II. La formule [2] du n"" 69S donne

logA — logg '•- log(l + r) '

dont Tapplication conduit aux mêmes calculs et au même résultat.

III. Puisque 240000 fr. produisent un capital définilif de 389484^70, le capital produit par 1 franc ser^iit 240000 fois moindre ; en divisant 389484',70 par 240000 on trouve 1^6228529... ou simplement 1^622853 en s'arrêtant à la sixième décimale. Or, si dans la table du n*" 606 on suit la colonne verticale qui se rapporte au taux de 4 i, on trouve que le nombre 1,622853 répond à la obzième ligne horizontale. Le nombre d'années cherché est donc 1 1 .

700. I. Puisque le logarithme du capital définitif se compose du logarithme du capital primitif, augmenté de 5 fois le logarithme de 1 plus le centième du taux, ce dernier logaritbine s^obtiendra en prenant le cinquième de la différence entre le logarithme du capital définitif et le logarithme du capital primitif.

Le logarithme de 23626,28 est 4,3715348

le logarithme de 18000 est 4,25527i5

la différence est donc 0,ll626î3

le cinquième de cette différence est 0,02J25î5

C'est le logarithme de t,066.... En retranchant une unité, on obtient 0,056... qui exprime le centième du taux. Le taux luimême s'obtiendra donc en multipliant ce résultat par 100, ce qui donne 5,5 ou 6^.

IL La formule [2] du n"" 60B donne

,og(i + r) = Î2£Az:i2£f,

formule dont l'application conduit aux mêmes calculs et au même résultat.

III. En divisant 23625',28 par 18000, on trouve i',306960 pour le capital définitif produit par un capital primitif de 1 franc Or si, dans la table du n*" 690, on suit la ligne horizontale qui ^ rapporte à une durée de 6 ans, on trouve que 1,306960 est dans la colonne verticale qui répond à un intérêt de 6^ pour 100.

Le taux demandé est donc 5^.

SUR LES INTËRÊTS COUPOSËS. 305

701. On a TU au n^" 694 ([u'une somme de 12500 fr. placée pendant 7 ans à 4 ^ pour 100 et à intérêts composés , produit un capital de 17010S77. Il reste à ajouter h cette somme ses intérêts simples à 4 ^ pour 100 pendant 5 mois.

Or, puisque 100 fr. en 12 mois rapportent . . 4',50

100 en 1 — rapporteront.

100 fr. pendant 5 mois rapporteront.

1 fr. — rapporterait .

et 17010^,77 pendant 5 mois, rapporteront

en effectuant les calculs, on trouve 318',96.

En ajoutant ces intérêts à 17010^77, on obtient pour le capital définitif demandé 17329^72.

702*. D'après la formule [i] du n» ÔOH, le capital A' produit au bout du nombre entier n d'années a pour expression

L'intérêt de 1 fr. par an étant r , Tintérêt de 1 fr. pendant une fraction k de r§nnée sera kr^ et l'intérêt de A' pendant le même même temps sera k'kr. Le capital définitif A est donc donné par la relation

A==A' + A'A;r ou A = A'(H-^r)

ou, en mettant pour A' sa valeur,

[3] A = a(l+rr(l + Ar): -

c'est la formule demandée.

En lui appliquant les logarithmes, on obtient

[4] log A = log a + n log (1 + r) + log (l + A;r).

703*. On tire de la formule [4] ci-dessus

loga = log A — [» log (l + r) + log (l + kr)]

OQ, en remplaçant les lettres par leurs valeurs ,

log a = log 120000 — [6 log 1,05 + log (l + ^.0,05)].

LelogariÛime de 120000 est 5,0791812,

SOLUT. DES PROBL. 20

306 SOLUTIONS BBS PAOBtfiHES

le logariUmie de 1,05 est 0,0211S03 , et le produit i rithme par 5 est 0,1059465.

La quantité de 1 + ^ .0,05 revient à 1,0125, et son est 0,0053950. Ajoutant ce logarithme à 0,105d465 on obtieat 0,1113415, somme qui, retranchée du logarithme de 120000, donne pour reste 4,9078397. C'est le logarithme de 92862,36. La somme cherchée est donc 92862^36.

704*. D'après la valeur de A donnée par la formule [3] da n* 709, on voit que cette quantité est plus grande que a (1 +r)", mais plus petite que a (1 +r)"+*. En d'autres termes, le quotient de A par a est compris entre (t + rj* et (1 + r)*-*** ; par conséquent le logarithme de ce quotient , ou log A — log a, est compris entre n log (1 -f r) et {n + 1) log (1 -f-r); d'où Ton condol

que la quantité

log A— log g

■■^J log (1 + r)

est comprise entre n et • + 1. Si donc on calcule cette opression, sa partie entière donnera n.

Si alors on divise A par a (1 + r)*, opération qui se fera ptf logarithmes , le quotient exprimera 1 + A;r ; retranchant 1 oa aura *r, et divisant par r on aura A;, fraction qu'il sera facile ensuite de convertir soit en mois, soit en jours.

