ME MF

de MR X MQ à MP X MS , et que les rapports gg, »

MO WH .

MP ’ MS’ SOnt connus * comme etant ega»* » des rapports desinus d’angles donnés. Représentons le rapport des deux nouveaux produits par

Cela posé , l’équation de la droite BC sera celle de CD sera

Désignant par y et a/ les coordonnées du point M , on aura MF = y’, MG=x' ;

et d’après les équations des droites BC , CD , on trouvera ME=/-a + (l=i)*', HM =b-a'+(±=±y.

D’où l’on tirera , toute réduction faite ,

n '*y *- f Ttt'Sx* -f- [(a — C)n'-f-( b — a.)m'~\xy — nany — m'/>Cx~o.

Le lieu clierché est donc une courho du second degré. On reconnaîtra facilement qu’elle passe par les quatre points donnés A, B, C, D. ' - .ï .

i er CoBOiiAiBE. Réciproquement, toute courbe du second degré jouit de la propriété , que si l’on prend sur elle quatre points quelconques , et que d’un autre quelconque de ses points oifc mène quatre droites de directions constantes et terminées aux cotés du quadrilatère inscrit , le produit des deux lignes menées à deux côtés opposés sera dans un rapport constant avec celui des deux lignes menées aux deux autres côtés. En effet , si pour ce quadrilatère on résout le problème précédent

d’après un rapport arbitraire —, on obtiendra une courbe du

second degré qui passera nécessairement par les quatre sommets

du quadrilatère. Supposant ensuite ^ , égal au rapport que

fourniraient les produits des droites menées d’un point delà courbe donnée aux quatre côtés de ce quadrilatère , le lieu dont nous venons de parler passera par ce cinquième point de la courbe, et par conséquent coïncidera avec elle. Celle-ci jouit donc de la propriété annoncée, que le rapport indiqué est constant pour tous ses points.

a' Coboixaibb. Cette relation ayant lieu , quelque petits que soient les côtés du quadrilatère, aura encore lieu quand deux côtés opposés deviendront nuis. Dans ce cas , leurs directions seront tangentes à la courbe , et les deux autres côtés se confondront avec la droite qui joint les points de contact.

Si, dans ce même cas, on suppose que les droites menées par les divers points de la courbe soient toutes parallèles à une même droite, il en résultera que pour tous les points P de la

courbe (/tg. l 5») , le rapport de PQ à PR X PS sera constant.

Transformation particulière des lieux géométriques .

La transformation dont nous allons nous occuper est tirée du livre des Principes de Newton. Son but est de changer des figures en d’autres plus commodes à traiter , et telles que l’on puisse facilement repasser des résultats qu’elles fourniront à ceux qui conviennent aux données primitives.

Si l’on désigne par x et y les coordonnées d’un point du premier système , et par x', ÿ, celles du correspondant du système transformé , les relations au moyen desquelles on lie ces deux points sont, en désignant par m et n deux constantes arbitraires ,

mn -, , — - ; d ou

mn

mx

D’après cela , soit une équation quelconque

L’équation de la courbe transformée sera

„ (mn mx'\

F Sy t> 0>

et si l’on désigne par $(x',y )=o, une équation quelconque du second système, la correspondante du premier sera

n y pin\ x ’ £ )

On remarquera d’abord que les points d’intersection de deux lignes de l’un des systèmes ont pour cor respon dans dans le second les points de rencontre des lignes correspondantes. 11 suit de là que si deux ppints d’intersection se confondent dans l’un des systèmes, les correspondons se confondront dans l’autre ; de sorte que deux lignes tangentes l’une à l’autre en un point auront pour, correspondantes des lignes tangentes au point homologue.

On observera de plus que le degré des équations ne sera point altéré par cette transformation. Car soit une équation du degré « + C ,

Ax*y- C -+- + V:

La substitution des valeurs précédentes de x et y donnera une équation dont tous les termes seront de dimensions milles ou négatives. Multipliant par y * + c , tous les dénominateurs disparaîtront , et il en résultera une équation du degré * if. C en x' et y'. »

Par cette transformation , on peut changer un système de droites qui concourent en un même point, en un système de droites parallèles. Prenons l’axe des y' passant par leur point de concours , l’équation générale de ces droites sera y = ax + à, b étant constant Transformant , il vient

mx’ amn , , » ,

~t~ — — r — M ou mx = amn -f- by ,

équation qui , quand on fait varier a , représente des droites parallèles , puisque met b sont constans.

Appliquons cette considération à la solution du problème du

n° 9 (page 335 ) ; soit M (Jig. l5a ) le- point par lequel on mène les sécantes ; prenons pour axe des y» le diamètre mené par ce point, et pour axe des x une parallèle à ses cordes menée par le même point , l’équation de la courbe donnée sera de la forme y* + ai* + by + c = o.

Celle d’une sécante quelconque, menée par l’origine sera y = px. Tranformant ces deux équations, elles deviennent

cÿ % -f- bmx'ÿ -f- m 4 x'* -f- am?n a — O, x’ =x pn.

Or , toutes les sécantes étant alors parallèles à l’axe des y , puisque leur équation générale est x'=pn, le lieu cherché sera le diamètre même de ces cordes , et aura pour équation

fley' -f- bmx' = o.

Pour avoir l’équation correspondante dans le système proi , , nv mrt

pose, remplaçons x et y par ~ et — , pous aurons pour l’équation du lieu cherché

a cmn , bmn y 2 c

cette équation représente une parallèle à l’axe des x , et par

conséquent au conjugué du diamètre mené par le point donné M.

Lorsque le point M est extérieur, il est facile de voir que cette droite est celle qui joindrait les deux points de contact des tangentes menées par le point M à la courbe donnée. Car l’équation générale d’une tangente au point «, Z , de la courbe est

aZy + 2C«x-f- 5(y + f )4-ac = o,

et pôur qu’elle passe par l’origine il faut que bZ -f- ac = o; ce qui montre que les deux points de contact sont sur la droite dont l’équation est by •+> 2 c = o.

On pourra appliquer avec avantage ce genre de transformation à un grand nombre de problèmes.