EK
J oy
Supposant ensuite
On en déduit 4 BR X B'K' =
Corollaire. Si l’on mène une autre tangente quelconque H'NH , et qu’on joigne H'R , R'H, ces deux droites se rencontreront sur le prolongement du diamètre B'B. En effet, d’après le tliçorème précédent , on a
BR x B'K' = BH X B'H‘ , d’où BR : BH : : B'H' : B'K'.
Il s’ensuit que les trois droites B'B , H'R , R'H , concourent en un même point.
io e Problème. Trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point donné sur toutes les tangentes menées à une courbe donnée.
Soient, F(x?,y') = o l’équation de la courjae , « et S. les
x = — a, on trouve
ay
V{al-a'x’') ( a'b'-b'xf' S
. ay ” 1 \ a*y* J
Coordonnées du point donné, et x , y' celles d’un point quelconque de la courbe ; la tangente en ce- point aura pour équation
et l’on aura en même temps F (x', y) = o. . , . "
La perpendiculaire abaissée du point donné sera déterminée par l'équation
et on obtiendra l’^uation dulieu cherché en éliminant x', y' entre ces trois équations. On pourra substituer à la première, celle que l’on obtient en la multipliant par la dernière, et qui est
iy—y'S (y—O = — (x— x') (x — «);
équation généralement plus simple que la première.
Si l’on exécute ce calcul pour les courbes du second degré i en prenant le foyer pour le point constant, on trouvera dans le cas de l’ellipse, le cercle décrit sur son grand axe comme diamètre ; dans le cas de l’hyperbole, le cercle décrit sur son axe réel (*); et enfin pour la parabole, la tangente à l’extrémité de son axe. , .
Si l’on considérait un cercle , et que le point donné fût pris sur sa circonférence, le lieu serait une courbe fermée, du quatrième degré, qui passerait par les deux extrémités du diamètre mené par le point donné , et aurait en ce dernier point un rebroussement du premier genre, tangentiellement à ce diamètre.
, 11 * Problème. {Fig- i46). Soient B et C deux points donnés , et M un point quelconque d’une courbe IIS donnée. On tire des droites BN , CN , respectivement perpendiculaires aux droites BM, CM, et qui se coupent en un point N. Il s’agit de trouver la courbe formée par les points N , qui correspondent aux dijferens points de la courbe RS.
(*) Par axe réel, on entend celui des deux axes rectangulaires conjugues qui coupc la courbe.
Prenons CBX pour axe des x , et pour axe des y la perpendiculaire AT à CX , menée par le milieu A de BC. Désignons fmr x , y , les coordonnées de M , par x , y , celles de N , et fa isons BC = aa. .
On aura , à cause des angles droits en C et B ,
CM + CN*= MB*-*- BN d’où CM’— BM*= BN — CN.
r ft »
Or, ces différences sont respectivement égales à CP— PB, et à BQ’ — CQ ; donc, les points P et Q sont à égales distances des extrémités.B et C.
Cela posé , on aura d’abord x = — x .
Ensuite, les triangles semblables CNQ, CMP, donneront
cq:— /:: y:CP, ou a+ x':~ y' ::y: a + x/.
et comme a: s= — x ' , la dernière proportion conduira à
Connaissant ainsi x et^ en fonction de x' et de y' , on les reportera dans l’équation de la courbe que doit décrire le point M, ce qui fournira J’équation du lieu des points N-
i°. Lorsque la courbe donnée est le cercle décrit sur CB comme diamètre, on trouve, pour le lieu cherché, le même cercle ; car alors on a x a -J-y = a*. Substituant les valeurs de x et y , en x , y', U vient
Divisant par x ,a — a’ , on retrouve '
fl°. Quand le point M décrit une courbe quelconque du second degré , le point N en décrit généralement une du quatrième degré , qui peut', dans certains cas , se réduire au troi sième ou au second , ou même au premier degré. Eu effet , soit
(')••• *y" + >c , +<iy-j-sx-i-9=o,
sera
l’équation de la oourbo donnée; telle du lieu cherché
«(x 4 — a 4 ) 4 — Cxy(x 4 — ü 4 )+>,xy +<ty(x 4 — n)— « cy 4 -f6y = o.
