r = A :R, d'où A
Snbslitiumt cette valeur dans la foramle du n"" 730, on obtient ,
puisque, dans le cas qui nous occupe, on a n = 40. Pour les rentes 4 4 pour 100 on aura donc
(1,045)*^— 1' On trouvera d'abord, par logarithmes,
par conséquent
Pour les rentes 4 pour 100 on aura de même
On trouve (1 ,04)** = 4,801 00 ,
par conséquent
Pour les rentes 3 pour 100 on aura enfin :
On trouve (1,03)*^ = 3,26203,
par conséquent
64305634' oo/aooawoi
^ = "2;262Ôr = 2s^»2«»'»2^-
La somme annuelle à consacrer à Vamortissement eût donc été h somme des trois résultats qu'on vient d'obtenir, c'est-à-dire
7(SI '^. 1* Pour résoudre la première partie de la question, il faut Taire usage de la formule
(l+rr=:l+^r
établie au n« 745.
Ici Ton a f = 0,045 et a = 77:^ A; la formule devient donc
0D en tire
log 3,25 0,5118834 ^
** "" log 1,045 "" 0,0191163 ~ -*«'77^^-»
c'est-à-dire 26 ans, 9 mois et 10 jours environ.
2* Soit k! le capital définitif produit en 1857, c*est-à-dire au bout de 8 ans; nous aurons
D'ailleurs, si k désigne toujours le capital nominal de la dette,
on a
En divisant la première égalité par la seconde, on obtient
On trouve d'abord
par conséquent
fraction qui surpasse de très-peu ■^.
7itS'. Il faut d*abord calculer la portion de la dette qui sers amortie par voie de remboursement. La dotation est de 600000 fr., dont le tiers s'élève à 200000 Ir. Le taux de l'intérêt est 50 pour 1000 ou 5 pour 100. En appelant Ai la portion de la
dette amoriie par voie de remboursement, on aura donc, d'après la formule du n^" 750,
. 20000tf [(1,05)" — 1]
ou
Al = 4000000' [(1,05)»« — 1].
On trouvera
et par conséijhent
Al = 4000000'. 4,791815 = 19167260 fr.
Retranchons ce capital de la dette totale, il reste 40832740 fr. , liai devront être amortis par voie de rachat. Pour abréger, nous désignerons ce second capital partiel par As.
Soit c le cours cherché. J^uisque Ton paye c ce qui vaut 1000 fr. , la dette se trouve diminuée dans le même rapport. Dans la for-
mule du n» 730, il faut donc d'abord remplacer A par ttjjjt;. Aï;
en même temps a devra être remplacé par les deux tiers de lu dotation ou 400000 fr.
Enfin , le taux réel de l'intérêt sera donné par la proportion
c:50' = 100:ir, d'où a? = 5522
et, par suite , r = — . On aura donc
«[(■+fr-'] ,
d'où
ou
/. lSO\* . . 40832740 e ,^,^^^
SOLUT. DES PROBL. 22
S3B MLUnONS MB PMBLftBS
Od tire de cette relation
d'où 1 + - r= 1,0516327...;
puis ^=0,0515W7 et ^= o,o516327...'
ou enfin (? = 970' ,257..., c'est-à-dire un peu plus de 970S26.
TtSS"^. On a TU, au n"" 721 , que, dans l'hypothèse où les intérêts se capitalisent par semestre , si Ton nonnne a le capital primitif, r l'intérêt annuel de 1 tr., N le nombre de semestres formant la durée du placement, et A le capital définitif, on a
Pour appfiquer cette formule au cas qui nous occupe* il faat d'abord y remplacer a par ^a, attendu que si a désigne l'annuité, la somme payée à chaque semestre est |a.
n faut ensuite y faire successivement
N = 2n— 1, N=2n — 2, etc., jusqu'à N=0,
afin d'obtenir les capitaux définitifs partiete oorrespoBdMilB an capitaux primiliCs partiels, lotts égaux à ^a. On trouve aÎBtt
îa(l + irr-S ia(l + Jf)«»-«, etc., ^a(l+ir), et Ja.-
Or, la somme de ces capitaux définitifs partiels , considérés en ordre inverse , est la somme des termes d'une progression géométrique croissante, dont le premier terme est ^a, la raisM l + ^r, et le dernier terme ia(l+ir)*"-*; d'après la formule connue, qui donne la somme des termes d'une progressioft géométrique, on aura donc, en appelant A le capital définitif total,
(l + Jr)-l ' A = "Kl + èrr-l]^
c'est la formule du n"" 750, dans laquelle on a remplacé respee^ tivement a, r et n par|^, |r el 2n; mais a y représente lou* jours ïannuiiéy c'est-à-dire la somme versée en deux semestres.
