J+^ + TT

Egalant ces valeurs de } et ¥ , réduisant et observant que Dr= — {y? -f- my') , D ' = my'—x', on trouve que l’équation du lieu cherché est

mxy -f- a(m‘ -f 1)2 = 0.

Si Fon fait a =0, on a xy = 0 ; ce qui donne les deux axes des x, y, comme on pouvait facilement le prévoir.)

Supposant £=a,oâa

mxy + a* ( 1 + m 1 ) = o ;

ce qui détermine une hyperbole rapportée à ses asymptotes. •

Si at=o t les droites se coupent, et on a xy=o. Ce qui donne les droites qui partagent en deux parties égales les angles adjacens des droites données.

En coupant par un plan perpendiculaire à l’axe des x, o’est-

à- dire en faisant x = C , on trouve y=. — z — Ce qui

donne une droite qui coupe l’axe des x , et lui est perpendiculaire.

Faisant ensuite y = et, c’est-à-dire coupant la surface par un plan perpendiculaire à l’axe des y, on trouve

La surfkce peut donc être engendrée par une droite qui se meut perpendiculairement à l’axe des x ou à l’axe des y.

Si l’on élimine x et y entre les quatre équations

x=e, ) ry =

qui représentent deux génératrices quelconques prises respectivement dans ces deux systèmes, pn trouve les deux équations identiques . ■

maC— — az (i + m') , maî ss — az(i + m‘).

Ce qui fait voir que , quels que soient « et C, les deux droites se coupent.

11 suit de là qu’une génératrice quelconque de l’un des systèmes coupe toutes celles de l’autre, et que par conséquent si l’on en fixe une de celles qui sont perpendiculaires à l’axe des y, la surface pourra être engendrée par une droite qui s’appuiera sur cette directrice et sur l’axe des x auquel elle restera perpendiculaire.

On aurait une seconde génération semblable par. une droite perpendiculaire à l’axe des y. Cette surface est un paraboloide hyperbolique.

g* Problème. On donne une courSe quelconque dans P espace } d’un point fixe on mène des droites c chacun de ses points , et on les prolonge d'une quantité constante ou proportionnelle à ellesmêmes. On demande le lieu des extrémités de ces prolongemens .

Dans le second cas , on voit facilement par la définition même , que c’est une courbe semblable à la première ; et si l’on représente par m le rapport des rayons vecteurs, on aura l’équation du lieu cherché, en substituant ax,y,z, les valeurs

— , A- , — , dans les équations de la courbe donnée , en suppom m m “

sant l’origine placée au point donné. «

Prenons maintenant le premier cas , et soit c la quantité constante dont on prolonge les rayons. Soit l’origine A au point lise. Nous allons prendre un point quelconque M' de l’espace joindre AM" , prolonger de M'M" = c, et exprimer x',y au moyen de x",y ", a", puis nous les substituerons dans l’équation de la courbe donnée. . t

On a M'M' cosa = FP" = x* — x' = ccosa.

Or,

COS * = — r :

\Zx’"‘+y"‘+z"'‘

donc x '

De même ,

Soient F(a7,^,a) =o , Q(x,y, a) = o, les équations de la courbe donnée ; en y substituant les valeurs précédentes , on obtiendra les équations de la courbe cherchée.

10 e Problème Du foyer d’une ellipse ayant pour axes 2a et ab, on abaisse des perpendiculaires sur toutes ses tangentes; on suppose qu’à chaque fois [ellipse tourne autour de la tangente comme charnière , jusqu’à ce que les deux plans fassent un

angle donné <p. On demande l’équation de la courbe qui est le lieu des diverses positions que prendra le foyer.

Soit P {Jig- 156 ) la rencontre d’une des tangentes arec sa perpendiculaire , et PM la position que prend PF ; on demande de déterminer les surfaces qui , par leur intersection , donneront le lieu des points M. L’angle FPM — p : si au point F j’élève une perpendiculaire du plan , et que je la prenne pour axe des z , l’angle MFz sera complément de PFm , et par conséquent

égal à — <p. Donc , la courbe se trouve sur une surface co-

nique ayant sqn centre en F , et dont l’angle au oentre est Faisant tang - ç —m, ce cône aura pour équation

x*-4 -y'* = m 4 z*. Or, PQ = PMXcos$=:PF X cos ç.

et par suite , FQ = FP X (1 — cos p).

