dou P— ei57.(I,04rr
OU, en effectuant les calculs » P= 1629^,37.
La part définitive s'obtiendra en supposant que b ^^ 2400 fr. et la durée de l'associaUon 20 — 7, ou U an^* a Vio = 463; la part cherchée sera donc exprimée par
240O». 607.(1.045)» ^-^^ .^ ^^3^ on 5576^,10.
986. A son entrée dans l'association ce sociétaire a^sil^^^ et il en auia 61 au moment de la liquidation. Or on af^^ et Vei=450; ainsi,, en nommant x la part demandée, on ^ comme s'il s'agissait d'une tontine formée pour 20 ans 1^^ personnes de 41 ans,
927. V Soit n Fâge des sociétaires an moment d^ ^*^ï!f* de la société, t le nombre d*années qui expritne la to* Tassociation , p la mise annuelle, P la mise unique, Hfl'^ annuel d'un franc. .
La somme payée au début de la société, par ua ^f^ sociétaires égal à v«, sera p.»,; et à l'époque de la H^»**; elle sera devenue , f^'^^''^
La somme payée au bout d'un an serap.Vn+i', et, àl'époî*^ la liquidation , elle sera devenue pv^n (* "^^ ^
La somme payée au bout de deux ans sera p.Vî! ^1, l'époque de la liquidatton , elle sera devenue. . . p . 9^^ '^^'
Et ainsi de suite.
suit UL MPCLàTIOH, BVC. 41 f
Enfin , la somme payée la (/ — i)*- année sera p . «»+,ui ; et , à r^Miqne de la liqniâatîaii , die sera éevenne.. . p .0.^4^ (1 +r). En appelant C la somme de ces eapitam, onponrraéorBpe:
La série qui suit Tunité dans la grande parenthèse, serait égale à —, ou à A, (Yoj. les notations des n<^ 8tt» et OtO), si elle était
prolongée jusqu'à la limite de la table de mortalité. Or les fermes qui manquent,, c'est-à-dire
r„(l+r)'"^t;»(l+rr«'^t?,(l-hr)'+» "*"•'•* peuvent s'écrire
ou
Si Ton compare cette expression avec celle du n^" 871, on voit qa'dle représente la valeur d'une rente viagère de 1 flr. peur quelqu'un âgé de n années, cette rente étant différée de ^ — 1 années. D'ailleurs A» indique la valeur d'une rente viagère de 1 fr. pour une personne de n années; par conséquent, la série de termes qui suit Tunilé dans la grande parenthèse faisant partie de la valenr de C , exprime la valeur d*une rente temporaire de 1 fr. pour une personne de n années , cette rente devant être servie pendant t-^î années.
En désignant par A:^^*~* cette valeur, on aura donc
[1] - C=iw.(l+r)'(l+Ar^«).
B'aiUeurs, d*après ce qu'on a vu au n* 9iZ, le capital G a aussi pour valeur
£2] C — f.v,{i + ry.
En comparant ces formules , on peut écrire
iw.(i+f)'(i+A:+'-o=p.v-(i+^)';
p d'où p = I ^ Ar^'^ '■*•'
feiîniile analogue à celle des n^ astt et 890.
4i2 SOLUTIONS DES PROBLÊMES
2^ Dans l'exemple dont il s*agit, on a n = 41 , / =20, t;ti = 650.
Le tableau du n^" 860 donne Au = 14,056. Le même tableau donne S»+,-i ou S» = 4327,434.
Par conséquent la valeur d'une rente viagère de 1 fr. différée de 19 ans, pour une personne actuellement âgée de 41 ans, sera exprimée par
La valeur d*ane rente viagère temporaire de 1 fr. pendant 19 ans pour une personne de 41 ans est donc
14,056 — 2,885 ou 11,171.
On aura donc, puisque P = 1000 fr. ,
1000^ lOOtf a^,.^
''-1 + 11,171 ~Î2:Î7Ï-*^**^- 938. V la formule [3] du numéro précédent donne
11 s'agit donc d'abord de calculer Af^'~^ Dans l'exemple actuel, on a
Le tableau du n* 860 donne A47 = 12,672. Le même tableau donne Sv7+is-i ou Su = 4072,167. La valeur d'une rente viagère de 1 fr. différée de 14 ans, pour une personne âgée de 47 ans, est donc exprimée par
.^Jhl^L^j ou 3,62244... ou simplement 3,622. 1,045)**. 607
La valeur d'une rente viagère temporaire de 1 fr. , pendant 14 ans, pour une personne âgée de 47 ans est donc
12,672 — 3,622 ou 9,050.
Comme Ton a ici p = 500 fr., il viendra
ou P = 5025'.
2* La part demandée se déduira de la formule [2] du numéro
précédent, en diYisant C par t^a ou par 437. En Dommant w cette part, on aura donc
989. On résoudra ce problème au moyen de la formule [3] du n* 927, dans laquelle il faudra faire p = 300 fr. , n = 52 ,
Le tableau du n* 860 donne A» = 11,440. Le même tableau donne S»fs-^ ou S» =: 4584,147. On a d'ailleurs Vti = 560. La valeur d'une rente yiagère de 1 fr. , difTérée de 8 — 1 ou 7 ans, ponr une personne de 52 ans, est donc exprimée par
4584,147 ^^^^c^ 1 .1 X «^-ir
(1 Ok5V 560* ^^ *>01529, ou plus sunplement 6,016.