SUft LES UHTSKÈTS COMMStS,
754*. D'après la formule établie au numéro précédait, le capital définitif demandé sera exprimé par
On trouve
le capital définitif cherché a donc pour valeur
, ou 169', 14.
788*. La formule du bp Ttt5, résolue par rapport à a , donne
Ar
(t+ir)*»-!'
ou, en remplaçant A par 100 fr., et r par 0,0(i25,
On fera successivement n = 20, » = 21, tt = 22, etc., jusqa*à n = 50; et l'on obtiendra le tableau suivant :
Nombre d'aoDéei.
ÀDDUité.
Nombre d'annces.
786*. Dans la formule du numéro précédent , il faut remplacer A par 100 fr., r par 0^,037, el n par 50, ce qui donne
ou , en efiTectuant les calculs ,
(Dans les calculs relatifs au crédit foncier, dont il sera question ci-après, on ne conserre que six décimales, mais on force la dernière.)
§ 8. D« erédlC foMcler.
IWI*. Si la somme empruntée était 100 fr., Tannuité à servir se décomposerait comme il suit :
f Intérêts à 4^ pour 100 4',25
V Frais d'administration 0 ,60
d"" Amortissement, donné par le tableau du
Total, . . 5',44122
ou , en complétant les centimes 5^,45.
Pour un prêt de lOOOO fr., qui est 100 fois plus considérable, l'annuité sera donc aussi 100 fois plus grande, c'est-à-dire égale à 545 fr.
758*. Pour un prêt de 100 fr., il aurait à payer :
V Les intérêts à 4^ pour 100 4S25
2'' Les frais d'administration 0 ,60
3"* L'amortissement, qui , d'après le tableau du
n» 755, est, pour 30 ans , de 1 ,679036
Total. . . 6S529036
Pour un prêt de 24000 fr., ou de 240 fois 100 fr., l'annuité sera de 240 fois 6S529036, c'est-à-dire de 1566S96864, ou 1566^,97 ; soit 783S4S par semestre.
750*^. Pour un prêt de 100 fr. on aurait à payer annuellement :
Pour intérêts et frais d'administration 4',85
Pour amortissement (voy. le tableau du n*" 755). 2 ,9961 14
Total... 7',846II4
SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS. 34i
Pour un prêt de 18600 fr., qui est 186 fois plus considérable, on aura à payer 186 fois 7^,846114, c'est-à-dire 1459^3772..., soit par semestre 729^, 69....
760 '^. Pour un prêt de lOOfr. l'annuité se composerait :
V Des intérêts et frais d'administration 4^85
^ De l'amortissement qui pour 45 ans est de. • • 0^754l24
En tout... 5^,604124
Et par semestre. . • 2', 802062
AuUmt de fois cette somme sera contenue dans 610^85, autant la somme empruntée contiendra de fois 100 fr. ; en faisant la diyision on trouve 218 pour quotient ; la somme empruntée était donc 218 fois 100 fr. ou 21800 fr.
761 *. Puisque le propriétaire paye 980^,27 pour un prêt de 32750 fr. , il payerait , pour un prêt de 100 fr. , une somme donnée par le quatrième terme de la proportion
et par conséquent l'annuité serait le double de ce nombre ou 5^,986382.
Si l'on en retranche 4^85 pour les intérêts et les frais d'administration, il reste 1S136382 pour l'amortissement. Or, le tableau du n^" 735 montre que cet amortissement répond à une durée de 37 ans. C'est donc pour 37 ans que la somme dont il s'agit a élé empruntée.