Dans le cas du problème proposé, l'expression [5] prend pour valeur

log 40000 — log 25000 log 1,04

OU bien

La partie entière du quotient est 1 1 ; la durée du placement ^ compose donc d'abord de il années.

Il s'agit maintenant de calculer le quotient de 40000 p^ 25000.(1,04)".

Pour cela il faut d'abord du logarithme de 40000 retrancher le logarithme de 25000, ce qui donne pour reste, aif»! qu'on vient de le voir, 0,2041199; puis retrancher encore de ce reste le produit du logarithme de 1,04 par 11, soit 0,0170333X1^ ou 0,1873063. Le nouveau reste 0,0167536 est le logaritbiDe de 1,03033.... Retranchant 1, il reste 0,03933...; divisant par 0,0^

El obtient 0,983 ; c'est la fraction d'année qu'il faut ajouter aux 1 années déjà obtenues. Pour la convertir en jours (à raison de 60 jours par an , comme le veulent les usages commerciaux), il iifBt de multiplier 360 par 0,983 et de ne prendre que la partie nlfère dn produit, en forçant Tnnité s'il y a lieu, ce qui donne 54 jours.

la durée du placement doit donc être de 11 ans, 11 mois, 4 jours.

705^^ Dans le cas qui nous occupe, on a A = 2ar en sorte [u'en divisant par a, la formule [3] du n*" 702 peut s'écrire

2 = (1 + r)» (I + kr).

!• Sî r = 0,04 , on trouvera d'abord , en opérant comme au

inméro précédent , que le qMotient du logarithme de 2 par le

0,3010300 ogarithme de 1,04, c'est-à-(fire JTj , est compris entre 17

si 18 ; la durée du placement devra donc èlre d'abord de 17 années.

Divisant maintenant 2 par (1,04)", on trouve, en opérant par logarithmes, 1,026748. Retranchant 1 et divisant ensuite par i),04, on obtient 0,6687, fraction qui, convertie en joigrs, comme iH)as l'avons indiqué au numéro précédent, donne 241 jours. La lurée cherchée est donc 17 ans, 8 mois et 1 jour.

2<'Si le taux est 4 { pour 100, on trouvera, en opérant de même, lue la durée cherchée est de 15 ans, 8 mois et 27 jours.

3"" Si le taux est 5 pour 100» on trouvera 14 ans, 2 mois et Ï3 jours.

706*. La formule [3] du n» 704 ne peut être résolue directement par rapport à r» du moins par les procédés de Falgèbre "émentaire ; mais on peut procéder de la manière suivante.

Comme r est ordinairement une fraction assez petite, et que k

' aussi une fraction , la quantité 1 -{-kr diffère très-peu de

+ f)*; car on a

(l + r)»=l+Ar + iii=i2f« + etc.,

en négligeant le carré de r et ses puissances supérieures, il te dans le second membre 1 + kr.

^ peut donc p^ser approKimativement

A =; a( 1 + r)" (1 + r)^ = a(î + rf^.

d'où l'on tire

1 /* I X logA — loga log(i + r) = -L J.

Cette relation donnera pour r une valeur un peu trop forte, mais suffisamment approchée ; nous la désignerons par n.

Si l'on veut approcher davantage de la valeur exacte, on pourra opérer comme il suit :

On posera (1 + *'') = (^ + *")**>

^^û ^=log(l+r)'

et dans cette dernière expression on remplacera r par sa valeur approchée ri. On aura alors

1» - 1 /4 I N log A — log a

d'où log(l + r)= \^^" ,

relation qui donnera pour r une valeur ri plus approchée que n et qui suffira dans les applications.

DansTexemple proposé, on aura d'abord

log (1 + r)= log 14594.30 -log 10000

,0g (1 + r) = o^mmx^2 ^ ^^^^^^^^^

d'où l'on tire 1 + r = 1,045028... et n = 0,045028. On trouvera ensuite

log (1 + ^.0,045028) __ log 1,026266 ^ log 1,046028 log 1,046028

Par suite

d'où l+r= 1,045 et r, = 0,045.

Le taux de l'intérêt était donc 4^ pour 100.

701*. Si Ton désigne par x le nombre d'années cherché» on devra avoir» en vertu de la formule [1] du n"" 69S»

8400.(1,045)* = 8360(1,06)», relation qu'on peut mettre sous la forme

on en tire

ou bien

log 8400 — log 8360 ^~ log 1,05 — log 1,046

c'est-à-dire â; = 1 . La condition indiquée dans Pénoncê du pro* blême serait donc remplie au bout de la première année.

708 '^. En opérant comme au numéro précédent» on aura successivement *

/105\* 6 puis (î^j =^,

„ log 6 — log 5 0,7781512 — 0,6989700

a oû X— j^g ^^^ ^^^ ^^^ — 2,021 1893 — 2,0170333 '

0,0791812 ,ort.oo-

OU un peu plus de 19 ans.

