QJ5 > ou
11 restera donc dû , 84 ,254914
et, en y ajoutant les 3 pour 100 ou 2 ,527647
on trouvera pour la somme à payer par l'emprunteur 86^782561
Dans le second mode, la portion de capital amortie au bout de 18 ans sera
et il restera dû 82^208445.
Ce reste devra être multiplié par
1,22 — 0,003.17 ou par 1,169,
ce qui donne pour la somme à payer 96^,101672
On a trouvé dans le premier mode 86S782561
différence à la charge du second 9^,3191 1 1
Mais, en tenant compte des sommes versées, on aura à ajouter aux charges du premier mode la valeur de l'expression
— ooâr ■ ' c est-à-dire 10',428442
La différence. . . I ', 109131
est donc en définitive à la charge du premier mode , et c*est le second qui se trouve être cette fois le plus avantageux.
Remarque. Jusqu'à 17 ans, il y a avantage à adopter le premier mode ; mais si la libération doit avoir lieu plus tard, il vaut mieux adopter le second.
778 *. D'après la remarque faite au numéro précédent , le cultivateur devra choisir le deuxième mode, c'est-à-dire celui dans lequel les intérêts sont calculés à 3,70 pour 100.
Pour calculer ce qu'il aura à payer en se libérant au bout de 25 ans, opérons d'abord dans Thypothèse d'un capital de 100 fr. La portion de ce capital, amortie au bout de 26 ans, est exprimée par
0',704332 [(1,0185^— Il
Il reste donc dû 7l',433763.
Il faut multiplier ce reste par
1 ,22 — 0,003 . 24 , ou par 1 ,148 ,
ce qui donne 82',005960.
Pour un emprunt de 40000 fr., la somme à payer sera 400 fois plus grande, c'est-à-dire 32802S38.
779*. Cherchons d'abord quelle serait la différence des sommes à payer dans les deux modes, pour 100 fr. de capital emprunté.
Dans le premier mode, la portion de capital amortie au bout de 30 ans , serait
11 resterait donc dû 64',788I18
et, en y ajoutant les 3 pour 100, ou 1 ,943644
on obtient pour la somme à payer 66^,731762
Dans le second mode , la portion de capital amortie au bout de 30 ans , serait
tf,704332[(l,0185r— 1] „^, ,
— Q Q3y -, OU 38M43149,
il resterait dû par conséquent 61C,856851.
Ce reste doit être multiplié par
1,22 — 0,003.29, ou par 1,133,
ce qui donne pour la somme à payer. . • 70^083812.
L'excès de la somme à payer dans le second mode , sur celle à payer dans le premier, est donc 3',352050.
Autant de fois cet excès sera contenu dans 8044',92, autant la
somme emprualée contiendra de fois 100 fr. Ea Caîsant la #risioo » on obtient pom* quotient 2400; la somme empruntée est donc 2400 fois 100 £r., ou 240000 fr.
780*. La durée de l'emprunt étant de moins de 50 ans, fl ne peut être question que du premier ordre d'emprunt, dans lequd les intérêts sont calculés à 4 { pour 100.
L'emprunteur aura à payer 3000 fr . , plus les 3 pour 100 de celte somme, savoir 90 fr.; en tout, 3090 £r.
Le tableau du n** 7ISS montre que pour produire au bout de 40— 18, ou 22 ans, un capital définitif de 100 fr., il faut payer un amortissement annuel de 2^791676; et en y ajoutant 4',25 pour les intérêts, et 0',60 pour les frais d'administration (7S7), en tout 4^85 , on obtient 7^641676 pour Tannuité totale qu'on aurait eue à payer en empruntant 100 fn pour 22 ans. En empruntant 3000 fr. pour le même temps, on aurait eu à payer une somme 30 fois plus grande, ou 229^,25. L'ammîté payée par Temprunteur devra être diminuée d'autant.
Or, en empruntant 100 fr. pour 40 ans, il avait à payer annuellement, d'après le tableau, 0^,970916, plus 4^85, en tout 5^8209I6; en empruntant 15000 fr. pour le même temps, il avait donc à payer annuellement 150 fois plus, ou 873^14. Cette annuité étant réduite de 229^25, il n'aura plus à payer annndlement que 643^89.
78i*. L'emprunteur voulant se libérer au bout d'un temps supérieur à 17 ans , c'est le second mode d'emprunt qu'il a dû adopter, d*après la remarque du n"" 777.
Il devra payer en se libérant (773),
40000' [1,22 ^0,003.24], ou 40000^X1,148, c'est-à-dire 45920 fir.
n reste à calculer la diminution que subira son annuité. Pour cela, il faut chercher d'abord l'annuité, qui, au taux de 3,70 pour 100, produit, en 25 ans, un capital définitif de 100 fr. Cette annuité est exprimée (voy. la formule du n* 758) par
lOtf X 0,037 ^ri«r*.û
En y ajoutant 3^70 pour l'intérêt, et 0^,60 pour
frais d'administration; en tout 4 ,30
on obtient 6^,765612
pour l'annuité totale qu'on aurait à payer en empruntant 100 fr.