7ea*. Le tableau du n* 7Btt montre qu'un prêt de 100 fr. pour 48 ans donne lieu à un amortissement de 0^,651044; en y ajoutant 4^85 pour les intérêts et les frais d'administration , on obUent pour l'annuité 5^50t044. Un prêt de 10000 fr. pour le même temps donnera donc lieu à une annuité 100 fois plus grande, c'est-à-dire de 550', 1044. Cette annuité est aussi celle qui 6st payée par le premier propriétaire. Mais le tableau montie qu'un prêt de 100 fr. pour 26 ans donne lieu à un amortissement de 2', 141628 ; en y ajoutant 4^85 on obtient pour Tannuité ^>991628. Autant de fois cette annuité sera contenue dans ^,1044, autant il y aura de fois 100 fr. dans la somme cherchée.
En faisant la di?ision , on obtient pour quotient 78' ,6804 ; la somme cherchée est donc lOO' x 78,6804 ou 7868',04.
765 *. Le tableau du n*» 755 montre qu'un prêt de 100 fr. pour 47 ans donne lieu à un amortissement de. . . . 0^,683504, tandis que pour 48 ans, il n'est que de 0^,651044.
Comme les annuiii^s correspondantes se Gomposent de l'amortissement augmenté de 4S85, la difiCérence des annuités est celle des amortissements, c'est-à-dire 0^03246.
Autant de fois ce nombre sera contenu dans 16^23, autant la somme empruntée contiendra de fois 100 fr. En faisant la ^vision, on trouve pour quotient 500; la sonune empruntée étmt donc lOO' X 500 on 50000 fr.
764*. La différence des annuités étant de 33i',50 pourtm prêt de 50000 fr., elle serait 500 fois plus petite pour un prêt de 100 fr. , c'est-à-dire qu'elle serait de û^4429.
Or la différence des annuités est la même que la dîfféraice des amortissements, puisque pour passer des unes aux autres il suffirait d'en retrancher 4',85. Il s'agit donc de trouver dans la table du n* 755 deux nombres d'années différant de 7 unités, et tels que les amortissements qui leur correspondent difTèrent de 0S4429.
Pour cela, on retranchera 0^4429 de chacun des nombres de la table, et l'on verra si la difTérence obtenue est le nombre inscrit dans cette même table 7 lignes plus bas. Arrivé au nombre qui correspond à une durée de 33 ans, on obtient pour différence 0,970916 qui est précisément le nombre inscrit 7 lignes plus bas et qui correspond à une durée "de 40 ans. La durée du prêt dont il s'agit était donc de 33 ans.
7^\ On a vu au n* 756 que rannuité à payer pour amortir eu 50 ans une dette de 100 fr., quand les intérêts sont calculés à 3,70 pour 100 et capitalisés par semestre est de . . . 0^,704332
Si l'on ajoute à ce nombre les intérêts de i%ù fr. à 3,70 poiMP 100, 90ît a',70
on obtient pour somme 4^ 404332
Pour avoir les frais d'administration, il suffît de retrancher ce dernier résultat du montant de l'annuité totale, qui est alors de 5 fr.; et il reste ... : 0',595668.
760 \ L'annuité étant de 5 pour 100, s'obtiendra en prenant le vingtième de 32000 fr., ce qui donne 1600 fr., et par semestre 800 fr.
sua LES INTSatTS COMPOSES. 3U
L'iûtérèt de 32000 fr. à 3,70 pour 100 est e^rimé par 32000' X 3,70
ou 1184b fr. par an;
par semestre, ce serait la moitié ou 592 fir.
L'amortissement étant de 0'>704332 potu* 100 fr., sera de 320 fois 0^,704332 pour 32000 fr. ; en faisant la multiplication , OD trouve 22:â^,38624.
Pour im semestre, ce sera ia moitié, oa 112^60 environ.
767% La durée du prêt étant de 50 ans, rMBortissement;, pour un prêt de 100 fr. , est de 0^,591220 par an (758). Au bout de 38 ans, cette annuité produit un capital définitif exprimé (753) par
0^,591220 [a,02t25r-ll àof qi ii^t ô;0(55 ' ^"••- ^^^^^^^'
Sur 100 fr . , il resterait donc dû 50 ,688913
A quoi il faut ajouter 3 pour 100 ou 1 ,520667
La somme àpayer serait donc. ..••« 5âf,.200d80
Pour un prêt de 20000 b. , eHe sera 20<^ fois plus grande, c'est-à-dire lM4L%0â.