Or, PA = a. Donc, en menant QK parallèle à PA, on aura QK==a(i — cosp), et FR = c(i — cosç).

Donc K est constant , ainsi que QK. Donc les pieds Q des perpendiculaires sont sur un cercle ayant son centre en K, et pour rayon a(i — cosp). Inéquation de ce cercle sera

x* — acx( 1 — cos p) = b % (î — cosp)*. ■

Mais le lieu des points Q est la projection de la courbe. On connaît doncune surface cylindrique qui la renferme. Elle est donc déterminée; les équations des deux surfaces qui la contiennent sont : .

| i*+y*=mV, x* + y * — acx(i — cos<p) = i a (x— cos<p)\

Toute combinaison de ces équations doit être satisfaite. Substituant à , sa valeur dans la seconde, on a

roV — acx (x — cosp) = b'(i — cos <p)\

Ce qui donne la projection sur le plan zx, qui est une parabole. Il est évident que si l’angle des plans est de aoo®, le lieu

sera une circonférence décrite du second foyer comme centre avec le rayon aa. Alors l’équation x“-f-y* = m'a* qui peut se

mettre sous la forme s* » devient iwo, puisque

m — tang ioo° — oo; ce qui fait voir que les points sont dans le plan de l’ellipse ; cos <f> devient — 1 , et l’équation

x a -t-y — aex ( i — cos?) = à 2 ( i — cos ?)* ,

devient

x* -+-y * — • 4cx = 4£ 2 .

Ajoutant 4c*, on a

Donc, on obtient alors la circonférence décrite de l’autre foyer comme centre avec 2 a pour rayon , püisque l’abscisse de son « centre est ac.

Passons an cas de la parabole , pour laquelle il est remarquable que la courbe est toujours plane. La courbe se trouve encore sur le cône ayant pour équation

x‘+y*=sm*a*. Deplus,ona (fig. i55) FQ:FP:: i— cos?:i.

Donc , lé lieu chercbé est dans un plan perpendiculaire à AX, que l’on obtiendra en partageant AF en .deux parties telles, que

fn : af :: i — cos? : î.

Supposons que le point M correspondant à Q, se soit rabattu sur le plan XY , en tournant autour de NY'; on aura sa position en élevant en Q une perpendiculaire à K Y', égale à QM.

Or, le triangle rectangle QjNF donne

QN+NF=feQF*, ou y‘ + £(ï-Cos?)*==mV,

hyperbole rapportée à ses axes j l’angle des asymptotes avec l’axe est ^ ?, puisque sa tangente est m. C’est aussi ce qu’on trou-

veraït par la section <lu cône et du plan x — — - p(i — cos $ ).

Si l’angle <p= ioo°, les points sont sur le plan qui passe par A Y, perpendiculaire au plan xy. Alors le z d’un point M, est

égal au rayon vecteur FP. Or, FP — PA =^p*; donc , l’équation de la courbe sera a* — y®*= ^ p®. v

Les équations générales conduisent au même résultat : la première donne a=o; la seconde donne y* + ^ p® = a*, puisque cos ç — o , et m = 1 .

Les résultats pour l’hyperbole seraient analogues à ceux de l’ellipse.

Il reste à chercher les memes choses pour une courbe plane quelconque , <p(x ,y ) = o.

Tous les points se trouveront fencorc sur le cône , ayant poux équation , a:® -j -y 1 — m’a®.

Soient <t , C , les coordonnées du point de contact ; l’équation de la tangente sera

et l’on aura

<p(ct,C)=o.

L’équation de la perpendiculaire sera

y 9 '(*)—xç>' (C) = o.

Au moyen des deux équations des droites, on déterminerait x’ et y', coordonnées du point P {Jlg- i$C).

Or, fq: fp :: 1 — cosip: 1;

donc , x” ; x :: 1 — cos<p : 1 :/ -, *

on a donc

x ' — et v' = - ■

1— cos p * 1 — cos <p

Substituant dans les valeurs de x’ et y , tirées des équations

des perpendiculaires, on aura deux équations entre a,£ ,x'',y‘, et de plus ip (*,£)•= o. Eliminant <*,£, nu moyen de deux d’entre elles , on obtiendra une équation entre x" et y", qui sera l’équation du lieu des points Q , et donnera par conséquent le cylindre projetant la courljc. Cette courbe sera donc déterminée.