Stt Ui OrXlfttTS COMfOStS. SM
pow 25 m», an taux de.};? |»oor 100. En eii^Mnmlant 40000 fr., on aurait à inyer «ne sooasne dOO fois phis grasde , on 27M,2S. L'annuité fafèt par renprankMr devra être diminnée d'autant. Or, il parfait une anniiité de 5 fr. pour diaq«e capital de 100 fir. emi^ranié^ en tout iSXù fois 5 fr., ou 10000 k. H n'aura émtc plus à pajier que la diUéDeDce eaire 10000 £r. et 2706^,^, c'eat^ dire 7»a',7*.
78^2"^. Au bout de 15 ans, ramortissement annuel de 0^,59122 par 14» 1r. de capital^ soit en tout 0^59122 X 600 iui 35<fc',7S2, aura produit «n capital définitif exprimé par (703}
sur 00600 fr. il restera donc dû 52662^0324
A ce moment, l'emprunteur paye lÔOOO ,0000
La dette est donc réduite à . . . 37602^,0324
Pour éteindre celle dette en 40 — 15, ou 25 ans, il iaut un amortissement annuel exprimé par (7tt5)
3766^,0324X0,0425 ofini «uft
Dans rintervalle qui s'écoule depuis la quinzième jusqu'à la vingt-luûlième année, c'est-à-dire en 13 ans, cet amortissement aura produit un capital définitif exi>rimé par (703}
859>.8384[(1^125r-l}^ ^^ K^iy^lO.
La dette se trouvera donc réduite à 87602f,0324 — 1471 VjSOlO , c'est-à-dire à f»42',4414. L'emjHimleur aura donc à payer :
V Au bout de 15 ans 15000',0000
Plus les 3 pour 100 de cette somme, ou. • 450 ,0000
En tout. . . 15450 ,0000
2* Au bout de 28 ans 22942 ,4414
Hos les 3 pour 100 de cette somme. .... 688 ,2732
En tout. . . 23630S7146.
L'aimuité primitive payée par l'emprunteur était de 600 fois
5',441220, c'est-à-dire de 3264',7320.
Le tableau du n* 788 montre que pour produire au bout de
352 SOLUTIONS DBS PROBLEMES
40— 15, OU 25 aos, un capital déânitif de 100 fr., il faut payer un amortissement annuel de 2S2S3028; ce qui, joint aux 4',35 d'intérêt annuel , et aux 0^00 pour frais d^administration , doime une annuité totale de 7S133028. Pour produire au bout du même temps un capital définitif de 15000 fr., il faudrait donc un amortissement, et, par suite, une annuité 150 fois plus grande, c'est-àHiire 1069^,9542. L'annuité de^ra donc être réduite d'autant, c'est-à-dire qu'elle ne doit plus être que de . . 2194',7778.
785". L'amortissement annuel primitif estde 300 fois 0^,704332, c'est-à-dire de 2il',29%. A la fin de la première période de 10 ans, cet amortissement aura produit un capital définitif exprimé par (7»5)
La dette de 30000 fr. se trouvera donc réduite à. 27470^,9842, A ce moment, l'emprunteur se libère de 6000 ,0000,
il reste donc dû 21470,9842.
Pour éteindre cette dette en 50 — 10 , ou 40 ans , il faut un
amortissement annuel exprimé (786) par
Au bout de la seconde période de 10 années , cet amortissement annuel aura produit un capital définitif exprimé par
^^^m^È^r^, ou 2852'.0000.
sur les 21470^,9842, il restera donc dû . 18618S9842.
A ce moment, l'emprunteur se libère de 10000 ,0000.
Sa dette se trouve donc réduite à 8618 ,9842.
Pour éteindre cette dette en 40 — 10, ou 30 ans, il faut un amortissement annuel exprimé par
8618'.984ax 0.037
(l,0185r— 1 ' °" M.WMb.
Au bout de la troisième période de 10 années, cet amortissement annuel aura produit un capital définitif exprimé par
sur les 86i8S9842, il restera donc diï 7988S6606.
Nous pouvons maintenant calculer ce que l'emprunteur aura à débourser à la fin de chaque période de 10 années. A la fin de la première période , il aura à payer
6000^.(1,22 — 0,008.9), ou 6000'X 1,193, ou 7158 fr.
A la fin de la seconde période , il aura à payer
10000^(1,22—0,003.19), ou 10000* X 1,163, ou 11630 fr.
A la fin de la troisième période , il aura à payer
7988',6606 (1,22 — 0,003.29), ou 7988S6606X 1,133,
c'esl-à-dire 9051',15.
Il reste à obtenir les réductions successives de l'annuité. L'an* nuité primitive était de 300 fois ô fr., ou de 1500 fr.
Pour obtenir la réduction à la fin de la première période de 10 années , il faut calculer d'abord l'amortissement annuel nécessaire pour éteindre en 40 ans une dette^de 100 fr.; cet amortissement est exprimé par
lOtf X 0,037 11100709
En y ajoutant 3',70 pour les intérêts , et 0^,60 pour les frais
cTadministration , en tout 4',30, on obtient ô',409799,
pour l'annuité afférente à un capital de 100 fr. Pour un capital de 6000 fr., l'annuité sera 60 fois plus grande , ou. . 324',ô9.