708 '^. La durée du prêt étant de 40 ans,, l'amortissement, pour nn prêt de 100 fr., est de 0^970916 (7»»). Au bout de 25 ans, cette annuité produit un capital définitif exprimé (755) par
or.9709i6[Ctoara5r-tj
Sur 100 fr. , il resterait donc dû. 57,472423
A quoi il faut ajouter 3 pour 100 ou 1 ,724173
La somme à payer serait donc. 59^,196596
^m* un prêt de 00000 fr. , eHe sera 000 fois plus grande , c'est-à-dire 35517',96.
70»*. Qiiand la durée du prêt est de 30 ans, ramortissement, pour Qft prêt de 100 b% , est (7tttf} de l^,679036v Au bout de
11 ans , celte annuité produit (7tS5) un capital définitif exprimé
par
1^,670037 [(l,0212ôr — 1] ^i r ^««i ^/ 0,0425 ^ ^"••- 34S732424.
Sur 100 fr. , il resterait donc dû 65',267ô76
A quoi il faut ajouter 3 pour 100, ou. . . . 1 ,958027 La somme à payer serait donc 67',22ô603
Autant de fois cette somme sera contenue dans 100S4',84, autant la somme empruntée contiendra de fois 100 fr. ; en faisant la division, on trouve pour quotient 150; la somme empruntée est donc 150 fois 100 fr. , c'est-à-dire 15000 fr.
770 \ Si pour un prêt de 250000 fr., on a à payer une somme de 164662^54 ; pour un prêt de 100 fr., on aurait à payer 2500 fois moins, ou 65S865015. Cette somme représente le reste de la dette, augmenté des 3 pour 100 de ce reste; c'est-à-dire qu'elle représente les ^ du reste de la dette ; on obtiendra donc ce reste en divisant 65^805015 par ^, c'est-à-dire en multipliant cette somme par 100 et divisant le produit par 103, ce qui donne 63^946617. La portion de la dette déjà payée est donc 100' — 63S946617, c'est-à-dire 36^053383. C'est le capital produit, au bout du temps cherché, par l'annuité correspondante à une durée de 38 ans, savoir (7SS} par l',077716. En appelant» le nombre d'années cherché, on doit donc avoir (7tt3)
lS077716[(l,02125r-l] __
d'où l'on tire
ri 02125^»- - 1 -I- ^'-Q^^^»^ X ^>^^^^
(1,02120) -l-h if^0777l6
ou (l,02125r = 2,418504.
On en déduit, en appliquant les logarithmes,
^ log 2,418504 0,3835469 , log 1,02125 "" 0,00913207 '
d'où n = 21. L'emprunteur compte donc se libérer ainsi au bout de 21 ans.
771 *. Si pour un prêt de 12000 fr. on a à payer 10020'»1032, pour un prêt de 100 fr. on aurait à payer 1 20 fois moins, c'est-àdire 83S50086. Cette somme représente, comme ci-dessus , le
reste de la dette , augmenté des 3 pour 100 de ce reste ; qu'on obtiendra par conséquent en divisant S3^ô0086 par |^ ; on trouve 8t^06S796. C'est le capital définitif produit en 8 ans par Tannuité correspondante à la durée du prêt ; en nommant donc a cette annuité, on devra avoir (755)
d'où
81',068796__^^--^ao
En consultant la table du n** 755 , on trouve que cette annuité correspond à un prêt de 27 ans. Telle est la durée demandée.
772 *. L'emprimteur qui veut se libérer au bout de 20 ans, n'a effectué que 19 versements annuels. La fraction demandée se composera donc : l"" de 2 pour 100, ou 0,02; 2"" du cinquième ou 0,20 ; S"" il y aura à déduire 19 fois 1 { pour 100, soit 0,015 X 19 de ce cinquième, c'est-à-dire 0,20 X 0,016 X 19 ou 0,003 X 19. La fraction demandée sera donc
0,02 + 9,20 — 0,003 X 19, ou
0,22 — 0,057, ou enfin
775*. On aura à prendre l"" 2 pour 100 ou 0,02 du capital non amorti; 2° le cinquième de ce capital, ou 0,20; d"" il en faudra retrancher n — 1 fois 1 ^-pour 100 de ce cinquième, c'est-à-dire
0,20 X 0,016 (n — 1) ou 0,003 (n — 1).
