V : 20^,944 = a: : 1 , d'où v

La hauteur due à cette ritesse est par conséquent

(21^,944)'. ag* (20^,944)^.0,02.

en effectuant les calculs , on trouve

0»,44720 ou 0»,447, La force vive demandée a donc pour valeur

9tf^,476 X 0-,447 , c'est-à-dire 40fa»,442....

1109. Soit F l'intensité de la force cherchée ; son in^afl mrait F X2-,75. Et, puisqu'il n'y a pas de forces lésistaates^ que le boulet part du repos, c'est-à-dire que sa force vite iflit* est nulle, il doit y avoir égalité entre le travail moteur et la fort vive produite. Or, on a vu au n"" 1 103 que la force vive dnh)S^ let, au moment où il sort de l'âme de la pièce, est t5!92S^,X< on aura donc

F X 2«,75 =:= 152923»«»,86 , d'où l'on tire

1110. Le travail de chacune des deox fiNnoes an bort ^

10 tours sera égal au produit de cette force par 10 fois la circon* férence décrite par un point de la surface du cylindre, c'est-à-dire par 2 ?c X (y^y^O X 10 ou 4 ir. La difiTérence entre le trayail moteur et le ti*avail résistant sera donc exprimée par

en désignant par F la force motrice cherchée. Mais, d'après le principe énoncé au numéro précédent, puisque le cylindre part du repos, la différence de travaux qu'on vient d'écrire devra être égale à la force vive produite, c'est-à-dire (1108) à 4tf™,4M; ainsi on aura

(F — 100^).4». w = 40»™,442 , d'où Ton tire

e- par suite,

illl. Le travail par seconde est 60*^X0,15 ou 9^. Or, dans 8 heures, il y a 8 x 60 x 60 ou 28800 secondes ; le travail journalier est donc 9^ X 28800 ou 269200*".

1112. Soit X la vitesse moyenne demandée, le travail par seconde est 8^x^; et, par conséquent, le travail journalier a pour expression 8^ X ^ X 28800. On doit donc avoir

8»^ X a? X 28800 =1 172800^ , d'où Ton tire

1115. Soit X l'effort moyen demandé; le travail par seconde est X X O^'fOO ; et , par conséquent , le travail journalier a pour expression œ X O^yOO x 28800. On doit donc avoir

a? X 0»,90 X 28800 ^ 1 166400^ , d'où l'on tire

1114. Dans une journée de 24 heures, Uya 24X60X60 ou 86400 secondes. Le travail journalier d'une machine de 10 chevaux serait donc exprimé par

76^X86400X10 ou 64800000^".

Pour obtenir le nombre de chevaux demandé , il faut diviser

ce nombre par le travail journalier d*un cheval, c'est-à-dire par 1166400, ce qui donne 55,5. . . ou 56 chevaux effectifis.

ilitt. On aura d'abord

A = 0",6 X0",4 = 0^,24 ; et , par suite ,

Q = 0,62 . 0^,24 v^9-,8088X2Xl",75.

En efiTectuant les calculs, on trouvera Q = 0"'"*,871856, oo un peu moins de 872 litres par seconde.

1116. On devra avoir, d'après l'énoncé,

0-«*,871856 = 0,42 . 5« . A V'2 X 9,8088 . h , équation qu'on peut mettre sous la forme

Jiv/Â =

0«.cubg7ig5g

OU , en effectuant les calculs ,

A V/X = 0,093735. .• • Élevant les deux membres au carré , on obtient

d'où h = v^(0,093735)«.

En effectuant le calcul par logarithmes , on trouve

1117. La vitesse à la surface étant 1">,05, la vitesse moyenne a pour Valeur 1",05 X î ou 0"',84. L'expression de la dépense est donc 7™ï,40 X 0",84 ou 6"«*,216.

1118. L'aire de la section transversale a pour expression

i(7» + 4«) X 2», c'est-à-dire 11"'.

Pour avoir le périmètre mouillé, il faut connaître la longueur du talus. Or, il est aisé de voh* que cette longueur est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l'un des côtés de l'angle droit est la profondeur du canal, ou 2">, et dont l'autre côté de Tangle droit est la moitié de la différence entre les deux bases , c*e5t-à-

dire ^ (7™ — 4") ou l^jS ; en appelant / la longueur du talus , oy

a donc

Il en résulte que le périmètre mouillé a pour valeur la base inférieure du trapèze, ou 4", plus 2 fois le talus, ou 2 fois 2",50 , ce qui fait en tout 9"".