Si l'on suppose qu'au bout de ce temps les deux capitaux soient restés placés à intérêt simple, la fraction donnée 0,06223 convertie en jours, à raison de 366 jours par an, donne approxi^ mativement le nombre de jours qui doivent compléter la durée du placement. On trouve ainsi 19 jours à ajouter aux 19 ans.

709*. I. En désignant par x Tintérêt de 1 fr. par an dans le second placement , on devra avoir

18000.(1 + ar)"== 20000.(1, 05y«,

ou 9.(1 + a:/» = 10. (1,05;";

d*où l'on tire, en appliquant les logarithmes ,

log(l+x) = logl.06 + '-5£i^^=^5S9,

ou log (1 4- ^) = 0.0211893 + i.ooooooo-o>954a4a5

= 0,02118» + 0,0038131 = 0,0250024; d'où 1 + a; = 1,059269... et a: = 0,059259....

Le taux demandé est donc environ 5,9 pour 100.

II. On peut éviter les transformations algébriques en procédant de la manière suivante. ^

On cherchera d'abord ce que deviennent 20000 fr. placés pendant 12 ans, à 5 pour 100, et à intérêts composés; c'est le problème da n'' 694; on trouvera 3ôei7',13.

On cherchera ensuite à quel taux* il faut placer 18000 fr. peadant 12 ans, à intérêts composés, pour produire un capital définitif de 359l7f,l3; c'est le probl^ne du n* 700; on trouvera 5,9259..., ou simplement 5,9 pour 100 comme ci-desBos.

710''. Une somme a, placée pendant 10 ans à 4^ pour 100 et à intérêts composés, produit un capital définitif exprimé par

Si l'on désigne par x l'intérêt annuel de 1 fn m taux cherdié, l'intérêt de 1 fr., au bout de 10 ans, sera 10^, l'iotérêt de a francs sera lOx'Xa ou lOax, et le capital primitif a, placé pendant 10 ans à ce taux et à intérêts simples, deviendra

a-flOoo?, ou bien a(l + 10a:).

D'après l'énoncé du problème , on devra donc avoir

«(i + 10x) = a(l,045)« oa 1 + 10a?==<l,045)";

d'où X = 0,1 .(1,0453» — 0,1.

En effectuant les cakuls , on trouve

(1,045^=1,5529... et a: = 0,15529,.. —0,1,

ou bien x = 0,05529.

Le taux demandé est donc 5,529..., ou un peu plus de 5i pour 100.

SUR LES INTÉRÊTS COMPOSES. , Ml

IKV, Soit a la somme placée , et n le nombre entier ou fraetionDaire d'années qui exprime la durée du placement. A 4 pour 100 et à intérêts composés , le capital produit est

 5 pour 100 el à intérêts simples^ le capital produit est

a + a. n. 0,05 ou a{\ + w.0,06).

On doit donc avoir, d'après l'énoncé,

a(l,04)» = a(l+«.O,0S), ou a(!,04)» = l + 0,05,h. [1]

Pour tirer de cette relation la valeur de n, on peut faire usage de la table du n" 696. La colonne verticale qui répond à 4 ^ pour 100 contient les valeurs cpie pr^id le premier membre de l'équation [1] ci-dessus, quand on y remplace n par 1,2,3, etc. Si Ton attribue à n les mêmes valeurs dans le second membre, on obtient successiv^nent 1,05, 1,10, 1,15, etc. Or, si l'on com^ pare les valeurs que prennent ainsi les deux membres, on trouve que pour n = 11 , le premier membre prend la valeur 1,539452 , et le second la valeur plus grande 1,55 ; tandis qœ si l'on fait » = 12, le premier membre prend la valeur 1,601029, et le second la valeur plus petite 1,60. Il en résulte que » est compris entre 11 et 12.

Au bout de 11 ans, le capital 1,539452, produit par le premier mode de placement, reste placé à 4 pour 100 et à intérêts simples pendant un nombre de jours que nous nommerons » ; le capital produit est donc

Le capital 1,55, produit au bout de la onzième année dans le second mdde de placement, reste placé à 5 pour 100 pendant le

même nombre de jours a?, et devient 1,55 + 0,05 . «g^«

On doit donc avoir Téquation

qui devient, en effecluant les calculs et simplifiant,

et donne x = 328 jours (par excès).

La durée du placement est donc 11 ans 10 mois et 28 jours.

712*^. Une somme de 40000 fr., placée pendant 2 ans à intérêts composés , produit un capital exprimé par

4000tf.(l+r)%

en désignant par r l'intérêt annuel de 1 fr.

La même somme, placée pendant 2 ans à intérêts simples» produit un capital exprimé par

D'après renoncé, on doit donc avoir

ou (1 + r)« = 1 + 2r + 0,002025,

ou encore r* = 0,002025 ;

d'où f = v/0,002025 = 0,045.

Le taux demandé était donc 4,5 ou 4^ pour 100.