La fraction demandée sera donc
774 *. D'après ce qui a été dit aux deux numéros précédents , si R désigne la portion de capital non encore amortie au moment de la libération, Temprimteur aura à payer
R-fR (0,22 — 0,003.35) ou 1,115. R.
Pour calculer R, il faut se rappeler que , dans le mode d'emprunt qui nous occupe , l'amortissement annuel est 0^,704332
di^ SOLUTIONS DES mOBLÈHES
pour 109 fr. de capital emprunté. Au bout de 36 ans, la portai de capital amortie sera donc exprimée (753) pas
Sur 100 fr. , il restera donc dû 47S788464.
La somme à pay^r^pour 100 fr. de capital emprunté, sera donc
47',788464 X 1,115 ou 53S284137.
Pour 20000 fr. de capital emprunté , la somme à payer sera 200 fois plus grande, c'est-à-dire 10656',83.
Au n" 767, on a trouvé 1044l',92.
Le remboursement anticipé au bout de 36 ans serait donc plus onéreux pour l'emprunteur dans Iliypothèse dés intérêts à 3^70 pour 100 que dans celte des intértts à 4^,25.
77S\ Dans la première hypothèse, Famortissement annuel étant de 0^591220 (7S5J, pour 100 fr. de capifa! emprunté, h portion de ce capital amortie au bout de 16 ans sera
—2 Trhr — ' ^ ou. . . iy,352743-
II restera donc dû. 86^,647267
A quoi il faudra ajouter 3 pour 100 ou. . . 2^,599418
Et l'emprunteur aura à payer 89',246675
Dans la seconde hypothèse , l'amortissement annuel étant de 4)^,704>332 pour 100 fr. de capital emprunté, la portion de ce eapilal amfortie au bout de 16 ans sera
0>.70433n(1.0185)».-]^ ou ,5'.187m
Il restera donc dû 84^8121&8;
et Temprunteur aura à payer (775)
e'est-à-dîre
84',8 12158 X 1,175 ou 99',654f85.
La somme à payer au moment du remboursement sera donc plus considérable dans la seconde hypothèse que dans la première.
770 *. L'annuité payée da^ns te premier mode est y ,4S ou pta
SUR LES IlfTËRËTS COMPOSES. 347
exactement 5^,44122 (7S7); dans le second mode, elle n'est que de 5 fr. On aura donc à tenir compte de la difFérence 0^,44122 payée en plus chaque année, en deux semestres^ avec les intérêts à 3 pour 100 capitalisés par semestre. On deTra calculer à cet eâét répression (753)
ce qnî donne 8',976169.
Or, les sommes à payer, dans les deux modes d'emprunt, au moment où Temprmiteur se libère, c'est-à-dire 89^,246675 d*une part et 99',654285 de l'autre (775), différent de. . • 10',407610
Si on en retranche les 8',976169
le reste • l^43l241
exprimera l'excès des déboursés dans le second mode, qui est par conséquent le moins avantageux pour Tépoque où la libération s*opère.
777 *. !• Dans le premier *mode, la portion de capital amortie au bout de 17 ans, sera, pour 100 fr. de capital emprunté.
Il restera donc dû 85',476234
En y ajoutant les 3 pour 100, ou 2^564287
6B aura la somme à payer par l'emprunteur, soit. . 88^040521 Dans le second mode, la portion de capital amortie en 17 ans sera
0^.70^miifimr-n^ o„ 16',465837,
et il restera dû 8^,534163.
Ce reste devra être midtiplié par
1,22 — 0,003. 16, ou par 1,172
ce qui donne pour la somme <^payer........ 97S902039
(hi a trouvé dans le premier lEiode .•••.. 88 ,040521
Différence à la charge du second S'jSÔlSlS
34S SOLCTIOr^S DES PROBLÈMES
Mais, en tenant compte des sommes versées, on aura à calculer conune ci-dessus l'expression
^^jl , qui revient à. • . y ,690086
La différence à la charge du second mode se trouve donc réduite à 0^170532
en sorte que le premier mode présente un léger avantage.
2* Dans le premier mode , la portion du capital amortie au bout de 18 ans sera, pour 100 fr. de capital emprunté :
tf ,591220 [(1,02125)»* -1] ^^
