy' = o, 2 x-f 2 j/=o; y = et par suite ax — ~ = o
par suite ax — — =0:
ce qui donne x'~y % ,. ou xz=y\
car, le produit xy étant positif, r ety doivent être de mêmes signes.
L’équation . xy sin A = 2 m* devient
x 1 sin A = 2m* ,
d r où
i 3 " Problème. ( Fief. 127). Etant donnés un angle OBV, et un point A sur le côté OB, inscrire dans cet angle une droite MN <T une longueur donnée , de telle sorte que l'angle MN A soit égal à OBV.
Soient MN = o, AB = b, BN=x.
Les deux triangles semblables , BAN, AMN, donnent"
x l a t: b ; AN ; d’où Mais on a d’ailleurs
AN=AB-j-BN — 2ABxBNcosB, ou AN=ù s -f-x’— 2 ÙxcosB; a’è*
donc ». — = ù* 4- x* — 2 bx cos B ; d’où
x* — 2ÙX 3 cos B -(- ù*x* — a*ù* = o.
Cette dernière équation fournit toujours une valeur réelle positive de x.
i 4 * Problème. ( Fig. 128). Trouver les côtés x, y, z d’un triangle , sachant que ces côtés et la hauteur h du triangle forment la progression arithmétique
Cette progression donne
(1) ... ay=x 4 -î| 2s =y~l~h.
Or, AD = \/x' — h\ BD =s >/ y' — A», AD + BD = x ;
donc
Une des inconnues x,y,z/h reste arbitraire, car on n’a que les trois équations (1) et (2) , entre ces quatre inconnues.
Les équations (1) donnent
y — as — A , x = 3 s — 2 A. ,
Reportant ces valeurs dans l’équation (2) , elle devient
V/ ( 3 s — uhy — A* -f- (as — A)* — A' 1 = z.
Si l’on fait successivement disparaître les radicaux , on trouvera .
9/1 3 — 48 zA» -f- S 8s* A — 48 s 3 =41.
Cdtte équation renfermant deux inconnues s , A , on peut assigner des valeurs arbitraires à l’une de Ces inconnues ; l’autre inconnue dépendra d’uné équation du troisième degré , qui aura toujours une racine réelle positive. Le problème admet donc toujours une infinité'de solutions.
i 5 ® Problème. ( Fig. 1 29). Etant données la base AB d’un triangle ABC , et une droite MN sur laquelle se trouve le sommet inconnu C; sachant de plus que la base est moyenne (irithrpétique entre les dexlx autres côtés , résoudre le triangle.
Concevez la perpendiculaire CD à AB ; soient F le milieu de AB, et E le point où AB prolongé rencontre MN. Faisons
AB = a, TE — b, BC — AB=x.
Nous aurons BC = a x , et AC — a — x,
puisque a est moyenne arithmétique entre CB et AC. Mais .
, ’ ^ âb + bc — ÂC , «
BD= rr-r =2X + -;
, • 2 AB ‘a’
donc • ■ f
FD = ax, DE = b — ax, CD =V CB~ DB *= }/ J n* — 3 > * Or CD = DE X tang E.
Substituant dans cette dernière équation les valeurs précédentes de DE et de CD , iï vient
V\ — 3x* = (b — 2 x) tang E.
Elevant au carré, et faisant tang E = m, on trouve
(i) ... (4m*-f-3)x* — fbm'x + (m'i* — |a*)=o; ce qui donne
2 bm* ± l/f a a 4- 3m*a* — 3m*.ù“
Pour que x soit réel, il suffit et il faut que
4 o? ~h 3 ni 1 a* — - 3 m*i* ne soit pas négatif.
Quand m*i* > £ <z“, les deux racines de l’équation (î) sont positives, et le problème admet deux solutions.
Lorsque ro’Z>* = f a* , une des valeurs d’x est nulle , et détermine pour ABC un triangle équilatéral. ' *
Enfin , quand m'b* < | a* , l’équat ion ( î ) n’ayant qu’une senle racine positive, il n’y a qu’une solution.
iS e Phoblkme. {Fig. i3o). Etant donnés les angles , le périmètre et la surface d'un trapèze ABCD , trouver ses côtés.
Soient, a le périmètre , et ù* la surface du trapèze ; désignons AB par x et BC par y> nous aurons
CE ly :: sin B C sin E r et BE l y sin C I sin E ;
d’où , en représentant par m et n les rapports connus de ees sinus , CE = my , BE = ny.
Désignant de même par ’p et q les rapports connus de AD à EA et de ED à E A , et remarquant que AE = x -f- ny , on aura *
AD = p(x-f-ny), DE = q(x-f-ny) , CD= q(x+ny) — my.
Faisant la somme des quatre côtés du trapèze, l’égalant à a , et posant
+ i + pn-j-qn — m = S,
on parvient à
( 3 so ) a.v -4- Cy = a-
De plus , les triangles EAD , EBC , ayant leurs angles donnés, il est facile de construire un triangle qui leur soit semblable, et d’en déduire le rapport qui existe entre l’un quelconque d’entre eux, et le carné d’un de ses côtés. On peut donc regarder
comme connu le rapport r de EBC à BC , et le rapport s de EAD à AEj ce qui conduit à
£BG^= r X BC = ry * , EAD =j X AE = x(x-f-nj')*,
La surface du trapèze étant la différence de ces deux triangles et étant égale à b * , il en résulte l’équation
(x‘4-2rcxy-|-ny).s — ry x =b', ou (n's — r)y t -^unsxy-\-sx % =b x ,
qui , jointe à «x + Çy — a , déterminera les valeurs de x et y.
