SOLUTIONS DES PROBLÈMES ELEMENTAIEES SUR LES SCIENCES APPLIQUEES
§ i . QnesCloiis .de Ccéométrle appliquée (*}•
1001. Les 371 pas font 371 fols 0",78^ c'est-à-dire 289»,38. En désignant par x la longueur demandée, on doit donc avoir
a:v/2-289-,38, d'où a:=?5Ç??§
ou, en multiplant les deux termes par \/2,
En faisant le calcul à un décimètre près, ce qui est suffisant dans une pareille question, on trouve x = 204'",6.
1009. Les 6 lumières sont les sommets d*un hexagone régulier inscrit dans un cercle de 2 1 mètres de diamètre. Pour la facilité du discours , nous les supposerons numérotées en faisant le tour du terrain. La dislance de la lumière 1 à la lumière 2 est le cAté de rhexagone, c'est-à-dire la moitié du diamètre, ou 10*,5. La distance de la lumière 1 à la lumière 3, est le côté du triangle équilatéral inscrit, c'est-à-dire 10",5 v/3, ou 18'»,186.... La distance de la lumière 1 à la lumière 4 est le diamètre, ou 21 mètres. La distance de la lumière 1 à la lumière 5 est encore 10^,5 ^ ou 18">,186.... Enfin , la distance de la lumière 1 à la lumière 6 est encore la moitié du diamètre, ou 10",5.
1003 Les 8 lumières seront les sommets d'un octogone ré-
(*) Voy. pour les théorèmes employés dans ce paragraphe, notre Géométrie théorique et pratique ^ 4* édiUon, chex HacheUe et Oie.
gulier inscrit dans un cercle de 21 mètres de diamètre. Nous les supposerons numérotées en faisant le tour du terrain. La distance de la lumière 1 à la lumière 2 est le côté de Tocto*
gone. 11 a pour expression 10^,5. ^2 — v^, ou, en effectuant le calcul, 10",5 X 0,7654, c'est-à-dire 8",04 à moins d'un demicentimètre près, par excès.
La distance de la lumière 1 à la lumière 3 est le côté du carré inscrit, c'est-à-dire 10~,5.v/2 ou 14"»,85.
La distance de la lumière 1 à la lumière 4 peut se déduire de celle des lumières 1 et 2 ; car ces deux distances forment les deux côtés d'un triangle rectangle dont Thypoténuse est le diamètre du cercle. En nommant donc R le rayon et x la distance cher* cbée , on doit avoir
d'où a?« = R*(2 + \^2)
et a? = R V2 + v^2 = 10»,6 . V^2 + v^.
c'est-à-dire x = 19",40.
La distance de la lumière 1 à la lumière 5 est le diamètre, ou 21 mètres.
Les distances suivantes sont respectivement égales aux précédentes; savoir:
la distance 1 — 6 est égale à la distance 1 — 4, ou . . . 19*»,40
— 1—7 — 1 — 3, ou ... 14 ,85
— 1 — 8 — 1 — 2, ou ... 8 ,04
1004. Soit X la longueur du rectangle et y la largeur. On aura
d'abord
Le chemin parcouru par le cheval de course se compose de 2 a;, plus la circonférence d'un cercle qui aurait 666 mètres de diamètre. On a donc
2a; + 666. ic = 15,6 X 300,
d'où a? = 7,8 X 300 — 333 X 3,1416,
ou 0? = 1293-,85.
1005. La superficie demandée équivaut à celle d'un rectangle qui a 1293",85 de base et 666 mètres de hauteur, plus la super-
U» SOLtmOMS DES PROBLEMES fiL£MBNTAIKE3
ficie d'on cercle de 666 mètres de diamèlre , ou SM mèlmi *
"^îTBuperÛcie an rectangle est ï»3,85 X 666 . c'e^Wn 861704*',I0. La superficie du cercle est (333)*. x, c'csW-fe 3i8378-',88. La superficie demandée est la somme de ces dm nombres, c'est-à-dire 1210072-',98, ou, à très peu près , lîtOTOT, qui équÎTaleut i 121 hectares et ?3 centiares.
1006. Le cODtour dont il s'agit est exprimé [lOOl) jk 15-,6 X 300, c'est-^-dire 4680 mètres. Si R désigne le rayoïi cercle ayant le mfime contour, on devra aToir
2tR=4680-, d'où R = ==^, ou R = 7W-,84.