11* Problème. {Fig. i 5 j ). On donne trois plans situés d'une manière quelconque dans 1 espace ; déterminer le lieu géométrique des points M, tels, qulfji abaissant des perpendi~ ciflaires sur les trois plans , la somme de leurs carrés soit ' égale à une surface donnée p*.

Les plans donnés formeront en général par leur concours un sfngle trièdre dont nous prendrons le sommet A pour origine, et les arêtes AX, A Y, AZ pour axes des coordonnées. Soient aussi MP, MQ, MR, les perpendiculaires abaissées 6ur les faces de l’angle solide A; on doit avoir

fl) • • . MP + MQ + MR = p*.

Menons par le point M, qui est supposé appartenir au lieu demandé 7 la parallèle MN à l’axe AZ,elle représentera lez du point M; et si Ton désigne par « l'angle connu MNP, qui est égal à l’angle que l’axe AZ fait avec le plan XY, on aura évidemment

MP = z sin a.

On trouvera de même, au moyên de considérations semblables ,

MQ=-csin^ f MR==ysinC,

C et y exprimant les angles que les axes AY , AX , font avec les plans ZX, ZY.

Portant ces valeurs dans l’équation '(i ) , elle devient z* sin® « -f • y % sin* S -{-a:* sin* 3/ = p*.

Le lieu géométrique cherché est donc une ellipsoïde, quels que soient les angles * , C , y.

Quand les angles « et C sont tous deux droits, l’équation de l’ellipsoïde se change en

z* -f- y % + x* sin* y = p *.

aï ,

La forme «le cette équation fait voir que si l’on y fait x égal à une constante quelconque, c’est-à-dire que si l’on coupe la surface par une suite de plans parallèles à zy , toutes les intersections réelles seront des cercles , puisque l’axe AX estpefpendiculaire à ZY , et que l’angle ZAY est droit. Il suit de là que dans ce cas , le lieu géométrique devient un ellipsoïde de révolution. ^

Lorsque les angles a , Cpy sont droits , le lieu géométrique ■est une sphère. . .

ia e Problème. Trouver la courbe de contact d'une surface du second degré , et d’un cône dont le centre est donné. ,

Cette courbe est évidemment le lieu des points de la surface donnée pour lesquels le plan tangent passe par le point donné- Soient a , C, y les coordonnées de ce point , l’équation de la surface proposée sera de la forme

az % -\-a y'-+-a' x'+bzy +b' zx+l" xy-\-cz-\-d y+c" x-J(-d=o ;

et celle du plan tangent au point ayant pour coordonnées x' , y , z'> sera

?azz'+ idyy -f- 2a”xx' b(zy' + s'y) *f b'(zx + zx)

-+■£'( zy+yxO-Hte-HO + c'(y+/)+c'Çx+z')+ a d=o.

On exprimera que ce p^n passe par le point donné, en-remplaçant dans son équation x , y, z par <*, ff, y, ce qui donnera

aeyz'-f- 3 a’Cy' -f- a a"*x' -f- b(yÿ -f- z'C) -f- b' (y x' -f za)

+bX*ÿ+Gx')+c(y+z)+c'{C+y')+c\*+x')+zd=o.

Cette équation étant -du premier degré, par rapport à x,y, z, considérées comme variables, représente un plan; ce qui fait voir que la courbe de contact est plane , et s’obtiendra par l’intersection de la surface donnée par le plan dont nous venons de trouver l’é«juation.

Connaissant les équations de la courbe de contact, qui peut être considérée comme la directrice de la surface conique circonscrite, on trouvera facilement l’équatioU de cette dernière.

Si le centre du cône s’éloigne à l’infini en suivant une ligne

fixe , ayant pour équations x — mz -f- n , y = pi + q , la surface circonscrite se réduira à un cylindre dont les arrêtes seront parallèles à cette ligne. On pourrait faire de nouveau le calcul , en considérant les plans tangens parallèles à cette ligne fixe, mais l’équation du plan de la courbe de contact peut se déduire de celle qu’en vient d’obtenjr , en supposant

m , fi, y infinis et tels, que l’on ait - = met - == n. Divisant

alors l’équation du plan par y , et faisant ensuite « , C , y infinis , elle devient , en supprimant les accens de x' , y-, t',

3a* -f- ïa'ny -f- aa'mx -f- by bnz -+- b' x -f- b'mz. •+• b“my

-J- b" nx -f- c-f- c'n -J- c'm = o.

