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L'équation [1] du numéro précédent deviendra donc, en nommant P la mise demandée, et en remarquant qu'on a r«s = 622,

ou, en effectuant les calculs indiqués dans le second mendire,

2802',47 = PX 2,140167; d'où Ton tire

93tf . Soit p la mise annuelle de chaque sociétaire; et supposons toujours que leur nombre soit v»n

Au début de Tassociation, la mise totale sera pv^.

Au bout de la première année, la mise sera devenue p„^(t -j-r). A ce capital s'ajouteront les mises des survivants, c'est-à-dire pv^+i] mais il faudra en retrancher les mises des

SUR Là POPUUTION, STC. 4i9

sociétaires morts dans l'année» c'ttt-à-dire p(ty« — r^^i), ce qui

donne

|w.(l + r) + jw^ — p(v, v^j,

ou |w«.r + 2jWi44.

Au bout de la deuxième année^ ce capital sera devenu

A ce capital s'ajouteront les mises des sonivants ou pVn^\ mais 8 en faudra retrancher le capitd des mises fournies jusqu'alom par les sociétaires morts dans Tannée, c'est-à-dire tp^p^^-^Vn^t ee qui donnera

ou pvjr (1 + r) + 8|»»H.r + 3|w»+i.

Au bout de la troisième année, ce capital sera devenu

pvnr (1 + r)« + ipVn^i r (1 + r) + 3iw,+. (i + r).

A ce capital s'ajouteront les mises des survivants ou pvn^\ maïs il en faudra retrancher les mises fournies jusqu'alors par les sociétaires morts dans Tannée , c'est-inlire 3p(t;«+i— ty,4«); ce qui donnera

En continuant ainsi, on verra qu'au bout de ;ia t^^ année , le capital social aura pour valeur

pt;.f {l+r)*-* + 2lw.+ir(l+f)*-* + 3i>t?.+,r(l + rr«+. . .

Si donc on désigne par x la part de chacun des v^j^ survivants à C£tte époque, qui est celle de la liquidation, on aura, en divisant par ViH^i

420 SOLimOIfS WS FROlLfiUS

Dans l'exemple proposé, on anra

Pour calculer la quantité entre parenthèses , on nnilliplien r^ ou 657 par 1 ,045 ; on ajoutera au produit 2 foisoit ou S Ims 6S0i et Ton multipliera la somme par 1,045; on ajoutera an prodoil Zvtê ou 3 fois 643, et Ton multipliera la somme par l,OUî; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait ajouté âOvb ou 20 fois 47fi.

Le calcul, quoique long, n*est pas excessivement pénilde;et on l'abrégera en remarquant que pour multiplier un nombie par 1,045, il suffit d'y ajouter la moitié de son dixième et de retrancher le dii^ième de ce qu'on a ajouté. On trouvera ainsi

ou x=pX 36,42458.

Or, la valeur de x est supposée égale à 1000 fr. (933); on aura donc

936. D'après la table de Deparcieux, sur 1286 enfants ne dans la même année, 814 seulement atteignent Tftge deSOaos.

Soit J? la mise unique demandée; si chacun des I286en£tfit$ dont il s'agit verse la même mise, la mise totale sera 1286. x. Au bout de 20 ans , les intérêts étant calculés à 4 pour 100, <^ capital sera devenu

et ce capital définitif,^ divisé par 814, devra donner 24O0O fr. On aura donc

1286.ar>(l,04r ,, . 24000^X814