La superficie de l'hippodrome a été trouvée {IWS/ ii 1Î10073"'; en nommant R le rayon du cercle équivalent,* devra avoir
kR» = 1M0W3, d'où R = y/l*i^ ou R = 630-,63.
iOOT. 1° Le côté du carré serait la racine carrée de 34[r, c'esl-à-dire 68",472....
2- Si l'on désigne par a le côlé d'un Iriangle équilatéral, d par S sa surface, on a
Dans l'exemple actuel on am-a donc
d'où l'on tire par logarithmes
.3° La surface de l'hexagone régulier dont le côté est #, es exprimée par
S = »^, d'où . = ./5Ç
Dans l'exemple actuel on aura donc
3v/3 d'où Ton tire par logarithmes
kl" La sm*face de l'octogone régalier inscrit dans un cercle dont le rayon est R, a pour expression
S=2R«v^} et le ctAé de cet octogone a pour expression (1003)
Ea élevant cette dernière égalité au carré, on obtient
et, en divisant celle-ci membre à membre par la première , il vient
1=!^, d'où .= .nS3^.
ce qu'on peut écrire
Dans l'exemple actuel, on aura donc :
En efieeinanl les calculs, on trouve a = 2a"',609«
1008. On sait qu'en appelant p le demi-périmètre» S la surface du triangle, et a, b^ c ses trois c6tés, on a
S= v^p (p — a) (p — ft) (p — c) .
Dans l'exeinple actuel, en faisant la somme des trois cotés, on trouve 867",8 ; d'où résulte p = 433",9. Par suite,
On aura donc
S = v^433,9. 116,3. 135,5. 182,1- En opérant par logarithmes, on trouvera aisément
1009. Ce terrain a la forme d'un trapèze, dont les bases ont respectivement 598"',7 et 623"',4, et dont la hauteur est 319",5. La demi-somme des base's est 611",05. La superficie du champ sera donc exprimée par 611",05 X 3l9'",50.
Le prix de Theclare de ce terrain étant 61500 fr. , le prix du mètre carré est donc 6^,15; par conséquent la valeur du champ sera exprimée par
En effectuant les calculs, à un centime près, on trouve 1200667',42.
iOiO. La hauteur d*un trapèze est la même que celle d*un triangle qui aurait pour côtés les deux côtés non parallèles , et pour base la différence des bases du trapèze ; dans le cas actuel, les trois côtés de ce triangle seraient donc 49", 63", et 238" — 210^, c'est-à-dire 28 mètres. Si Ton cherche , comme au n"" 1008, la superficie de ce triangle , on trouvera qu'elle a pour expression
\/70.42.21.7 ou 14.21^5.
En divisant cette superficie par la moitié de la base, c'est-à-dire par 14 mètres, on aura la hauteur 21 . v/5.
La demi-somme des bases du trapèze est d'ailleurs 324 mètres ; sa superficie sera donc exprimée en mètres carrés par
En divisant le prix du champ, ou 60000 fr«, par le nombre de
mètres carrés qui exprime sa superficie , on aura la valeur du mètre carré de cette terre , c'est-à-dire
eoooo'
et, en multipliant par 10000, ou aura le prix de Tbectare
eoooooootf
En effectuant les calculs y par le secours des logarithmes , on trouve 57042S54.
1011. La superficie de la salle est ll"'»^ x 7"',4, c'est-à-dire 85^,10. fl s'agit d'obtenir la superficie d'un carreau. Si l'on appelle R le rayon du cercle circonscrit, la distance de deux côtés
parallèles sera R v^ ; on aura donc R y/S = 0~,22, d'où
La snperfide du carrean a d'ailleurs pour expression
o 8RV3 S ^,
et, en mettant pour R sa valeur.
Le nombre des carreaux nécessaires sera donc
En effectuant les calculs à une unité près, on trouve 2031 carreaux, qui, à raison de 90 fr. le mille, valent 182',79
n faut ajouter à cette somme 1^55 par mètre carré t c'est-à-dire l',55X85,10 ou 129,91
La dépense serait donc 312^70
itt, en ajoutant 10 pour 100 ou 31 ,27
Ion obtient un total de 343',97
on à très-peu près 344 fr.
