AUX LIEUX DANS L’ESPACE
t* 1 Problème. Trou r e r t équation générale des surfaces cortiques.
Une surface conique est celle qu’engendre une droite indéfinie qui passe par un point fixe nommé centre , et s’appuie constamment sur une courbe donnée , nommée directrice. Soient m, C, y y les coordonnées du centre du cône, et
les équations de la directrice; les équations d’une génératrice quelconque, seront de la forme
Pour exprimer qu’elle rencontre la courbe donnée, on éliminera x , y , z , entre ses deux équations et celles de ta courbe , et il en résultera une équation de condition entre m, n, que je représente par
Reportant dans cette dernière , au lieu de m et n , leurs valeurs tirées des équations de la droite, on aura pour l’équation du lieu cherché
Réciproquement , quelle que soit la forme de 1» fonction $ , l'équation (i) est celle d’une surface conique dont le centre a
qx>ur coordonnées <t,C , y. Car soient x',y' ,z', les coordonnées d’un quelconque des points de la surface (i), on aura
et il est visible que cette équation sera toujours satisfaite, si
I on fait varier x , y , z , de maniéré que —, et —,
soient constans; ce qui montre que tous les. points de la droite ayant pour équations
sont sur cette surface, k et k' étant deux constantes. Cette surface peut donc être engendrée par tme droite qui passe par le point constant a, ,C ,y, elle est donc une surface conique.
2 e Problème, trouver l'équation générale des surfaces cylindriques.
On nomme ainsi toute surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à une droite fixé , en s’appuyant toujours sur une courbe donnée , nommée directrice.
Soient , x =az,y — bz , les équations de la droite à laquelle les génératrices dê la surface sont constamment parallèles, et soient ; .
les équations de la directrice donnée.
Les équations d’une génératrice quelconque seront
x=nz-f- a, yxzbz-\-4.
« et *C étant deux quantités qui restent constantes pour tous les points d’une même génératrice, et qui varient en passant d’une génératrice à l’autre. Eliminant x , y, z, entre les équations* de cette droite et celles de la directrice, on aura entre et et C une équation
<p(* jQ = a, ■
qui exprimera que la droite mobile rencontre toujoürs la courbe donnée; et si l’on y reporte au lieu de st et ff leurs valeurs tirées des équations (a) de cette droite , on aura pour l’équation du lieu cherché
(a)...^(x — az, y — bz) s=o.
On*démontrera , comme dans le problème précédent , que réciproquement , quelle que soit la forme de la fonction l’équation représente une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la droite , ayant pour équations]
xc az, y = bz.
3* Problème. Trouver l'équation générale des surfaces condides. On nomme ainsi toute surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à un plan fixe , en s’appuyant constamment sur une droite et sur une courbe données.
Prenons le plan donné pour celui des coordonnées x,y , et la droite donnée pour axe des z. Soient
les équations de la courbe directrice , celles de la génératrice seront de la forme
(a) ... s = « , y—mx,
puisqu’elle doit être parallèle au plan xy , et rencontrer l’axe des z.
On exprimera que la génératrice rencontre la directrice, en éliminant x , y, z, entre les équations (i), (a), et il en résultera une équation de condition <p(* , ni) =. o, qui donnera l’équation du lieu cherché , en y remettant pour a. et m leurs valeurs tirées des équations (a) de la génératrice. On •trouvera ainsi que l’équation de ce lieu est ’
On reconnaîtra facilement, comme dans les deuxproblème*
précédées , que cette équation représente toujours une surface conoïcle, quelle que soit la forme de la fonction ç.
4 e Problème. > Trouver l’équation générale des surfaces de révolution, c'est-à-dire , engendrées par une courbe quelconque dont tous les points décrivent des cercles ayant leurs plans perpendiculaires sur un axe fixe , et leurs centres sur cet ax f .
