SG

équation qui appartient à une hyperbole ayant pour asymptotes les axes des x et tles y.

11 en sera de même par rapport à toutes les sections faites dans la surface par des plans parallèles aux xz et aux yz-, ce qui permet de la considérer comme une sorte d'hyperbo laide du troisième ordre. Cette surface est composée de quatre nappes * indéfinies qui occupent chacune l’un des huit angles trièdres formés autour du sommet A de la pyramide par les plans des Coordonnées. Mais on remarquera que les diverses nappes ne détendent pas dans les angles opposés par le sommet. Ces propriétés sont une conséquence de l’équaticn de la surface dont la forme étant xyz — P, exige que les variables soient toutes trois positives, ou que l’une soit positive et les deux autres négatives. Ces quatre combinaisons de signes répondent aux quatre nappes, et les fixent dans des angles trièdres tels , qu’aucuns ne sont opposés par le sommet.

Lorsque l’angle solide A est rectangulaire, on a sin «=sin C=i , et Féquation de la surface se réduit à

Si m = o , l’équation correspondante xyz = o est satisfaite par les trois plans coordonnés.

4 e Problème. Etant données une sphère et trois droites dans l’espace, mener un plan tangent à la sphère qui fasse des angles égaux avec ces droites.

Soient AB, CD, EF ( Jig .• 161) les trois droites, et OGMH la sphère donnée. Nous prendrons la première de ces lignes pour axe des Z, et la perpendiculaire AO menée du centre de la sphère pour celui des x. L’axe des sera élevé par le point A perpendiculairement au plan ZAX.

Les équations des droites AB, CD, EF, rapportées à ce système d’axes seront

f x = o 1 r x = as -f- « 1 f x — a'z -}- *' 1

\y*=b'z+Ci’

CSB?)

faisant A Oz=p, îa sphère dont le rayon est R. aura pour ' équation

Enfin, le plan tangent cherché RS aura pour équation 1 Ar -f- Bj + s — D.

Il s’agit de déterminer les coefficiens -A , B , D en fonction des constantes qui entrent dans les équations des trois droites et dans celle de la sphère. Pour cela, nous calculerons les sinus des angles que font les trois droites avec le^nlan RS. On trouye pour 1# sinus de l’angle que fait AB avec le plan RS,

et pour les sinus des angles formés par CD et EF avec le plan RS,

Aa - f- B b -j- i A a -f- B/>' -4- i

V i+a*+6» v/T+ah-b 1 ’ Vr+^+^yT+^W’

Egalant l’expression du premier sinus à celles des deux autres, on aura deux équations qui serviront à déterminer A et B. Ces équations sont

i ___ A a + BA -f* i

On en tire

i'(l/a a 4-Z> a 4- î — i) — i(v/â' a -fè' a 4 - 1 — i)

~ ab' — ba' »

ab' — ba! <■'

Ces râleurs portées dans l’équation du plan exprimeraient qu’il fait des angles égaux avec les trois droites. Si le coefficient D reste encore indéterminé, c’est que tout plan parallèle à HS rencontrerait les droites sous les mêmes angles.

Riais la valeur de D se déduira de la condition que le plan RS soit^angent à la sphère. A cet effet , abaissons le rayon OM perpendiculairement sur le plan RS, les équations de OM seront

x = Az -f- p et y = B 4 .

Le point M où ce rayon coupe la sphère a pour coordonnées