Réciproquement, toute courbe plane tracée sur une surface du second degré peut être considérée comme la courbe de contact de cette surface avec un cône ou un cylindre. Car si par thois points de cette courbe ou mène des plans tangens , ils se couperont en un même point , ou seront parallèles à une même droite : dans le premier cas , si l’on considère leur point de rencontre comme le centre d’un cône circonscrit, la courbe de contact devant être plane et passer par les trois points de la courbe donnée sur la sarface, se confondra avec elle; et, dans le second cas, le cylindre circonscrit, dont les génératrices seraient parallèles aux intersections des trois plans tangens , ne pourrai taêtre tangent que suivant une courbe plane qui , ayant trois points communs avec Fa proposée , se confondrait encore avec elle , puisqu’elles sont tracées toutes les deux sur la même surface du second degré.

Théorème. Lorsqu'une surface du second degré en pénètre une autre du même degré , et que lu courbe d entrée est plane], la courbe de sortie le sera aussi.

En effet , puisqu’une courbe commune aux deux surfaces est plane, il faut que des deux équations de ces surfaces on puisse déduire celle d’un plan. Or, dans les diverses oombinaisOhs que l’on fait entre deux équations, on substitue toujours, au système des deux premières, un système équivalent composé do

deux autres équations. Mais l’équation d’un plan combinée arec celle d’une surface du second degré , ne pourrait conduire à des projections du quatrième degré, comme cela doit être pour les deux surfaces proposées j on ne pourra donc remplacer le système des deux équations données par l’une d’elles , jointe à celle d’un seul plan, mais bien par l’une d’elles et une nouvelle équation du second degré, qui, si elle représente un plan, en représentera deux. La courbe d’entrée ne pourra donc être plane sans que celle de sortie le soit pareillement.

Il pourra se faire, dans certains cas , que l’équation du second degré ne représente qu’un seul plan ; alors tes deux courbes d’intersection se confondront en une seule, et les deux surfaces seront tangentes, suivant toute l’étendue de cette courbe.

i3* Problème. Par un point donné, on mène un plan quelconque , qui coupe une surface donnée du second degré , et Von demande le lieu des centres des cônes circonscrits à cette sw face , suivant les diverses courbes données par l’interseçtion du plan mobile.

Soit l’équation donnée

«a* -f- by* -f- ex* déc ~ O ,‘

qui peut représenter toutes les surfaces du second dgjjré; soient m, £,y, les coordonnées du point donné, et ec',y , <z, pelles d’un quelconque des centres des cùnês circonscrits ; d’après le dernier problème , le plan de la courbe de contact de ce cône et de

la surface aura pour équation *

uazzl -j- a pyy -f- 2cxx' -f- d (x -f- x') = o.

Pour que ce plan passe par le point donné , il faut qae son équation soit satisfaite quand on y remplace x, y, z par a,C, y; ce , qui donne . •

aa*z -f- a bZy -f- acyx' -f- d(a -J- x') — 0 ^ 1 ).

Cette équation, ne renfermant de variables que les coordonnées

d’un point quelconque du lieu cherche, est l’équation même de ce lieu.

D’après la forme de cette équation, on voit facilement que ce lieu n’est autre chose que le plan de la courbe de contact du cône circonscrit à la surface donnée , et ayant son centre au point donné.

Si l’on supposait que le point « , S, y , s’éloignât à l’infini sqr une droite fixe ayant pour équations x =ms + n > y >

le plan mobile serait constamment parallèle à cette droite, et l’on prévoit facilement que le lieu serait le plan de.la courbe de contact de la surface donnée et du .cylindre parallèle a la droite fixe. C’est ceque l’on déduira de l’ équation (i), en divisant tops

ses termes par y, puis faisant «t, infinis, et supposant - — m, '

- = b; on trouvera ainsi ’

aaz + abny -{• acmx + dm ■=. o. ,

Qn serait parvenu directement au même résultat en exprimant que le plan mobile est parallèle à une droite fixe.

i4 e Problème. Par une droite donnée , on mène un plan quelconque qui coupe une surface donnée du second degré , et l’on demande le lieu des centres des cônes circonscrits à cette surface suivant les diverses courbes dans lesquelles elle est coupée par te plan mobile.

Soient les équations de la surfaefc et de la droite données

*f- by* ex* «f- c£jc— o

ch . xz=zmz-\-n, y — pz -zz. q.

L’équation du plan de la courbe de contact du cène , dont les coordonnées du centre sont x' , y' ,z' , sera

lazz -f- a byy' -f. a exx' -j- d (x -f- x') = o.