715*. Si l'on convertit d'abord 1 moiâ et 25 jours, ou 55 jours, en fraction décimale de Tannée, à raison de 360 jours par an, on trouve 0,1527777.... En nommant donc x l'intérêt annuel de 1 fr., on devra avoir

(i + xf = l+ 3,1527777...a;, ou bien 1 + 3a? + 3a:* + a:»= 1 + 3,1527777,0?, ou enfin x* + Sx = 0, 1 527777 ... ;

d'où l'on tire ^^ -3 dz,/9 + 0 1527777... X4^

ou, en ne prenant que la valeur positive, et simplifiant sous le radical,

— Z+)/9fil\xn... — 3 + 3,10017...

et enfin x = ^'^^^^'' = 0,05008....

Le taux demandé est donc, à très-peu près, 5 pour 100.

714'. Désignons par r Tiniérêl annuel de 1 fr. Le capital définitif produit par les 30000 fr. sera exprimé par

30000'.(l+r)\ et le capital définitif produit par les 20000 fr. sera exprimé par

On devra donc avoir, d'après l'énoncé,

20000^.(1 +r)«+ 30000^.(1 + ff = 77S6Vy7S,

OU, en divisant tous les termes par 20000,

[1] (1 + f)** + 1,5 (l + ry = 3,8932375.

Pour résoudre cette équation, posons

(l + rf = Xy d'où (l-fr)" = a;% il viendra

équation du second degré, qui n'a qu'une racine positive,

On a donc

(l + r}' = 1,360861, d'où

log (1 + r) = l2Si|?0861 ^ OJ338138^ 0,01911626...,

OU , en s'arrêtant au septième chiffre décimal ,

log(l + r) = 0,0191163.

On en déduit

l + r= 1,045 et r = 0,045.

Le taux demandé était donc 4^ pour 100.

lia*. En désignant par n le nombre d'années formant la durée du placement de la seconde somme , on devra avoir

26000^ . (1 jOSy- + 60000' . (1 ,05r = 1 1 1901',20.

Pour résoudre cette équation , oHjposera

314 SOLUTIONS DES PROBLËKSS

réquation à résoudre devieBdra ainsi

ou y en divisant par 25000,

Cette équation n'a qu'une racine positive

On a , par conséquent ,

relation d'où Ton pourrait tirer n par logarithmes. Mais il e^ plus simple de se servir ici de la table du n*» 696. Si Tod sdl colonne verticale qui répond au taux de 5 pour 100, on ytr^ vera le nombre 1,340095 dans la ligne horizontale qui rèffoil une durée de 6 années.

La somme de 50000 fr. a donc été placée pendant 6 anSt elb somme de 25000 fr. pendant 12 ans.

716*. Soit X la durée du placement de la première; lea^ définitif qu'elle a produit a pour expression

le capital définitif produit par la seconde est exprimé par

D'après l'énoncé, on doit donc avoir

relation que l'on peut écrire

en divisant par 1000, et mettant (l>03)' en facteur conurma- 5i l'on eCTectue les calculs indiqués entre crochets , on trouve*

d'où X — >Qg 5,56225 — iog 4,3909

~ logl,03 '

ou X "~" ' ' - . '

OU à très-peu près a? = 8.

La somme de 12000 fr. a 4onc été placée pendant 8 ans, ^"^ somme de 15000 fr. pend{mt8 + 3, ou 11 ans.

717"^. Soit r l'intérêt annacl de 1 Ir., et » le nombre d'années qui exprime la durée du placement; les conditions de renoncé seront exprimées par les deux équations

60000^(l + ^)• — 60000^.(1 + fr^ = 39%', 12, et 60000'.(l-i-r)**-*— «XKKH.Cl + r)* =415Ô',<tt.

En divisant par 60000, et mettant en facteur commun dans chacune des deux équations la plus petite puissance de l-^-r qui y entre, on pourra les écrire

Divisant Téquation [2] par l'équation [1] , on obtient

Au moyen de cette valeur» l'équation [2] devient

, tog 0,069267 — log 0,04 2,8405264 — 2,6QM600

^^" ^~ log 1,04 ■" 0,0170333 ^

Le taux de Vintérét était donc 4 pour 100, et la durée du plament a été de 14 ans.

718*. Désignons par r et r' l'intérêt annuel de 1 fr. correspondant à chacun des deux taux cherchés. La première condition du problème sera exprimée par l'équation

36filW,(i + fy^+24000'.(l + r'r=87474S45, et la seconde par l'équation

24000'. (1 + rr + 36000*. (1 + /)*• = 90894',18.

attendu que 87474',45 + 34l9',73 = 90894',18. Pour résoudre plus commodément ces deux équations, posons

(l-fr)" = ;c et ii + rT = y

3i6 SOLUTIONS DES PROBLÈMES

substituant, et divisant par 1000, on obtient les deux équations

nouvelles

Ajoutons ces équations membre à membre, il viendra 60 (a? + y) = 178,36863, d'où y + x = 2,9728105.

Retranchons au contraire la première de la seconde, nous trouverons

12 (y — a:) = 3,41973, d'où y — a? = 0,2849775.