La yaleur d'une rente viagère temporaire de 1 fr. , pendant 7 ans, pour une personne de 52 ans est donc
11,440 — 6,015 ou 5,425.
La formule [3] du n"" 087 donn»*a donc enfin
P = SOO'.Cl + 6,425) = 1927',50.
930. On a V48 = 622 et Vi$ = 590. Le capital produit au bout de 15 ans par une mise annuelle de 600 fr. sera donc exprimé par
600'.622.(l,045)*».(l + AS),
en désignant par AS la valeur d'une rente viagère temporaire de 1 fr. pendant 14 ans, sur la tète d'une personne de 45 ans (087). Le capital produit au bout de 11 ans par une mise annuelle x sera exprimé à son tour par
en désignant de même par AS la valeur d'une rente viagère temporaire de 1 fr. sur la tête d'une personne de 49 ans. En égalant ces deux capitaux, on obtiendra l'expression de x
^.a.o45^iif2.
« = 600'.2îî.(l,045^
Le tableau du n* 8B0 donné A» = 13,164. Le même tableau donne S» = 4584,147. La valeur d'une rente viagère de i fr. ,
4f4 SÛLUTIOHS NS PROBLÈIU.
différée de 14aiiii,|i0ur «iepenQiineée45«BB, MimdoBC exprimée par
(l^y*^622'> c^e9l-à-«re S,t796, ou smpleiiiBnt 3,980.
La «ndecu* d'une rente viagère temporune de 1 Ir.y peniont 14 ans, sur une lète de 45 ans, est deac
13,164 — 3«0SO ou «,164.
On a donc 1 + AS = 10,184.
le tableau du n*" 860 donne A« = 12,419. La Talenr d'une rente viagère del fr. différée de 10 ans, et sur la tète d^une personne de 49 ans, aura pour expression
4584 147 fl 045)'*^ 590 ' c'^^^"^"d*r® 6,00315 , OU simplement 5,603.
la valeur :d'ùne rente viagère tanpoaiffe de 1 ir.^ penént 10 ans, sur une tête 4e 49 ana, ^st donc
12,419 — 5,063 ou 7^& On a donc 1 + A^ = 8,416.
Par suite, la valeur >Ae h mise «nsmeUe dherdièe peut s'écrire
et, en effectuant les calculs, on «btient w = 612',78.
âM. 1* On doit d'àberd IrsMer la question d'une manière générale*
Sait P la mise 4e chacm des associes , supposés âgés de s années ; soit t la durée de Tassociation, et r intérêt annuel d*aa franc.
Supposons , pour pfhis de simplicité, que le nombre primitif des associés soit Vn*
Au bout de la premièrie année, le nombfie des iraarts^ d'afoit la table de iBortalilé isera ti,» — v^^ et iasamme ^'tts iaiiaf Jiwt à la société, c'est-à-dire P (Vn — v»+i)» produira au bout de I — 1 années, avec les intérêts coa4K>sés, un liapital représenté par
An bantdeladenaôàQMannée, k immtoe des «9rti se ten
Sm Lk WWLkTfM, ETC. kW.
aconile v,^ — v,«4«; ^1a «onmie laissée, saYoir P (f^+i — Vn4^^ produira au bout de if — 2 années un capital exprimé par
A« bcmt et la troisième année , le nombre des morts se sera accru de «nft — ^n^ , et la ^ornme laissée, ^saroir P (!?n+t — 1^«+«), {ff^uira att bout 4e i — i années, un capital représenlé pat
Et ainsi de suite.
Au bout de la (t — 1)'''"' année, le nombre des morts se sera accru de Vn+i-i — «n+t-i, et la somme taîssée produira, au bout d'où an, le capital P(Vn+^ — «Vk-4) (1 + r).
Bnfin , au bout de la t^'^" année , le nombre des morts se sera encore accru de v,+r-i — v,^j^u ^t la somme laissée P(t?nH-i — v«+*) ae produisant point d'intérêts, puisqu'on est arrivé à Tépoque de la liquidation^ conservera sa valeur.
Si , à la somme de tous ces capitaux , on ajoute les mises des v^f sunrivants, c'est-a-dire P . Vn+t , on obtiendra un capital total C, f«i, divisé par Vn^ donnera la part de chacun de ces survivants.