Soient, xz=az-\-a, y—bz-\-C,
les équations de l’axe de révolution , et
celles de la génératrice. Cette surface peut être considérée comme le lieu des cercles que décriront autour de l’axe les différées points de la génératrice. Pour avoir l’équation d’un quelconque de ces cercles , nous considérerons une sphère d’un rayon variable, ayant son centre sür l’axe, et coupée par un plan perpendiculaire à l’axe mené par le point où cette sphère coupe la génératrice ; le cercle d’intersection de ce plan et de la sphère , sera celui que décrira le point où la sphère a rencontré la génératrice ; ce sera donc un quelconque des cercles en question. Supposant le centre de la sphère au point où l’axe rencontre le plan xy , l’équation de la sphère sera
celle d’un plan perpendiculaire à l'axe sera z-\-ax + by — c = o.
Pour exprimer que le cercle, déterminé par ces deux équations, rencontre la génératrice, on éliminera x , y , z, entre les équations de ces deux lignes , il en résultera une équation f (c , o , entre c et R'.
On obtiendra l’équation du lieu cherché en reportant dans <f>(c, R“)— o , les valeurs de c et R* , tirées des équations du cerclej on trouvera de cette manière, que l’équation générale des surface%de révolution , est
by), [(x — *)*+ (y—C)> + z‘J}=o.
La réciproque se démontrera aussi facilement que dans les problèmes précédens. »
5* Problème. Trouver l'équation de la stirface engendrée par une droite qui s’appuie constamment sur trois droites fixes.
Prenons des axes de coordonnées parallèles aux trois droites données; ces dernières auront respectivement pour équations
Les équations d’une génératrice quelconque seront
(4). . . i = mî + m' , (5). ..y = nz, -f- n' , (6). . .y—pxs\-p'
L’équation (6) se déduit de (4) et (5) , et p est égal à
On aura les conditions pour que cette droite coupe chacune des trois premières , en éliminant x,y,z, d’abord entre les équations (î) et (6) , puis entre (a) et (4), et enfin entre (3) et (5) ; d’où résulteront les trois équations
(7 ). . . b = pa-\-p', c = md m , ex=nf-\-n r .
On trouvera l’équation de la surface demandée, en éliminant m, m, n , n', p, p' , entre les équations (7) , et celles de la génératrice. On obtient d’abord immédiatement par la soustraction
x — czxm(z—d), y — e~ n(z —f ) , y — b = p(x — a).
Remplaçant p par — , et éliminant m et n , entre les trois derm
nicres équations, il vient •
Cette dernière équation se réduit au second degré, parce que le terme xyz disparaît des deux membres; elle représente un hyperboloïde à une nappe.
Il est évident que si l’on change d en f, e en b , a en c , et réciproquement , l’équation finale ne change pas; d’où il suit
qne la même surface peut encore être engendrée par une droite qui s’appuierait sur trois nouvelles droites ayant respectivement pour équations
On peut remarquer qu’une génératrice quelconque de l’un des systèmes est rencontrée par toutes celles de l’autre ; car ces dernières donnant tous les points de la surface, doivent donner successivement tons ceux de la génératrice , considérée dans le premier système. D’où il résulte que si l’on fixe trois ^génératrices quelconques dans l’un des denx systèmes, la surface sera engendrée par une droite qui s’appuierait sur ces trois lignes fixes.
On peut voir à priori que le problème sera impossible lorsque deux des droites étant dans un même plan , la troisième sera parallèle à ce plan.
Problème. On donne de/ux points B , B' (jig- 1 54 ) dans l'espace ; on mène deux droites quelconques passant par chacun de ces points , et assujetties à se couper constamment en un point M d’une suif ace donnée ; par les deux points donnés on mène à ces droites des perpendiculaires dans leur plan. Il s’agit de trouver le lieu des points d'intersection M' de ces perpendiculaires.
Soit $ (x,y, z) = o , la surface donnée.