Cette équation est généralement du quatrième degré. Cela posé • i°. Si <t = o, on pourra diviser tous les termes par y, et l’on aura une équation du troisième degré.
a 0 . Si la courbe donnée passe par les deux points donnés, il faudra qu’en y faisant y» = o , on trouve x= ± a ; ce qui exige que £ = o et ô= — y a'. Divisant alors l’équation du lieu par x 4 — a ' , elle se réduit à
et représente une courbe du même genre que la proposée, puisque ce genre est déterminé pour chaque courbe par le signe de la meme expression ff 4 — 4 tty.
Le lieu cherché ne pourra donc se réduire à une ou deux lignes droites, que dans le cas où la proposée sera une parabole ou une hyperbole.
Dans le premier cas, G 2 = 4 a ?i l’équation (a) donne
y ** “r - aWx + + 4 *ya ,
et représente deux droites parallèles.
Lorsque £ = o, on a a.y = o; et supposant <* = o, il vient
y — ~~ r v — ^ » ce < l ul donne y =o et y = — -.
Comparons ces résultats avec la position de la courbe donnée. Son équation , en vertu des hypothèses ei= o, G=o, i r=o , 8 = — ya 2 , se réduit à
yx 2 + Sy — y a 2 = o, ou à x 4 -f»-y — a*=o.
équation qui représente une parabole dont le paramètre est
- , dont Taxe est la droite AY , et dont Iç sommet a pour
ordonnée — t~.
Or, la première équation y—o du lieu cherché, représente l’axe des x ; ce lieu s’obtient lorsque les deux droites mobiles qui se rencontrent sur la parabole, sont parallèles à son axe, auquel cas elles rencontrent la parabole à l’infini; leurs perpendiculaires respectives se confondent avec l’axe des X dont tous les points appartiendront au lieu cherché , puisqu’ils seront à la fois sur ces deux dernières droites. Négligeant cette solution, qui est fournie par une seule position des droites mobiles ,
il restera le lieu de l’équation y = — - , qui est une parallèle
à l’axe des x , placée , par rapporta l’origine, du côté opposé . au sommet de la parabole, et à une distance de l'origine, égale au paramètre. *
On pourra discuter semblablement les circonstances que présenteront les diverses hypothèses qui peuvent être faites dans le cas que nous venons de traiter, où l’on a = 4 <ty.
Lorsqu’on a C* — 4ay. o , la courbe donnée est une hyperbole , et son équation devient , d’après l’hypothèse qu’elle passe par les deux points donnés ,
-, •• (3). . . *y* + Cyx + — ya*=o.
*Si l’on avait cl ±= o , l’équation (a) deviendrait
Sx y +yy'+ty=o>
et se décomposerait en y = o et Çx ■+■ yy -f- ï = o;
L’équation (3) se réduit alors à
Gyx -f- ty — ya * = o,
et l’hyperbole qu’elle représente , a une asymptote parallèle à l’axe des y. Les deux droites mobiles peuvent donc encore devenir parallèles à J’axe des y , sans cesser de se rencontrer sur la courbe , et leurs perpendiculaires se confondent avec l’axe
des x, qui fait alors partie du lieu, et est relatif à l’équation y — o. Quant à la seconde équation , Gx -f- >y-+- <J“ = o , elle représente une autre droite qui correspond à toutes les positions des droites mobiles non parallèles à l’axe des y.
On pourra chercher , d’une manière générale , tous les cas ou 1 équation (a) se réduit à une ou deux, équations du premier degré, en supposant toujours £* — 4 *y j> o.
ia® PnoEiinE. {.Fig. 147). On donne deux droites rectangulaires VY", Y Y', et une longueur AD=ao; un angle droit DEF, dont le coté EF est égal à a a, se meut de manière que son coté perpendiculaire à EF, passe constamment par I), et qio le point F glisse sur ÀV. On demande le lieu décrit par U milieu M de EF.'