Ayant la somme et la différence des deux inconnues, on aura d'après un théorème connu :

On pourrait en déduire , par logarithmes , les valeurs de r et et de r' ; mais il est plus simple de se servir de la table du n"" 696. Si Ton suit la ligne horizontale qui correspond à une durée de 10 ans, on trouvera le nombre 1,343916 dans la colonne verlicale qui répond au taux de 3 pour 100, et le nombre l,628S9à dans la colonne verticale qui répond au taux de 5 pour 100.

Les deux taux demandés sont donc 3 pour 100 et 5 pour 100.

719*. Une variation d'une demi-unité dans le taux de rintérèt correspond à une variation de 0^005 dans l'intérêt annuel de 1 franc ; en appelant r cet intérêt annuel et a la somme placée, on aura donc

et a. (l+r + 0,005)" = 250722. [2]

En divisant ces équations membre à membre, on obtient

En effectuant les calculs au moyen des logarithmes, on trouve

pour la valeur du second membre : 1,0095696.... On a par conséquent

l+r-0,005 - ^«W)95696..., équalion d'où Ton lire

ou à très-peu près 1 + r = 1,05, d'où r = 0,05. Substituant cette valeur dans Téquation [2], on obtient

d'où log a = log 250722 — 1 3 log 1 ,056

ou log a = 5,3991925 — 13.0,0232525 = 5,0969100,

et par conséquent

Ainsi la somme placée était 125000 fr., et le taux de l'intérêt 5 pour 100.

720. L'intérêt annuel de 100 fr. étant 4^50, l'intérêt semestriel de la même somme est 2S25. En raisonnant comme au D'' 694, on verra que pour obtenir le logarithme du capital définitif cherché, il faut, au logarithme du capital primitif 12500, ajouter le logarithme de 1,0225 répété autant de fois qu*il y a de semestres, c'est-à-dire 14 fois.

Le logarithme de 12500 est 4,0969100;

le logarithme de 1,0225 est 0,00966332 ; et le produit

de ce logarithme par 14 est 0,1352865

le logarithme du capital définitif est donc 4,2321965

Le nombre correspondant est 17068^54.

On remarquera que ce résultat est plus grand que celui qui a été obtenu au n"" 694.

721 *. En raisonnant comme au n^" 69IS on verra que, chaque semestre, le capital se trouve multiplié par

^ + ^100 ou par l+é'*;*

31 s SOLUTIONS DBS PROBLÈMES

en désignant par r Finlérèt annoei de 1 franc. On a«n doK

c'est la formule demandée, dans laquelle r remplace — .

72S*. Soit A le capital définitif produit dans Thypotlièse les intérêts se capitalisent par année, et A' le capital définitif duit dans Thypothèse où les intérêts se capitalisent par on aura, en remarquant que le nombre des semestres est 2ft,

A = a(l + rr et A' = a(l + 4rj*-.

Si l'on divise la seconde égalité par la première, on tronre

a; ^ (t+^rr ^ /l + r + ir»\* A (1 + r)- V 1 + r / '

Or, dans le second membre, le numérateur est plus graodqtf le dénominateur ; le capital A' est donc plus grand que le capitali.

7S5. Un demi-centième, exprimé en fraction décimale, le Tient à 0,005. Dire que le capital définitif eût augmentées 0,005 de sa valeur, revient à dire qu'il eût été multiplié par \fi^ Le rapport des capitaux définitifs, calculés daus les deox hi^ thèses de la capitalisation par semestre et de la capitalisation pr années, est done 1,005; et, en vertu de la formule obtenue al, numéro précédent, on doit avoir

Si l'on désigne momentanément par x 1& quantité entre pn renthèses, on peut donc écrire

a:«== 1,005, d'où loga?=^5£^5?? = 0,00016668

et par conséquent x = 1,0003837.... On a donc à résoudre l'équation

qu'on peut mettre sous la forme

l + j7jrr^ = 1,0003837... ou r» — 4(f + l).0,0003837...=0

ou encore r* — 0,00153(k8.r — 0^0015348 = 0.

I SUR LES INTÉRÊTS COMPOSitS. 349

^îette équation n'a qu'une racine positive

r = 0^994 ou à très-peu près r=0^4. i.e taux deTintérêt était donc 4 pour 100.

j'a4*. Soit a la somme ptecée, r l'intérêt ammiel de 1 franc tô la première hypothèse, x llntérêt annuel de 1 franc dans jeconde hypothèse, et n le nombre d'années. On devra avoir ■près renoncé du problème

a(l + a;)* = a(l +ir)«'*

i en divisant par a , et extrayant ensuite la racine n*"* des DL membres

'>an8 le cas où r = 0,04, il vient

taux cherché est alors 4,04 pour 100.

r28*. Soit » le nombre d'années cherché; Ténoncé du prome donne immédiatement la relation

lù l'on tire, en appliquant les logarithmes,

log 20000 + 2n log 1,02 = log 20131,17 + » log 1,04,

log 20131,17 — log 20000 ** alog 1,02— log 1,04

. enfin

La durée du placement était donc de 17 ans.