L'annuité primitive de 1500 fr. sera donc réduite à. 1 175 ,41 .
Pour obtenir la réduction à la fin de la seconde période de 10 années , il faut calculer l'amortissement annuel nécessaire pour éteindre en 30 ans une dette de 100 fr.; cet amoriissement est exprimé par
(1,0185)" — 1' *,o«Ki*w.
En y ajoutant 4S30, on obtient 6', 146550.
Pour un capital de 10000 fr., l'annuité sera 100 fois plus
grande, c'est-à-dire 614',6550.
L'annuité de 1175',41 sera donc réduite à 560^76.
784. V Une prime de 20 pour 100, au bout de 10 ans, revient a une prime annuelle de 2 pour 100 ; le porteur d'une obligation aurait donc placé son argent à 3-}- 2, ou 5 pour 100, si cette obligation était remboursée au bout de 10 ans.
2^ Une prime de 20 pour 100 , au bout de 20 ans , revient à
SOLUT. DES PROBL. 23
S54 sKJunons tts nuBubififi
«ne prime anmiette de 1 pour 10§; le iMX réel <dm ^aoemeût serait donc dans cec»s<4e3 + l^oii4 fom IM.
En raisonnant de Bième, on tromrara
S'' Que ie taux réel du placement serait 3^666»..» si robligation était remboursée au bout de 30 ans.
k!* Que le taux serait 3^, AI au bout de M «s.
ô"" iiue le taux serait S^M'au bout de 50 ans.
78S*. L'amarstîMemeat amiuel cberc^ sera donaé (7SS) par la formule
120^X0,025 ,, , ^fc^ffoa»
attendu que le capital définitif est ici 100 fr., plus 20 fr., on 120 fir.
T86. Dans llijpothèse dont il s'agit, lat rooidié reçoit mmellement:
10 Intérêts du capital '. 3^,700000
2* Amortissement 0 »7Mk332
S"" Frais d'administration (pour mémoire} 0 ,595668
Total. . . Q^JÊOKM
D'un autre côté , elle a à débourser :
V Intérêts d'«n dmème d'obligation • . . ' S'^OOMOO
%"* Amortiss^nent da capital et de k prime. ... 1 ^17^7 3* Frais d'adminisiration (pour mémoire) O ^5666
Total. . . 4^813495
La différence entre ces deux résultats, ou .... . O'ylSddOS est le bénéfice cherché.
787''. On a trouvé plus haut (7SS), pour Tamortissement annuelrelatif à un capital de 120 fr., à 2,50 pour 100. I',2l7827.
L'amortissement relatif à un capital de 100 fr., s*obtienâra en multipliant celui-ci par {fj , ou f , ce qui donne. . 1^0l4856.
Cela posé, les portions de capital amorti au bout des temps indiqués seront données par les formules
Cy,704382[(l,0t85r— 1] .. t^0l4&56 [(1,0125)*»- i] 0,037 ®' 0,025
dans lesquelles on fera successivement :
SUR LES IlfftBfirS 4Xm(Jf3ÊA.
En effadnut ees calculs , cm tranvera :
Nombres d'années.
Amortissement à S,TO.
Amortissement à 2,50.
ll',44M76
En retranchant ces nombres de 100 fr., on aura les restes des dettes aux ipoqnes coosîdérées, et l'on pounra fesmer k tableau saiiaui:
Sombre* d'anoées.
Restes à 3,70.
Restes à 2,50.
Différences.
788, Jl résulte de ce que Ton a vu au n° 77S , que si n est le ■ombre d'années éooulées depuis l'emprunt , et R ce qu'il reste à payer pour se libérer, la remise sur les 20 pour 100 de ce reste est exprimée par
Il X 0,20 X 0,015 X (» — 1), ou 0,003 (n~l).R.
Si Ton remplace successivement n par 10, 20, 30, 40, et R par les nombres inscrits dans la seconde colonne du tableau précédent , qm se rapporte à un amortissement au taux de 3,70 , on ebtîeiidni les remises correspomdaQtes^ et l'on pourra former le tableau suivant :
Nombres d'années.
Viilërencea des denx amortissements.
Remises {k 1 1/2 p. 100).
On voit que la remise faite par le Crédit foncier est un peu inférieure à la difiérenoe des deux amorliaiemeiiis.
789. En conservant les notations du numéro précédent , la remise eût été exprimée par
0,20 X 0,02 (n — l)R, ou par 0,004 (n — l)R.
En eSèctuant les calculs comme au numéro précédent, on peut former le tableau qui suit :
Nombres d'âonéet. ^ deJïïïîSSSÎeiiieDts. ^^^ à 2 pour w.
La Société du Crédit foncier n'aurait donc pas pu, sans perte, porter la remise sur le cinquième de la dette restante, aux 2 pour 100 de ce cinquième par versement effectué.