Soit BB' == 2 a la distance des deux points; [nous aurons AP=x, AP' = — x'. Donc, x= — x'. Abaissant les coordonnées MQ, M'Q', QP, Q'P', on aura
M'P' : mp :: mq' : mq :: P'Q' : pq , ou M'P' : mp :: *' : — z :: —y :.y.
Mais les triangles M'BP', MBP, sont semblables, puisque l’angle JtTBM est droit ; donc , k
mp : ptb :: pb : m'P% ou mp: a— x'::
d’où MP±= !
M'F ~ 5 jvTP 7 — MÏ» — y
Kous aurons donc , j — — rz = — J—
Pâr conséquent, pour un point quelconque de la surface, les équations suivantes exprimeront les coordonnées du point M , au moyen du point correspondant M' ,
- yc^-g »)
Si donc nous substituons ces valeurs dans l’équation donnée ç(x , y, z) =o, nous aurons l’équation cherchée. • ‘ '
7 e Problème. Deux plans sont assujettis à passer chacun par une droite fixe , on les fait mouvoir de manière qu'ils restent constamment perpendiculaires entre eux. On demande le lieu des intersections successives , deux à deux , de ces plans.
Je prends la plus courte distance des droites pour axe des z, et son milieu pour origine; j’appelle aa cette distance; je mène par l’origine des parallèles aux deux droites, et je prends pour àxes des x et y les lignes qui partagent en deux parties égales leurs angles adjacens; si j’appelle m la tangente du demi-angle des deux droites, les équations des deux droites fixes seront
M-Rrn - e=n> ,
les deux plans auront pour «quations
(a)...Ax+By +Cz+B=o, (3) ... A'x+B'y-f -j- D'=o.
Pour que le plan (a) renferme la droite (î), il faut que l’équation (A-j- B/n)x-+- Ca •+■ D = o , soit satisfaite quel que soit *; donc, •
A + Bm = o , Cfl+D —O.
Pour le plan (u) on aura
(A' — B'm)x-f-(iy — Ca) = o, A' — B'm = o, t)' — Oa~o.
Or, A==— — - — Dm, d’où B(y— 7nx)+Cs-f-D=o.
Mais, C = — ^ • donc B(y — mx) — — a -f- D = o.
On en déduit, B
De même,
A' = — B'm, B'(y + mx)+Cz+D' = <
Or > C' , donc B' (y -f- mx) -f- — — -f- D'= o.
D’où B’ = — —
a(y+mx)
Donc, B X B'=DD'X
Or, A= — Bm, A'^B'tti;
donc, A X À' = — BB'th* = ~- DD> ( a> ~ Z> )— .
M . r » D' , „„ DD'
Mais, C= , C = — , donc CC = — .
Les plans (a) , (3) , étant perpendiculaires entre eux, on a AA' + BB' -f-CC'=o:
Substituant les valeurs de AA' , BB', CC', on trouve, toutes réductions faites , que la surface cherchée a pour équation
. 8* Problème. Trouver le lieu des points qui sont à égale distance de deux droites données dans C espace .
. Je prends les mêmes coordonnées que dans le problème précédent : les équations des droites seront
y~mx, i=fl, et y=. — mx , s=— a.
Soient x', a', les coordonnées d’un point qui satisfait à la
question; pour avoir sa distance à la première droite, j’abaisse par ce point un plan perpendiculaire à cette droite; l’équation de ce plan sera x + my-f*D = o, et j’aurai la condition x' -H mÿ -f- D= o. Les coordonnées de l’intersection de ee plan avec la droite, sont
— D — Dm.
Donc la distance <f du point x', ÿ, z', à la première droite sera
Dm
De même pour le plan perpendiculaire à la seconde, j’aurai
x — my 4 -D' = o, et x' — my' + D' = o,
«t pour les coordonnées d’intersection de ce plan avec la seconde droite
La distance ¥ du point x', y', a', à la seconde droite sera