§ S. B«8 aMMollés el de raatorlisseiieBt»

7fi6. Le capital définitif total se composera :

V Du capital produit au bout de 13 ans par la première somme de 2000 fr. , c'est-à-dire 2000'.(i,045)"

9^ Du capital produit au bout de 12 ans par la deuxième somme de 2000 fr. , c'est-à-dire 2000'.(1,045;P

3^ Du capital produit au bout de 11 ans par la troisième

somme de 2000 fr. , c'esl-à-dire 200tf .(l,045f

et ainsi de suite ;

4^" Enfin du capital produit au bout de 6 ans par la huitième somme de 2000 fr. , c'esl-à-dire 200W . (1 ,045A

Ces capitaux 9 rangés en ordre inverse, forment une progression géométrique croissante, dont le premier terme est 2000'. (1,045)*, dont la raison est 1,045, et qui a 8 termes. Pour obtenir le capital définitif total, ou la somme de ces 8 termes, il faut se rappeler que la somme des termes d'une progression géométrique croissante est exprimée par une fraction dont le numérateur se forme en multipliant le dernier terme par la raison, et retranchant de ce produit le premier terme, et dont le dénominateur est égal à la raison diminuée d'une unité. En appelant A le capital définitif total on aura donc

. 2000' . (1 ,045)** — 200tf . (1 ,045/

formule que Ton peut écrire

Pour effectuer les opérations indiquées , on commencera par calculer à part la quantité (1,045)*; on trouvera, au moyen des logarithmes , ou à l'aide de la table du n*» 696 , qu'elle a pour valeur 1,422101. Il en résulte que la quantité entre crochets est égale à 0,422101 ; on a, par conséquent,

formule calculable par logarithmes , et qui donne log A = log 2000 + 6log 1 ,045 + log 0,422101 — log 0,045.

Or, log 2000 = 3,3010300

Log 1,045=0,0191163, ainsi le produit de ce logarithme par 6 est 0,1146078

La somme de ces trois nombres est donc 3,041 1442

D'a'diem^^ on trouve log 0,045 = 2,6532125

La différence 4,3879317

est le logarithme de À. Piar conséquent, ce capital définitif total a pour valeur 24430^,46.

727. Supposons que la somme placée annuellement soit 1 fr., les capitaux définitifs produits par chaque placement seront ceux qai suivent , savoir :

Par le !•' placement, au bout de 13 ans . . l',772196

La somme de ces capitaux définitifs est. . . 12^215218

Pour obtenir le capital définitif demandé, il n'y a qu'à multiplier cette somme par 2000, ce qui donne 24430^,436.

En comparant ce résultat à celui du numéro précédent , on toit que la différence n*est que de 2 à 3 centimes ; elle provient des décimales qu'il a fallu négliger dans Tun et l'autre calcul.

798 \ En raisonnant comme au m 726 , on verra :

Que le capital produit par le 1*' placement sera a (1 + r)";

en désignant par r le quotient du taux / par 100 , ou l'intérêt

annael de 1 fr.

Que le capital produit par le 2» placement sera a(i + r)*~* ;

— — 3* — ad+r)—;

et ainsi de suite ;

enfin, que le capital produit par le nP^ placement sera a (l-j-r)"*-***. Ces capitaux, rangés en ordre inverse, forment une progression géométrique croissante, dont le premier terme est sourr. vu feobl. SI

322 SOLUTIONS DES PROBLÊMBS

a(l + r)"'-*+*, dont la raison est 1 + r, et qui a » tonnes. Leur somme k aura donc pour valeur , en Yertu de la règle rai^elée aar7Sa,

ou K = a(i + r)^--^K^^^tÇn]]. [1]

Pour se serrir de cette formule , on posera d'abord

(l + rr = p,

on obtiendra p par logarithmes; et, en substituant dans [1], il viendra

formule à laquelle on pourra appliquer les logarithmes.

729^. Dans la formule [1] du numéro précédent, il faut faire n = 10, J» = 15, r = 0,05 et A = 34000 fr.; elle donne alors

34000' = a(l,05)«E(i:^J^^ et Ton en tire

'*~(i,o5)*[(i,o5r-ir

Pour effectuer les opérations indiquées , on calculera à part la quantité (1,05)^; on trouve par logarithmes, ou à l'aide de la table du n" 696, qu'elle a pour valeur 1,628894.

Par conséquent

••^(^Oô)». 0,628894*

log a = Gog 34000 + log 0,05) - (6 log 1 ,05 + log 0,6288940 » ou , en effectuant , log a = 3,3047356 , d'où et , par conséquent , a = 2017',14. |

750*. Dans ce cas, on a n = m + li ou m=n — 1; etlafor-i mule [1] ) du n"^ 788^ devient simplement

A^g[a+rr— 1]

On aurait jpn y arriver directement en remarquant que les termes de la progression géométrique sont alors

a, a(l4-r), a(l+r)\..a(l + r)*-S et leur somme est bien exprimée par la formule ci-dessus. 751 ^ La formule du numéro précédent donne

^"- Ôfik

On trouve d'abord , par logarithmes , ou à l'aide de la fable dun«696,

Ou a alors

et, en effectuant les calculs, A = l89ô7S94.