Or le terme ^ P.v^ fait disparaître un terme égal, mais de ngne contraire; et en réunissant les termes positifs entre eux et les termes négafifr entre eux, la Tsdeur de G peut s^écrire
c=pr4i+rr^ri+ yi,+ mI" v.-'+ .^rVil
La somme des termes qui suivent Tunité dans la première grande parenthèse est la vaileur d'une rente viagère tempomire de 1 fr . pendant i — 1 années, sur une tète de n années (858;873). En désignant cette valeur par A?*-*, on pourra écrire-
C = Pv.(i + ry-*.(i + Ar*-') — Pv«(i +r)'.A:+'^
ou C = P*.(l+^r"*0— ^Aî^"*)- w
Et la part x de «chacun des v^ survivaats à Tépoque de la liquidation sera
»=— =•?.—•(! +rr. Cl- ^a:^0- CT
4i6 SOLUTIONS DES PROBLÈMES
2« Dans l'exemple proposé , on a P = 1000 fr. , t?« = 657 ,
Vgo = 463, r = 0,046, < = 20.
Le tableau du n* 860 donne Am = 14,254. Le même tableau donne Sm^»-.! ou S» =4584, 147. La valeur d'une rente viagtee de 1 fr., différée de 19 ans, et sur la tète d'une personne de 40 ans,
sera exprimée par ', ^y, c'est-à-dire 3,0233... ou sim-
plement 3,023.
La yaleur d'une rente viagère temporaire de 1 (r. pendant 19 ans, sur une tète de 40 ans, est donc
14,254 — 3,023 ou 11,231.
Par conséquent on aura pour l'expression de x,
En effectuant les calculs indiqués, on trouve x = l6iV^77.
OSS. L Le dïipUal d'une rente viagère de 1 fr. , sur une tète de 60 ans est, d'après le tableau du n"" 860, de 9',346; le capital d'une rente viag^e de 1200 fr. dans les mêmes conditions, sera 1200 fois plus grand, c'est-à-dire 11215^,20. Telle aurait dû être la part du sociétaire à l'époque de la liquidation. Les antres données étant les mêmes qu'au numéro précédent, on devra avoir, en désignant par P la mise demandée,
11215',20 = P.g^.(l,045)«.(l— 0,045.11,231) ou 11215^,20 = P X 1,61977;
A'où l'on tire P = \ «.o-rT = ««î*.»*.
l,01îf//
II. On aurait pu obtenir cette valeur par une simple proportion; car les conditions étant les mêmes qu'au numéro précédent, on doit avoir
P : lOOtf = 16i9',77 : 112iy,20;
d'où l'on tire la même valeur pour P que ci-dessus.
838. l"" Conservons les notations du n^" 931; et supposons que le nombre primitif des associés soit v». L'ensemble des mises primitives sera If.v»* Au bout de la pre-
inlère année, ce capital sera devenu Vv^(l+r);m^s il devra être diminué des mises des sociétaires décédas pendant Tannée, c'est-à-dire de P(t?« — t?,+i) , ce qui donne
Au bout de la seconde année, ce capital sera multiplié par 1 -f r, ce qui donne Pv^ (1 + rf — P(Va — • v^+0 (1 + r); mais il devra être diminué des mises des sociétaires décédés pendant Tannée, c'est-à-dire de P (t;»+i — v»^) , ce qui donne
Au bout de la troisième année , ce capital sera multiplié par (1 + r) ; mais il devra être diminué des mises des sociétaires décédés dans Tannée, c'est-à-dire de P (v,+i — 1^« «) , ce qui donnera
Pt;«(l+r)»-.P(v,—t;,+0(l +**)•-?(«'- i-v-+0(l +r)
En continuant ainsi , on verra qu'au bout de la t^* année , c'est-à-dire à Tépoque de la liquidation, le capital social C aura pour valeur
Pt^- (1 +rY — V iv. — v.+i) (1 + rr* — P (V.+1— v,+0 (1 + rr* . . . . . . — P (v*4,-f — V. f ^i) (1 + r) — P (r.+r-i — v»+»).
Cette valeur de C peut s'écrire
C=P(i + r)[r.(l + r)^*+t;«+i(l+rr«+. • . -f t;„H-i] + Pf.*.
ou bien
C=Pr[e?.(l+r)'-* + t;,+i(l+r/-« + . . . + v.^i] + Pvn^,
ou encore
Or, la quantité qui suit Tunifé dans la grande parenthèse est la valeur d'une rente viagère temporaire de 1 fr. , pendant / — i
SOLUT. DES PROEL. 27
418 âULUTIOnS DBS VftMLfenS
afinéai, smrtiiie Idtc de liage »; en la ééàgttmMk^m par ^àt^*^f on wia ^ione
[1] C = PiT,(l + r;*-*.[l + A:^T + Pi?^.
La part de chaque sociétaire, à Tépoque de la liquidation, le quotient de € par tr«^; en l'appelant x, on aiva par qnent
Le premier terme de cette expression représente la quantité dont le capital primitif P s'est accru.
!S" Dans l'exemple proposé, on a P = 1000 fr., ««=419, t% = 4B3, r = 0,0^5, t = S,0. On a d'aiUeon tfoo^ «a n* 9H, AS = 11»231 ; on aura donc
x= 100O'.O,O45.^.(1,O46r(l + 11,231) + lOCtf.
Ëa.efiéctuanl les calculs, on trouvera x = 2S08',&7. 954. On a trouvé au n* "950