1019. Ce tuyau a la forme d'un cylindre; sa surface a donc
SOLDT. DIS PROBL. 30
466 SOLUTIONS DES PROBLÈMES fiLtUSHTAIRES
pour expression «.0*,60.8" ou 15"^»0S à moûis d'oa demH4éâ* mètre carré.
lOiS. n faut d'abord éyaloer 1» saperficie du toit, et, poor cela, calculer son arèle dms fe sens de la plus grande pente; c'est l'hypoténnse d*un triangle rectangle qui a pour côtés de Tangle droU, d'une part la hauteur, ou 7*,20, de Tantre h moitié du diamètre de la kase, uu 9rfiS; en appelant a cette arête, on a donc
D'après cela, la superficie du toit a pour expression
^■"•^PWW^
eu MO^;a.
Le nombre d'aidoîses néceiMiies s«ra doue 48 xiUI,79s c* à-dire 1011 8 à une unité près. Ce nombre divisé par 1040 donne pour quotient 9 et pour reste 758 ; le prix demandé se composera donc :
1* de9loîi«fr.,c'e9t-ft-âire. 189^,00
2* du produit de 21 fr. par 0,758 , c'est-à-dire. • • • 15 ,92
En touL . . 204',92
1014. Le rayon du secteur, qui derîent Faréte âa cône , est rhypoténnse d'un triangle rectangle qpî a pour côtés de l'angle droit d'une part la kantenr 3*, de Pantre la moitié du diamâre de Touyerture, c'est-à-dire 1'; en nommant donc R ce rayon exprimé en décimètres , on detni anmr
Quant à l'angle au centre du secteur, il est à 360^, comme l'are qui sert de base au secteur est à la circonférence enfière , ou eoumie la- eMnconférence de Fouyerture du cône est à la circoniérence qui> aurait 1 pour rayon; en appelant x l'angle dierdié, on doit donc ayoir
a::380*=2ic.l':2ic.a^l6a, à moins d'une minute prèa.
8CK %ËS SGIBHGES AFPUQUÉES. 467
IMB. Il faut (f abord éralner la supérfieie à recoiiyrir.
Le fond est un cercle de 12"" de diamèlre ; sa sapecftcie est
donc
ir.ff on IM-'jlO
à moins d'un décimëtre carré frès, par excès.
La paroi est la surface d'un tronc de cône. Son arête est Thypoténuse d'un triangle rectangle dont Tangle droit a poar côtés, d'one fMurt la profondeur 2.", de l'autre la différence des rayons des bases, c'est-à-dire 8* — 6" ou 2*"; cette arête a donc pour Taleur, en décimètres ,
V'î+î, ou \/8, c'est-à-dire 2'-,828;
la superficie de la paroi a donc pocur expressioa
«(8^+©*). 2*^2» ou I24f^,38,
par conséquent la sup erficie à reconyrir est 237^,48 .
Le prix de reyient, par mètre carré, étant la so&ome des nombres
l',80, CjW et (r,10, c'est-à-dire 2',30,
la dépense demandée sera le produit de 2^30 par 237,48 , c'estb^re 546^,20.
1016. On peut calcider d'abord la hauteur du cône dont Tabat-jour fait partie; soit h cette hauteur exprimée en décimètres , on devra avoir, par de» similitudes lEaciles à apercevoir,
A:A — 2 = 4:1, d'où *=5| = 2^,fl7.
L'arête du ctee entier, ott le rayon du grand seetenr, est l'hypoténuse d*un triangle rectangle qui a pour côtés de l'angle droit, d'une part la hauteur trouvée 2^,67 , de l'autre le rayon de ia base , ou 2<' ; en appelant R ce rayon exprimé en décimètres , on aura donc
L'arête du cône retranché, ou le rayon du petit secteur, sera donné par la proportioa
f:R=l:4, d'où r=5:H§= 0^,834.
468 SOLUTIONS DES PROBLÈMES ÉLÉIElfTAIlISS
Quant à l'angle au centre, il s'obtiendra comme an n^ 10i4» par la proportion
d'où ^='^^*sm'^^^^'^
à moins d'une minute près.
1017. Le rayon de la sphère étant ici de 9», la superficie de la demi-sphère formant le dAme est exprimée par
2it,9» ou 508-1,94
à moins d'un décimètre carré près. La dépense demandée sera
donc
Î',50X 508,94 ou 1272S35.
1018. Le volume de la poutre est exprimé par