732*. Les 3000 fr. de renies 4 ^ pour 100 représentent au pair im capital exprimé par

m^^, ou 66666'.67. -

La formule du n"" 730, qui donne

Ar

(l + rr-l' deviendra donc

On trouvera d'abord

et ensuite

en effectuant les calculs par logarithmes, on trouve a s=4l973S37. 735*. De la formule du n? 730, on tire

Dans le cas qui nous occupe, on aura donc

d'où log2,8 0,44yt580

iog 1 ,06 "" 0,01 28372*

Le quotient de ces deux nombres est compris entre 34 et 35 , mais plus près de ce dernier. II faudrait donc continuer le placement pendant 35 ans.

754 *. La formule du n"* 750 peut être mise sous la forme

^.r+l=(l+rr

et, dans le cas actuel, on a par conséquent

ou 16,91712. f + 1 = (1 + f)".

Cette équation est d'un degré supérieur; mais comme, dans les questions de ce genre , le taux de l'intérêt est ordinairement un des nombres compris dans la série 3, 3 j[, 4, 4}, 5, 5^, 6, on peut multiplier successivement 15,91712 par les nombres 0,03 0,035 0,04 0,045 0,06 0,055 0,06 qui représentent la valeur de r correspondante à ces divers taux , ajouter au produit une unité, et comparer le résultat avec les nombres inscrits dans la douzième ligne horizontale du tableau du n* 686 , et qui expriment les valeurs de (1 -f '*)" On trouvera:

16,91712 X 0,03 + 1 = 1,477614 et (1,03 )" = 1,425760. 15,91712 X 0,035 + 1 = 1,567099 et (1,035)»« = 1,511066, 15,91712 X 0,04 + 1 = 1,636685 et (1,04 )" = 1,601029, 15,91712 X 0,045 + 1 = 1,716270 et (1,046)" = 1,695882, 15,91712 X 0,05 + 1 = 1,795866 et (1,05 )« = 1,795856.

Ces deux derniers résultats étant identiques, il s*en suit que r = 0,05 satisfait à l'équation , et que par conséquent le taux^ cherché est 5 pour 100.

75S*. Soit a Tannuité, A la somme empruntée, r l'intérêt annuel de 1 franc, et n le nombre des annuités payées pour éteindre la dette.

D'après la remarque faite dans renoncé, cette dette s'élève à une somme marquée par (69tt}

A(l+rr.

D*un autre côté, les annuités successivement payées pouvant être considérées comme placées à intérêts composés entre les mains du prêteur, produiront, h son profit, un capital définitif, qui, en vertu de la formule du n^" 730, sera exprimé par

a[(l+rr — 1] r

On devra donc avoir

c'est la formule demandée.

756*. La formule ci-dessus donne

Ar(l+rr a = — ! — 1—

(1+rr-l et, dans le cas qui nous occupe,

800(KMy.O,05(l,05)»Q ^~ (1,05)» — 1 •

Pour effectuer les opérations indiquées , on calculera d'abord. (1,05)» ; soit au moyen des logarithmes, soit au moyen de la table du n"" 696, on trouvera 2,653297 ; par conséquent

En effectuant les calculs par logarithmes, on trouve 641 94', 10. 757 *. La formule du n^ 735 donne

a[{l + r)--l] ■ ■" rH + r)»

et, dans le cas qui nous occupe,

On calculera d'abord (1|045)"; on trouvera, soit par remploi

326 SOLUTIONS DES PftOBLlaDBS

des logarithmes, soit à Faîde de U taUe da n^ 696... 1,5SS9«;

par conséquent

En effectoant les calcnls par logarithmes, on trouve

A=33ay,20.

738"^. Dans la fonnnle du n« 735 posons

(l + r)- = x, elle deviendra

r d'où Ton tire

a — Ar'

Dans le cas qui nous occupe on aura donc

et par suite

Le quotient est compris entre 28 et 29; on devra donc adopter 29 pour que l'annuité ne dépasse pas 30000 fr.

On aura ensuite à résoudre cette question : Quelle annuité fauM payer pendant 29 ans pour éteindre une dette de 450000 fr., le tata de Vintérét étant 5 pour 100. En opérant comme au n"* 736, on trouvera pour le montant de l'annuité 29720^,48.

739 '^. La formule du n"" 75S donne

(l+rr =

a •— Ar ^ k

et dans Fexemple qui nous occupe

Cette équation est d'un degré supérieur; mais coomie le taux

de l'intérêt est vraisemblableinént un des nombres 3^ 3 ^ , 4, 4|, 5, 5 ^ y 6, etc. ; on peut calculer le second membre pour la série de ces valeurs de r, et comparer le résultat aux nombres inscrits dans la sixième ligne horizontale de la table du n^ 696, lesquels expriment la valeur du premier membre. On trouvera ainsi :

l«r membre. T muabrt .

pour r = 0,03 — 1, 194052 — 1 ,18661 1 ,

ces deux derniers résultats étant identiques, il en résulte que f = 0,04 satisfait à Téquation , et que par conséquent le taux demandé était 4 pour 100.