La quantité R a donc pour valeur -g^» ou 1,222...; et le produit de cette quantité par 0,0002 est 0,000244. « . • On a donc l'équation

0,000244 = 0,000024 U + 0,000366 U* ou 3661P+24U = 244.

On en tire, en ne prenant que la racine positive ,

Par suite, la dépense demandée a pour expression

1 l"ï X 0",784 , c'est-à-dire 8«-'^'*,624.

1119. 1* On a trouvé au n"" iliiS que la dépense du cours d'eau considéré était de 872 litres par seconde, ce qui représente un poids de 872^. La hauteur de chute est d'ailleurs 1"',75. La puissauce absolue de la chute aura donc pour expression

872»'X1'",75 ou 1526*».

2'' Pour avoir le nombre de chevaux-vapeur demandé , il faut diviser ce nombre de kilograramètres par 75*^, ce qui se fait commodément en ajoutant au nombre à diviser son tiers , et en divisant ensuite par 100. Le tiers de 1526 est 508. r. ; la somme de ces nombres est 2034; et en divisant par 100 on obtient 20,34 , c'est-à-dire 20 chevaux et ^.

1120. Le travail demandé aurait pour valeur

20«»»,34 X 0,80 ou 16«'-%27, c'est-à-dire un peu plus de 16 chevaux et \. 1181. La vitesse angulaire a, dans ce cas, pour valeur

■^ ou 3-,t4.

La vitesse de l'extrémité de^l'aile est donc S-.l^X 8 ou 3i»»,12.

506 SOLUTIONS M8 PBOW-SKS ÉL««BWIA»ES

Par conséquent la vitesse da Ycnt est les | de 25^,1« , c' dire 9",42. On a donc

T=0,13Xl6«iX(»,42)»= 1738*-,66.

En divisant par 76 , on trouve qnè ce travail revient à M**.!l

itSS. Dans Vexemple proposé, on a n=5; le logaritinsè ce nombre , dans le système dont la base est 10 , est 0,6969?». pour avoir le logarithme da même nombre dans le système tt la ba« est e, il ft«t diviser 0,eW97t)0 par le losaritkBeàr c'est-à-dire par 0,4342945, ou, ce qui revient au mtee^k multiplier par l^UOêil ; on obtient ainsi l»60MiS79.

D'ailleurs, le rapport ^ a pour vakw M ; on a donc

T = llOOOOM^.d + l,0i0487d — ^,1) ou T = 1 lOOOÔ^ X «,5094379 = 276038^,17.

1125. La pression p étant égale à P, Texpressioit entre puathèses se réduit à 1,6094379 ; on a donc

1184. Calculons d'abord le travail produit à chaque ctmmi piston; il se compose du travail produit avant la défente, ptel travail pendant la détente , diminué du travail de la presi

dans le condenseur.

Le diamètre du piston étant 0^,6, sa surface est it.^fif-^ pression d'une atmosphère sur 1 mètre carré de surface éW 10334 kilog. , une pression de 2 atmosphères i éqœnntai 10334* X 2,5 ou 25835 kilog. La pression sur la swfaceda pMi a donc pour expression

Le travail de cette force dans la période qm précède h ééÉ*

est donc

puisque le piston ne parcourt dans cette période que le quart de 1™,40, c'est-à-dire 0p*,35* Le travtdl de la détente a pour valeur (ilOi)

25835*.ic. (0-,3)».0»,35.1og'4

ou 25835»'.ir.(0»,3)».0°»,35. 1,3862944 ,

attendu que le logarithme népérien de 4 est 0,6020600 X 2,302^^ ou 1,3862944.

SUK LES SGIBNGS8 ÀPPUQUÉES. 507

La presskm en sens contraire exercée par la Tapeor cfui est en communicatîon avec le condenseur a pour expt easkHi

et son trayail est

10834^ X O,l,ir.(0«,3)*.Cr»,M X 4,

ce qu'on peut écrire :

25835k.it.(0-,3)«,O^,35,5iL^

ou 25835'.ic.(0»,3)«.0«^,35.0,16,

Le travail total par une coucse du i»stott a donc pour valeur

[1] 26835^.ic.(0»,3)*.0«,35.(l + 1,3862044) — 0,16)-

Le travail par minute est le produit de cette expression par 90 ; et le travail par seconde s'obtiendra ensuite en divisant par 60. On voit donc que Texpression du travail en chevaux* vapeur est

25835fc,ic.(0",3f .0P',3S(1 + 1,3862944) — 0,16), 90 ^^J 60X75

En effectuant les calculs, on trouve 113'^*%8.