Pour qu’il contienne la droite donnée, on aura les depx équations . r ,

aaa'if- acnu/-+- zbny'f- dm = o, (2cn+«/)x'4- uhqÿf- dnxzo ,

qui , ayant lieu entre les coordonnées d’un quelconque des centres des cônes circonscrits , représenteront le lieu cherché ; ccs équations étant du premier degré , le lieu est une ligne droite.

Il est facile de juger que si l’on prend un point fixe quelconque sur la droite donnée, et qu’on cherche le lieu des centres des cônes circonscrits à la surface , et dont les plans de contact passent par ce point, ce lieu contiendra celui que nous venons de déterminer dans le problème actuel ; d’où il résulte que si l’on fait la même construction pour tous les points de la droite fixe, tous les plans qu’on obtiendra passeront par une même droite. Les deux équations que nous avons trouvées pour déterminer cette droite représentent les lieux que l’on obtiendrait en supposant successivement que le plan mobile fut parallèle à la droite fixe, ou passât constamment par le point où elle perce le plan scy. Ces équations sont aussi celles de la droite qui joint les , points de contact des plans tangens à la sur/ace, menés par la droite donnée.

Si la droite donnée s’éloigne à l’infini en restant parallèle à ■un plan fixe , le plan mobile sera alors parallèle à ce dernier, et le lieu cherché sera la droite qui joindra les points de contact des plans tangens h la surface et parallèles au plan fixe. C’est ce que l’on trouverait facilement par un calcul semblable aux précédons.

1 5* Problèbcp. Trouver le lieu des centres des sphères tangentes à trois sphères données.

Considérant d’abord les centres des sphères tangentes H deux des sphères données , on aura pour lieu une surface de révolution autour de la ligne qui joint leurs centres. On aura la courbe génératrice en faisant une section par ua plan passant par cette ligne , ce qui ramènera à un problème de Géométrie plane, et donnera une courbe du second degré à centre. Or, dans le mouvement de révolution de cette courbe , chacune de ses deux directrices engendrera un plan perpendiculaire h l’axe , et qui jouira de la propriété que les distances d’un point quelconque de la surface à ce plan et au foyer homologue , qui est un des centres

des deux sphèreo , seront dans un rapport constant. lien serait de même pour le lieu des centres des sphères tangentes à l’une de ces deux sphères et à la troisième , et l’on aurait une seconde surface de révolution engendrée par une courbe du second degré à centre, ayant un foyer commun avec la première. Considérons Maintenant les deux plans engendrés par les directrices de ces deux surfaces qui correspondent au foyer commun. Si» l’on prend un point quelconque de la courbe cherchée, qui est l’intersection des deux surfaces de révolution, qu’on appelle d sa distance au foyer commun , et p , p', ses distances aux deux plans directeurs, on aura les proportions suivantes, dans lesquelles les seconds rapports sont connus,

d lp V. m : n,

• p' l d II m l tï ;

d’où l*bn tire

p' I p :: mm : nn.

Les perpendiculaires abaissées sur les deux plans étant dÆs un rapport connu , la courbe^herchée sera située dans un plan qui passera par leur droite d’intersection, et se déterminera * facilement. Connaissant l’équation de ce plan , et la joignant à l’une de celles des surfaces de révolution , on aura les équations de la courbe cherchée.

Nous laissons anx élèves le soin de faire ces calculs , qui ne sauraient offrir de difficultés ; ils discuteront toutes les positions relatives des sphères , et supposeront qu’elles se réduisent successivement à des plans : il suffira pour cela de supposer qu’un de leurs points restant fixe , le centre s’éloigne à l’infini dans la direction constante du rayon mené par ce point fixe.

Quant au lieu des points de contact de la sphère mobile avec chacune des trois aufres , on trouvera pour chaque sphère un petit cercle perpendiculaire au plan des trois centres fixes.

’i6* Proiilème. Trouver l'Équation de la surface engendrée par une droite qui s'appuie sur deux droites fixes , en faisant avec Vune déliés un angle constant, dont la tangente est n.

Soit a la plus courte distance des deux droites données , m la

tangente de leur angle. Prenons leur commune perpendiculaire pour axe des z; pour axe des x celle des deux droites avec laquelle la génératrice fait un angle constant , et pour axe des^‘ une perpendiculaire aux deux premières.

Les équations de la seconde droite donnée seront

z — a , y = mx . .