740*. La formule du n*» 758 montre que, taules choses égales d'ailleurs, rannuité est proportionnelle au montant de la dette primitive ; on devra donc avoir, en nommant a l'annuité demandée ,

a : 1907^62 = 84600 : lOOOO, d'Où a^ ^^^\^^X^^ = 1613^,47.

lUv

741 *. Les 10 annuités produiront entre les mains du préteur 10 capitaux définitifs partiels ayant respectivement pour exprès* sien :

a(l,05)S û (l»05)S a(l,05)',... etc.... , a(l,05) et a, dont la sonune est

fl [(1,05^-1]

Quant à la dette réelle , elle équivaudra à

On devra donc avoir

'''"^^O^Os""^^ ^ 30000û'.(l,06)»;

d'où ^^l5ooo^a,o5y^

On trouvera d*abord

(1,05^0 = 1,628894 et (1,05)" = 2,078928;

741*. En CTttoiMMnt conne an numéro préoédent, on Il idition

Poor résoodre œUe équation , on posera

:i.0k5:-=x, réquation d-dessus denent ainsi

rdalkm que Ton pent écrire, en molti^iant par OfikS^ et transposant,

2ie00x*— 121190,50. ir + 121190,50 = 0.

On en tire x = 4,308411 et x= 1,302260.

La seconde ^alenr coniiâDt seole à la question; et si Ton dierche ce nombre dans la colonne Yerticale de la table do n* W6, qui répond au taux de 4 4 pour 100, on trouve qu'il répond à une durée de 6 ans. On a donc n=6; et, par conséquent, il y a eu 6 annuités.

La {Nremière valeur eût donné » = 33 et une fraction ; sohitioa possible à la rigueur, mais peu compatible avec les données de la question.

745*. D'après la remarque qui termine l'énoncé, ce n'est pas la formule du n* 758 qui est applicable au cas qui nous occape, mais bien celle du n"" 750. On en tire

et, dans le cas qui nous occupe,

(l+r)*=l + tOOr.

Si rintérêt est calculé à 5 pour 100, on a

(1,05)«=6, doù »-i-5gï;Ô5- 0,021 1893»

valeur comprise entre 36 et 37 ans.

SDR LES INTÉRÊTS COMPOSES. 3â<l

Si l'intérêt est calculé à 4 ^ pour 100, on a

fl045)--5 5 d'où n- '^^^^^ 0.7403627 (1,046) -5,5, doù «-î5^1;ô45- 0,0191163'

Taleur comprise entre 38 et 39 ans.

Si l'intérêt est calculé à 4 pour 100, on a

ri 04^*- 5 d'on «- '^S5 0,6989700 (1,04) -5, dou «-i3^i;ô4- 0,0170333'

valeur comprise entre 41 et 42 ans.

Enfin , si l'intérêt est calculé à 3 pour 100, on a

/i Ao\« / j» \ Iog4 0,6020600

. (1.03)- = 4. doù „=j^=p^^^^,

valeur comprise entre 46 et 47 ans.

744*. On a , dans le premier cas ,

d'où ^^logll ^1,0413927

logl,05 0,0211893'

valeur comprise entre 49 et 50 ans.

Si la dette doit être réduite à moitié, il faut d'abord, dans la

formule (1 + r)*» = 1 -| — .r, remplacer A par ^ A, et faire en-

suite r = 0,05 et a = 5^, ce qui donne

■% jr^

(1,05)*= 1 + 100.0,05 = 6, d'où n==j^H^,

valeur comprise, comme on l'a vu plus haut, entre 36 et 37 aiB. Si la dette doit être réduite au tiers, il faut, dans la formule,

remplacer A par | A, et faire ensuite r = 0,05 et a= 5—, ce q[ai donne

(l,05)- = l + §.200.0,05 = î^, d'où n='.58g=i|^,

ou n =

ifaleur comprise entre 41 et 42 ans.

330 MLUTIOlfS DES FROBtfilES

Enfin, si la dette doit èlre réduite au quart, il fiml, dans la formule y remplacer A par f A., et faire ensuite r=0,06

et a = rgg, ce qui donne

logl7 — log2 0,9294189 ^^ logl,05 ""0,0211893*

valeur comprise entre 43 et 44 ans.

74» *. Puisque , par hypothèse , on paye 90 fr . un titre de rente dont la valeur nominale est 100 fr., la dette à amortir se trouve réduite dans le même rapport. Il faut donc, dans la formule du n"" 745 , remplacer d'abord A. par les -^ de À , et faire

ensuite « = 7j5f5-

Mais pour avoir la valeur de r, il faut ch^^er à quel taux réel on place son argent en achetant de la rente 5 pour 100 aa cours de 90 ; ce taux est donné par la proportion