Soit II le milieu de AD; menons I1X parallèle à AV, et' prenons pour axes des x et y les droites 11X, 11Y. Désignons par x et y les coordonnées IIP , MP , du milieu M de EF ; les triangles semblables M1F, K El , douucnt ,
IF : IM -J- MF ; : EF : RE -j- EF ,
ou v/a‘ — (y — a)-', y :: aa: AFj car K.E + KF = AF-
Or, AF = x -f s/cd — (y— a)'.
Egalant les deux râleurs de AF, on trouve que F équation du lieu cherché est *
y* = x a {aay —y *) , ou y = ( 2 a — y)x*;
car y=o ne peut convenir à la question. '
Il est facile de reconnaître que cette courbe est ■Symétrique par rapport à l’axe dos y* , qu’elle passe par l’origine, et qu’elle a une asymptote dont l’équation est y =2a. Cette courbe est la cissoïde de Dioclès. 1 .
i3* Problème. ( Fig. 148). Par quatre points M , N , P, Q > donnés dans un même plan, on fait passer une infinité de courbes du second degré , et dans chacune d'elles on mène le diamètre des cordes parallèles à une droite fixe cré ant pour
= nx. On pro/tose de démontrer que tous ces diamètres se coupent ert un même point , et de déterminer ensuite le lieu de ces points quand n prend toutes les valeurs possibles.
Prenons pour axes des x et y, les deux droites AQPX, AMNY , et faisons
ÀM = », AN = £ , AQ = «, AP = a.'.
L'équation de la courbe du second degré devra être telle, qu’en y faisant x=o, les valeurs correspondantes dey soient CetC'j elle devra donc être de la forme
y * + nixy + ax* — (C -+• £)y-\-bx-\-C£ = o.
Mais en faisant y—o, on doit trouver pour x les valeurs a , *' ; on a donc .
m restant arbitraire.
D’après la théorie des diamètres des courbes du second degré, l’équation du diamètre des cordes par allèles h la droite y = nx, sera 1
Or, on satisfera à cette équation, quel que soit m , en posant
L’équation d’une courbe quelconque du second degré passant par les quatre points donnés sera donc
m Çy+/tx) -f 2 ny+^ x — (C + C')»» — (* + «) = 0 .
Les valeurs de x et .y tirées de ces deux équations seront les coordonnées d’un point qui appartiendra à la fois à tous les diamètres. 11 est donc prouvé que tous ces ‘diamètres passent par un même point.
Sî maintenant oft veut connaître le lieu des points .qu'on obtiendra de la sorte , en faisant passer n par toutes les valeurs possibles, il suffira d’éliminer n entre les équations (i), ce qui donnera
2 Î 6 ' a . -1 — üa.a y u -f- eut (C-j-C) y — ÇC (a. -f- <*') x = o.
Il est facile de reconnaître que cette courl>e passe par l’origine A j que les droites AX, AY,éont parallèles à un de ses systèmes de diamètres conjugués, et que son centre a pour coordonnées
*=4(*+*V y=lv+C).
Mais comme on aurait été conduit aux mêmes calculs en prenant pour axes des coordonnées Iqs deux autres droites PNA', QMA', on en conclura que lacourbe cherchée passe par le point A’ , et que ces deux dernières droites sont parallèles à un système de diamètres conjugués.
De plus, si on fait
A'N —a, AT=a' , A'M = b , A'Q = b',
on verra facilement que , par rapport à ces nouveaux axes, on aurait trouvé pour les coordonnées du centre
Si on construit ce point d’après le premier système d’axes, on reconnaîtra aisément, d’après les valeurs de ses coordonnées, qu’il est le milieu de la droite qui joint les milieux des côtés opposés MX, PQ. D’après le second système, ce point se trouvera au milieu de la droite qui joint les milieux des deux autres côtés 3NP, MQ; ce qui prouverait , si on ne le savait pas d’avance, que dans tout quadrilatère 1 plan , les droites qui joignent les milieux des côtés opposés se coupent en leur milieu.