Celles de la droite mobile assujettie à couper l'axe des x seront

( 1 ). . ,x = Rs -f-A, yaK't

Eliminant x,y, z entre ces quatre équations, on aura la condition , pour que la génératrice coupe la seconde droite donnée; l’équation résultante sera

(a) . . . Kc -f- h =

Enfui, le cosinus de l’angle que fait la génératrice -avec l’axe

des x étant exprimé par , op aura, d’après les

conditions données , l’ équation suivante

V/i-f-Ro+R'* i + 'C

Éliminant K , R' et h, entre les équations (î), (a) , (3) , on obtiendra l’équation du lieu cberclié, qui sera , toute réduction faite ,

• (4) . . . (a — «)* = n a (ay — mxz)\

On observera que n n’entiant qu’au second degré dans celte équation, la surface qu’elle représente contiendra toutes les droites qui rencontreraient les deux droites données , en faisant avec L’axe desx l’angle obtus supplément du premier.

Si la génératrice était perpendiculaire sur la droite fixe, on aurait oo ; divisant d’abord l’équation (4) par n% et

supposant ensuite n= oo , on trouvera . ,•

. ay —■ mx z = o ; •

ce qui donne nn paraboloïde liyperboliqne, comme on «levait s’y attendre , puisque la génératrice se trouve alors parallèle à un plan fixe perpendiculaire à l’axe des x.

Si les deux droites données étaient perpendiculaires entre elles , m serait infini , et l*équation (4) divisée par m 2 se réduirait alors à

• '(**+>*) (* — Ù T — Ti'x'z 1 -,

et si l’on supposait en même temps n =’co , elle deviendrait Æ a a*=s o, . équation qui donne le plan XY et le plan YZ; ce que l’on pouvait facilement prévoir.

Enfin , si l’on avait a — o , les deux droites données se couperaient à l’origine , et l’équation de la surface deviendrait

(t*+/)i‘=sV,

et se décomposerait en a* = o et z 2 +y a = n a x\ La première donne le plan même des deux droites qui , en effet , peut être engendré par une droite qui se mouverait en faisant avec la première un angle Constant , et en les rencontrant toutes les «leux. La seconde équation s* + y’ = n*x* représente un cône droit ayant pour axe l’axe des x et pour angle au centre l’angle donné. C’est encore ce q#e l’on pouvait facilement prévoir ; car tourtes les génératrices de ce cône rencontreront les deux droites données , puisqu’elles passent toutes par l’Origine , et , de plus , elles feront avec l’axe des x l’angle donné.

Ttiéonèiix. Si l'on projette une aire plane sur trois plans rectangulaires , et qu'on projette ensuite ces trois aires sur le plan de la première , la somme de c'es trois nouvelles projections sera égale à Taire de la figure primitive.

• Soit m l’aire de la figure donnée , et et , C , y les angles qtlc sdn plan fait avec les trois plans rectangulaires; les projections sur ces plans auront respectivement pour expressions

m cos«, mcosC, m cos y.

Les projetant de nouveau sur le promier plan , on. obtiendra pour expressions des nouvelles aires

m cos 2 a. , m cos a C / m cos 2 y ,

et ces trois quantités ajoutées outre elles donnent m, puisqu’on a la relation connue cos 1 a. -f- cos’ C + cos 1 y = î.

Si l’on traite ces trois nouvelles ligures connue la première, chacune fournira trois nouvelles projections sur le meme plan , et généralement si l’on répète cette. opération m fois, on aura sur le plan donné un nombre de ligures marqué par 3'",. et dont la somme sera toujours égale à l’aire de la ligure donnée.

Théorème. Si l'on, projette une Jigure plane sur trois plans coordonnés rectangulaires , la somme des cônes qui auront pour bases ces projections et pour sommet commun un point quelconque du plan de la Jigure sera égale au cône ayant son sommet à l’origine et pour base la figure donnée.

Soient a, b , c les cônes donnés des points où le plan de la figure coupe les axes , l’équation de ce plan sera

Désignons par m l’aire de la figure et par p Ip perpendiculaire abaissée de l’origine sur son plan j l’équation précédente

étant multipl

Hw + TP* v-*-ÏÏP — ’

Or P-, - sont les cosinus des angles que le plan donné fait

avec les plans rectangulaires -, et par conséquent ^ , ^r- ,

sont les projections de la figure donnée sur ces mêmes plans . de plus x, y , z sont les perpendiculaires abaissées d’un point quelconque du plan sur ces trois projections. Le premieç membre de la dernière équation représente donc la somme algébrique de trois cônes ayant leurs sommets au point x, y , z du plan, et pour bases les projections de la figure donnée. De plus le second membre est évidemment l’expression du volume d’un cône ayant son sommet à l’origine et pour base la figure donnée; ce qui démontre le théorème annoncé.