17* Problème. ( Fig. i 3 i). Par un point B donné sur la ligne qui divise l’angle droit Y'AX en deux parties égales , mener une droite BMN telle , que la partie interceptée entre ces droites soit d’une longueur donnée sa.
Soit x la distance du point B au milieu de MN , et b la perpendiculaire abaissée de B sur AY' ; les deux parallèles AM , BC donnent
AM : BC : BN, ou AM : 6 :: 2a : x+a%
an : ac :: mn : bm, ou an : b :: sa : x — a.
De plus , AM -f- AN = MN = 4 a*.
Remplaçant AM et AN par leurs valeurs , déduites des deux proportions , on parvient à l’équation
qui donhe , en rejetant les valeurs négatives de x ,
• x = Vu* -f b 1 ±. y' b* + 4 a*6‘-
( 3at )
Ces deux valeurs de x seront réelles si l’on a û» 4 .&»>V/M+ 4 o‘/> g , ou
c’est-à-dire, si la ligne donnée 2 a est plus grande que la perpendiculaire KH menée à AB par le point B, et terminée aux côtés de l’angle Y AX. Quand cette condition est remplie , il y a quatre solutions, dont deux sont comprises dans l’angle T'AX , et les deux autres dans chacun des angles droits adjaeens. Lorsque <1*= 2 b % , les deux premières solutions se réduisent à une seule. Quand a* < a à*-, il n’y a que les deiix solutions comprises dans l’angle YAX et son opposé au sommet.
Connaissant x , on construira AM ou BM , et on en déduira immédiatement la direction BN.
Le problème se résoudrait de la même manière si l’angle donné n’était pas droit.
18 e Prohlème. {Fig. i 3 a). Mener par deux points donnés A, B, un cercle tangent à un cercle donné F.
Soit C le centre du cercle cherché , et E le point de contact ; abaissons sur la droite indéfinie AB les perpendiculaires CD , FG; menons FK parallèle à AB, et prolongeons DC jusqu’à sa rencontre H avec FK. Faisons
AB — 2a, Fil— b, FG = c, EF = d, CD = x; nous aurons
CH = c — x , CF*= FH + CÎïW-Kc- x)*.
Mais les cercles se touchant extérieurement en E , on a CF= d + CE= d + CB == d +
Donc h»+( c — x)*c=a' + x' + d*+2d\/'â r -\-x*- } d’où zd \/ a* + x* = b* + e* — a* — d 1 — 2 ex.
Elevant les deux membres au carré , et faisant
+ — a 8 — d' — Zrn*, il vient
(d 4 — c 4 )x 4 + am’cx -f- a“d* — mt — o ;
— m*e db l/ m*d* n’c s <f* — d'a* d À — c*
Mais sî l’on avait considéré un cercle tangent , dans l’intérieur duquel se serait trouvé le cercle F , il n’y aurait eu de différence qu’en ce que l’on aurait eu
CF = CB — d, au lieu de CF=CB+<ij
et comme d n’entre dans x qu’au second degré , il s’ensuit que ces deux valeurs de x conviennent l’une au contact intérieur , l’autre au contact extérieur.
Les élèves discuteront cette formule , et reconnaîtront facilement dans quel cas elle est réelle ou imaginaire j positive ou négative , et quelles sont les circonstances géométriques correspondantes.
19 ® Probllke. ( Fig. i33). Etant donné un point Itimi*
’ veux A, doit partent des rayons divergeas, qui viennent frapper une surface sphérique réfringente \'B , dont le centre est C, trouver le point où chaque rayon lumineux réfracté rencontre le diamètre de la sphère qui passe par le point lumineux.
La réfraction est la déviation que subit un rayon de lumière en passant d’un milieu dans un autre. On sait que le rayon incident et le rayon réfracté sont dans un même plan avec la normale menée au point où ils rencontrent la surface qui sépare les deux milieux , et que les sinus des angles qu’ils font avec cette normale sont dans un rapport constant , quelle que soit l’inclinaison du rayon incident sur la surface.
Cela posé , soit AB un rayon incident , qui se réfracte suivant BD. Abaissons BG , CE, CF, perpendiculaires sur les directions AD , AB , BD.
Si l’on fait AC — a, BC = r , CG = d , CD = z , on aura
AG ~ a — d , B& = Ÿ'r‘—d*,
AB =l/(a — d)* r 1 —~d* = \/qF— zad + r 3 .
Or,
On en déduit
CE RG CF I$G CA — AB Ct CD ~ BD’
^ ~ Vr* — d 2 + JdT+1 y ~~ l/zJ-h 2 dz -fT* ’
et , comme on connaît le rapport des sinus des angles d’incidence et de réfraction , on peut poser
CE a
CF f*
cc qui donnera, en substituant les valeurs de CE et de CF,
af{/ r 2 — d 2 az\/ r ‘ — d 2
\/ a‘ — aad -f- r 3 * y' * a adz. -f- r 2
Supprimant le facteur commun a ^/r“ — d *, et' élevant le résultat au carré , il vient
( i ) . . .f 2 (z 2 + sdz. ■+-r*) = z‘ (a*— a ad -J- r*).
Faisant a a — üad -f- r 2 — f* — m a , l’équation (î) donne
ty* ± Vd'f* -f m a rf).
On connaîtra donc z ou CD ; ce qui résout le problème.
at . .