2* D'après la formule du n"" 1122,1e travail produit par 1 kilog. de houille aurait pour valeur

Mais, puisque la machine n'utilise que les 0,45 du travail que pourrait donner la vapeur sortant de la chaudière , il faut, pour avoir le travail réel produit par 1 kilog. de houille^ multiplier Texpression ci-dessus par 0,45, ce qui donme

D'un autre côté , le travail par course de piston étant donné par l'expression [l] ci-dessus , le travail par heure a pour valeur

[4] 25835^ic.(0",3y.0F»,36.(l + 1,3862944 — 0,16).90. 66

En divisant donc l'expression [4] par l'expression [3] on aura le poids du combustible brûlé par heure ; on trouve

ou, en effectuant les calculs) 278^,905.

En divisant ce nombre par 113^8, on obtient le poids de combustible brûlé par cheval et par heure ; on trouve 2^,45.

ilStt. En divisant 288 kilog. par 4^,8 on obtiendra le nombre de cheyaux-vapeur qui exprime la force de la machine; on troore 60 chevaux.

Mais le nombre de chevaux peut être exprimé d'une autre manière.

La pression initiale sur le piston est exprimée par

10334^5.ic.(0»,16)»-

La course du piston étant O'^jSO, et la détente ayant lieu jusqu'à ô fois le volume primitif admis dans le cylindre , la portion de la course parcourue par le piston avant la détente est le cinquième de 0^,80, c'est-à-dire 0"*,16. Le travail développé par chaque coup de piston aurait donc pour expression

10334^5.it-(0-,16)«.0«-,t6 (l +log' 5 — |V

Mais ici/) représente une atmosphère, et P qui est le cinquième de la pression dans la chaudière représente également une atmosphère; en se rappelant donc que log' 5 = 1,6094379, il restera

10334* . 5 . ic . (0», 16)M ,6094379

poifr le travail développé à chaque coup de piston. En multipliant par 4 on aura le travail développé à chaque tour de roue.

Mais si x désigne le chemin parcouru en une heure par la locomotive, le nombre des tours de roue sera exprimé par

i",6it' Le travail total aura donc pour expression

10334^5. ic.(0",16)M,6094379.4. a?

l«,6.it

Le travail par seconde s'obtiendra en divisant par 3600, et le nombre de chevaux en divisant de nouveau par 75.

Mais, d'après l'énoncé, pour avoir la force réelle en chevaux, il faudra encore multiplier par 0,32. On devra donc avoir

d'où Ton tire

X as

10334 . 5 . te . (0. 1 6)M ,6094379 . 4 . 0,32

OU, en simplifiant

En effectuant les calculs, on trouve x = 59450 mètres, ou un peu moins de 59 kilomètres ^.

1126. On remarquera d'abord que Test l'hypoténuse d'un triangle rectangle dans lequel les côtés de Tangle droit sont a et 6, on aura donc

Par suite

OU enfin F = 2500^

1127. On aura

En effectuant le calcul, on trouve

1128. Puisque dans une minute la roue conductrice fait 10 tours, et qu'elle a 60 dents, il passe dans ce temps 600 dents au point de contact des deux roues; il en passe par conséquent 10 dans une seconde , ce qui équivaut à un arc de 0",06 X 10 ou 0^,6. Et comme l'effort transmis est de 1840 kîlog., le travail par seconde est 1840*'X 0"»,6 ou 1104 kilogrammètres, ce qui répond à 14«*"",72.

I. Le travail consommé par le frottement dans un tour de la roue conductrice étant 57^*^,8, sera de 578 kilogrammètres pour

10 tours , c'est-à-dire par minute, et par conséquent de -^ ou

9^,63 par seconde. Le rapport du travail consommé par le frottement au travail moteur est donc celui de 9,63 à 1104, c'est-àdire 0,00872. ...

IL On aurait pu obtenir ce rapport d'une autre manière en remarquant que l'expression générale du travail i;noteur pour un tour de la roue motrice est

T' = N.na

et que, en vertu de la formule donnée dsms l'énoncé, l'expression

510 SOLUTIOICS DES PRMLtnS ËLËMBHTAIBES i

générale du rapport entre le traYail du frottemcDt et ie li^ moteur est

Dans rexemple proposé on anra donc T ^^ -i.i^-s /l I 1\ 0,31416X5 ^

comme ci-dessus.

1189. Si Tarbre est en bois, on aura