. La composition des signes des quantités a, b, c,x,y, z,mon-«

trcra dans chaque cas si les cônes doivent être ajoutés ou retrau» chcs. ■

Si l'on projette de nouveau les trois premières projections sur le p’an donné, on aura trois aires dont la somme sera égale à celle de la première figure ; et par conséquent les cônes dont elles seraient les bases, et qui auraient leur sommet à l’origine, donneraient encore pour somme Si l’on traite chacune de ces trois aires comme la première , on obtiendra g cônes dont la

somme algébrique sera ; et généralement cette somme sera touô

jours la même pour les projections de l’ordre m qui fourniront un nombre de cônes marqué par 3 ra .

Problèmes proposés aux concours des Collèges royaux de Paris.

x er Problème. Les deux côtés AE, AF [ftg. 1 58) d'un angle plan EAF étant supposés fixes et coupés par une droite mobile BC; trouver la courbe que décrit le centre de gravité G du triangle ABC , quand la droite BG se meut de telle sorte, que la suiface du triangle ABC reste constante.

Choisissons pour axes des y et des x , les côtés AE, AF de l’angle A que nous désignerons -par C. Soient aussi x', y les distancés variables AC, AB, et ttv 1 le double du carré auquel la surface du triangle ABC doit être constamment égale. On sait que

• ' ABC = - x' y' sin Q = - m *.

Mais en désignant par x et)> les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC , on aura

. x'=3x, y’ — Zy.

Portant ces valeurs dans l’équation précédente, il en résultera celle du lieu demandé qui est

g sin C ’

Cette équation appartient à une hyperbole qui devient équilatèrc quand l’angle C est droit. Les axes en sont les asymptotes ; et si m* est nul , la courbe se réduira au système de ses deux’axes.

a e Problème. {Fig. i5g ). Étant donné un quadrilatère AGFH dont les quatre cotés ne sont pas situés dans un même plan, on demande :

i°. L'équation de la surface décrite par une droite ED, qui dans son mouvement couperait toujours proportionnellement les deux côtés opposés AH , GF, de manière que dans chaque position de la droite génératrice on eût la proportion

ae : eii :: gd : df.

u°- L'équation de la surface engendrée par le mouvement dune seconde droite BC, qui couperait proportionnellement les deux autres côtés du même quadrilatère , de sortes qu’on eût la proportion.

ab : bg :: ch : cf.

3°. On demande si les deux surfaces sont différentes.

Je prends les deux côtés AG, A1I du quadrilatère pour axej des x et des z ; par la ligne AG, je' fais passer un plan parallèle a Fn , auquel , d’après un théorème connu de Géométrie , F.Dsera parallèle dans toutes ses positions. De rnêipe , par AH, je mène un plan parallèle à FG , et auquel BC restera parallèle pendant son mouvement. Ces ‘deux plans se couperont suivant une droite que je prends pour axe des y.

Les équations dè FG sont x — m , y,~ >

Celles de FH sont z—n, ' y =s ax.

La condition, pour que cesligncs se coupent, établit entre les coelEciens m, n, b, a, la relation

Cela posé , la génératrice DE étant parallèle au plan x y , ses équations sont

y = ax, z=zG.

Si l’on exprime que celte droite s’appuie Sur le côté GF du quadrilatère , on trouvera l’équation de condition

bC = etm,

Ce ta étant constantes pour tous les points d’une même génératrice, et variables, d’une position à l’autre de la génératrice. On aura donc un résultat commun à toutes les positions de la génératrice, et par suite l’équation de la surface demandée, si l’on

remplace C et a. par leurs valeurs z et -, Ce qui donne

On trouvera de même que la surface engendrée par BC a pour équation la relation (2).

Par conséquent les deux surfaces coïncident.

Il suit de là que les deux génératrices DE , CB ,sc coupent ; ce qui démontre une proposition exposée dans le Traité de Géométrie de M. Le Gendre (Prop. 16, liv. V ).

Reprenons l’équation (2); en y faisant ^ —p, elle sc réduit à (3)...zx=py.