Remabque. Pour une valeur donnée de n, il est facile de construire le point d<? rencontre de tous les diamètres des courbes du second degré correspondantes aux diverses valeurs.
Dioitizc
JOglc
de m ; car ce point est, comme nous Tarons vu, sur la droite, dont l'équation est'y -f- «x = o, et on le construira en menant par l’origine A une parallèle AV à la droite donnée y = nx, puis d’un de ses points menant VK.V' parallèle à AY, et prenant KV'=KV , la droite AV' sera celle que représentera l’équation y -f- nx — o.
Faisant une construction analogue relativement au point A' et aux deux droites A'P, A 'Q , on aura une seconde droite, qui, par son. intersection avec AV', déterminera le point cherché.
Si l’on avait a! — a et C'= G, les courbes variables seraient tangentes au deux droites AX , AY , aux points coustans M , Q , et l’équation du lieu deviendrait
C*X* — «y -J- et a Sy — C*ctX= O.
Si les quatre points M, N, P, Q étaient sur un même cercle , on aurait a* = SC, et l’équation du lieu demandé se réduirait à
ax* — + — (*+«') x = o.
i4 e Problème. {Fig. i4g). Par un point donné B, on mène une droite quelconque qui coupe une ellipse donnée en deux points M et K; on détermine un point P sur cette sécante , de manière que ion ait PM ; PN y. BM BN. Il s'agit de trouver le lieu des points P ainsi construits.
Soit l’équation de l’ellipse a*y % •+■ i’x*= a. % b'.
Transportant l’origine au point B , et désignant ses coordonnées par a , C , l’équation de l’ellipse sera
et l’équation de la sécante BMN sera y — mx. .
Les parties de la droite BN étant entre elles comme leurs projections sur AX , si l’on désigne par x , x', x" , les abeisses des points P, M , N , on aura
ÜX X
X mmm X 0 X X 0 % 3* 0 x » d ou (0 • • • >’■ ’ / . * H •
Or, on aura l’équation qui a pour racines x' et x", en éliminant y entre l’équation de l’eïlipse et celle de la sécante ; ce qui
donnera , .
(a‘m“ ■+■ i*) x* aVfm + AVjx + fl^ 1 + b'a. % — a*b* = o.
Mais , on sait que dans toute équation du second degré , le rapport du produit des racines à leur somme, s’obtient en divisant le dernier terme par le coefficient du second pris en signe contraire. La valeur (i)dex deviendra
Remplaçant m par on aura enfin pour l’équation du lieu
cherché , • - *• .
a?Zy -j. b'ttx = db * — *'b — <» o .
Ce lieu est donc une ligne droite.
Reportant l’origine au centre , l’équation du lieu devient
équation qui représente la droite qui passe par les deux points de contact des tangentes menées a l’ellipse par le point donne B, lorsque ce point est extérieur à la courbe.
On fera le calcul de la même manière pour la parabole et l’hyperbole , et l’on parviendra à des résultats analogues.
Ï5 e Problème. (Fig i5o). On donne un quadrilatère quelconque BADC ) d'un point M , on mène des droites MP, MQ , MR, MS, parallèles à des droites données et terminées respectivement aux quatre droites qui forment le quadrilatère. On demande le lieu des points M , tels que
MR X MQ : MP x MS :: m : ».
êr » '. # . t
Prenons les côtés AB, AD, pour axes des coordonnées x ,y\ faisons A B = a , AD = h , et désignons par »,S, les coordonnées du point C.
Nous commencerons par faire observer que si par le point M on mène MEF et GM1I parallèles aux axes, le rapport de MEXMF à MG X MH sera connu puisque l’on donne celui