On voit d’abord que la surface passe par l’origine. On obtiendra l’inte*rsection de cette surface par le plan des xy , eu faisant a = o; ce qui donne y = o, et laisse x arbitraire; cette intersection est donc l’axe des x.

On trouvera aussi que l’axe des z est l’intersection de la surface et du plan zy.'

Maintenant, coupons la surface par une suite de plans 'parallèles au plan xy , l’équation générale de ces plans est z = <t, et

celle des sections est y = - x. D’où l’on Voit que ces sections

sont des lignes droites , donc les projections sur le plan xy passent par l’origine.

La symétrie de l'équation de la surface par rapport aux va-

fiables z et X , montre que ses intersections par des plans parallèles au plan yz , sont également (les droites dont les projections sur ce plan passent par 1 origine.

Considérons la variable y qui n’entre pas de la même manière dans l’équation (3) delà surface, et faisons^ —G. L’équation (5) se change en zx—pC ; elle appartient sous cette forme à une suite d’hyperboles situées dans des plans parallèles aux zx , dont la position dépend du signe de C. Quand C= o, l’intersection se réduit au système des axes z et x.

Pour achever de découvrir les diverses courbures de la surface, nous allons la couper par des plans tournant autour de chacun

des axes coordonnés. , .

Nous ferons d’almrd passer un plan par l’axe des x ; son équation , qui est la même que celle de sa trace sur zx , sera y= kz.

Éliminant^ entre cette équation et celle de la surlacc , il vient, pour la projection des points communs sur xz , l’équation

z ( x pk)z=o, qui se divise en a = o et x = pk. C’est l’axe

des x d’une part, et une parallèle à l’axe des z de l’autre.

On trouverait de même., en considérant des plans tournant autour de l’axe des z , que leurs points communs avec la surface se projettent sur zx suivant l’axe des z et des parallèles à 1 axe

des x. '

Enfin si l’on mène un plan par l’aie des y, sa trace sur zx

aura pour équation z=k'x\ la combinant avec celle de la surface , par l’élimination de z , on aura k'x> = py. Ces projections sont des paraboles , quel que soit k'.

11 serait facile de reconnaître que les courbes projetées sont

elles-mêmes des paraboles. *

Cette surface est celle qu’on nomme pafaboloide hyperbolique, y Problème. Les trois arêtes d’un angle solide A (fig. 160) étant supposées fixes et coupées par un plan mobile BDC , trouver Téquation de la air face courbe que décrit le centre de gravité de la pyramide comprise entre les faces de l’angle solide et le plan dont il s'agit, quand ce plan se meut- de manière que le volume de la pyramide reste toujours le même.

Nous prenErons les arêtes AC, AD, AB, de 1 angle so.ide A

pour les axes des x, des y et «des z; d’où il suit que scs faces seront les plans coordonnés. Nous désignerons par x\ y',*', les distances AC, AD, AB, du sommet de l’angle au plan mobile BCD considéré dans une de ses positions. Cela posé, le volume de la pyramide BACD est égal à DAC X g BP ; BP étant La per- • pendiculaire abaissée du point B sur la jace DAC. L’aire du triangle DAC est représentée par £ x'y' s : n », (<* désigne l’angle connu DAC).

Le triangle rectangle BAP, dont l’angle A est l’inclinaison donnée de l’arête AB sur le plan DAC, va servir à déterminer BP. En effet, soit S l’angle BAP; on a

1 ! s' ü sin C ; BP ; d’où BP = z sin C.

Portant ces valeurs de DAC et de BP dans l’expression du volume de la pyramide , et prenant j m 3 pour la constante à laquelle ce solide doit toujours être égal, on aura

x’y z sin * sin S = m 3 .

Il ne reste plus qu’à exprimer les variables x r , y', z' en fonction des coordonnées x,y , 2 du centre de gravité G de la pyramide. Or, on sait que yLH=4GH ; d’où l’on voit, au moyen de triangles faciles à construire, que

Substituant dans l’équation ci-dessus , elle devient

4 (0 . . . xyz 64si n <*sin£'

C’est l’équation du lieu géométrique décrit par le centre de gravité de la pyramide. Il est aisé de voir que cette surface est asymptote aux trois plans de l’angle solide A. Si on la coupe par des plans parallèles aux plans coordonnés, par exemple pur un plan parallèle à celui des xy dont l’équation est z=a , la projection de l’intersection sur ce dernier plan sera

64 a sin « sin C