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SUR LES OPÉRÂTiOliS DE BANQUE. ili9
Les colounea (1 ) et (2) exprizaeat en fraaes et ceortimes les sommes payées à Jacques; la colonne (3) montre que le payement a été fait en espèces ; la colonne (4) donne les dates des payements; la colonne (5) contient les nombres de jours compris entre chacune de ces dates et la date de l'arrêté de compte ; la colonne (6) contient les nombres, produit des sommes inscrites dans la colonne (1 ) par les nombres de jours inscrits dans la colonne (5). Mais il faut bien remarquer que Ton a retranché les deux derniers chiffres à droite de ces nombres^ c'est-à-dire qu'on les a divisés par 1 00; et si l'on voulait obtenir l'intérêt qui correspond à chacun d'eux, il faudrait diviser non plus par 7200, mais par 72. Cette simplification, consacrée par l'usage, n'altère pas d'une manière appréciable les résultats de l'opération, surtout si Ton a soin, en supprimant les deux derniers chiffres à droite de chaque nombre, de £orcer le dernier chifEre que l'oa conserve, lorsque le suivant est plus grand que 5.
Les colonnes (7), (8), (9), (40), (14) et (42) ont, m crédit, les mêmes fonctions respectives que les e^^en-
us (1 ), (2), (3), (4), (5) et (6) du àéML
On demande de présenter sous la même forme le compte dont les éléments suivent :
Simon, banquier à Paris , a payé le 14 janvier 1856 une somme de 1 500 fr- pour le compte de Rémy, négociant à Bordeaux*
Le 4 9 février, Simon a fait à Rémj une avance de 2000 fr.
Le 28 du même mois, Rémy a remis à Simon divers
effets payables à son ordre le 31 mars, et dont le bordereau s'élève à 3140 fr.
Le 1 1 mars, Rémy a remis un autre effet de 850 fr. payable à Tordre de Simon le 1 5 avril.
Le 8 avril, Simon a payé une traite de 2640 fr. tirée sur lui par Rémy.
Le 1 9 mai, Simon a tiré à son tour sur Rémy pour la somme de 3000 fr.
Le 4 juin, Simon a fait à Rémy une avance de 460Ô fr.
Le 17 juillet, il a payé au compte de Rémy une somme de 400 fr.
Le 6 août, Rémy a remis un effet de 1850 fr., payable à Tordre de Simon le 30 septembre. *
Rémy demande son compte à la date du 31 octobre ; les intérêts réciproques étant calculés à 6 pour 100.
486. Il arrive souvent qu'au moment où Ton arrête un compte, il reste, de part et d'autre, des billets remis, mais non encore échus. Reprenons, par exemple, le premier compte du n** 485, et supposons qu'il y ait, outre les articles mentionnés sur ce compte, un billet de 1 500 fr. remis par Jacques le 20 novembre, mais payable seulement le 20 février. On inscrit cette somme de 1 500 fr. au crédit de Jacques, et elle se trouve ainsi comptée en déduction de ce qu'il doit à la date du 31 décembre ; mais comme Pierre n'en jouira réellement que le 20 février, c'est une véritable avance qu'il fait à Jacques, depuis le 31 décembre jusqu'au 21 février, c'est-à-dire pendant 51 jours, et Jacques lui en doit les intérêts pour ce nombre de jours. On portera
donc le nombre correspondant à ces intérêts au débit de Jacques; mais, afin de conserver la trace de leur origine,, on portera ce même nombre au crédit, seur lement pour mémoire et à V encre rouge, pour ne pas le confondre avec ceux qui font réellement partie du crédit : c'est ce qu'on appelle un nombre rouge.
La balance du compte se fera comme à l'ordinaire, sans avoir égard à ce nombre rouge.
On demande de présenter le compte avec cette modification.
487. S'il y a des nombres rouges au crédit et au débita on en fait la balance séparément, et c'est le résultat de cette opération que Ton porte à l'encre noire du côté le plus faible >
Reprenons le 2* compte du n"* 48 S ; et supposons qu'outre les données de ce compte il y ait :
l"* Un billet de 680 fr., remis à Simon par Rémy, le 29 août, et payable le 29 novembre;
2"* Une traite de Simon de la valeur de 1000 fr., payable à l'ordre de Rémy le 31 décembre ;
3^ Deux billets de Rémy, montant ensemble à 1380 fr., et payable à Perdre de Simon le 12 janvier.
On demande de présenter le compte de Rémy à la date du 31 octobre, en ayant égard à ces nouveaux articles.
488. La méthode ancienne, ou directe, offre cet inconvénient grave que si, pour une cause quelconque, l'époque prévue de l'arrêté de compte vient à changer, il faut recommencer tous les calculs. C'est une des
?R0BL. *i
16i PROBLÈMES
causes qui ont fait prévaloir la méliiQde Bonrelle , ou
rétrograde.
Dans cette méthode , on prend pour point de départ une époque antérieure à toutes les écliéances , soit le premier jour de Tannée, soit la date du dernier arrêté de compte, soit celle de la première échéance , et Von compte les jours depuis cette date arbitraire, mais déterminée , jusqu'à la date d'échéance de chaque artid«. On calcule, les tiombres comme dans la méthode ancienne , en multipliant les sommes par les jours* On fait une balance préparatoire des sommes^ ou capitaux ; on multiplie la balance par le nombre de jours compris depuis l'époque fixe choisie jusqu'au jour de l'arrêté de compte , on obtient ainsi un nombre que Ton écrit dans la colonne des nombres , et du même côté que la balance. On fait ensuite la balance des nombres , et Ton en déduit les intérêts , que Ton écrit du même côté que la balance des nombres. On £ait e^nfin , oomme à r ordinaire , la balance définitive qui donne le solde du compte.
On suppose d'abord que le compte de Jacques , cheg Pierre , arrêté le 30 septembre , ne renferme que deux articles, savoir :
Une somme Me 4000 fr. en espèces, av9.ncée par Pierre, le 6 juin;
Un billet de 1960fr., remis par Jacques, et payable à Tordre de Pierre le 1 5 juillet.
On demande ;
1 ^ De trouver la balance du compte par la ratétbade directe et par la méthode rétrograde, les intérêts étant
«cdcalés à 5 poar 400, et Troque fixe, dans la méthode mmyeiie, étant h 1"^ avril;
2** De démontrer que les deux méthodes doivent 4oimer lem^e résultat*
489. On suppose, en second lieu, que le compte renferme un troisième article, savoir : un effet de 640 fr. remis par Jacques, et payable à Tordre de Pierre le 1 novembre. On demande :
1 ° De trouver la balance du compte par la méthode directe et par la méthode rétrograde j
2*" De démontrer que les deux méthodes doivent donner le même résultat, quoique la seconde n'emploie aucun nombre rouge.
490. On supposé enfin que les données soient celles du n* 487, et l'on demande de présenter le compte par la méthode rétrograde, en prenant pour époque fixe la date du premier article du débit , afin de diminuer les nombres, et les intérêts étant calculés à 6 pour 100.
491. LxKrsque le taux de l'iniér^ à'est pas le même «a débit ^ au crédit, il faut en revenir à la métiiode hambourgeoise ; mais on présente qudque&âs le compte seiift m» forme ub peu diffiêrenrfte.
Indépendamment d'une colonne pour k date d'e&* trée des arlîdfes, et d'une autre colonne pour le folio du journal auqud ces artides se rapportent , détails qui sont étrangers à Tobjet qui nous occupe et sur lesquels nous ne nous arrêterons pas, le compte présente 1 2 colonnes.
i64 PROBLÈMES
La 1'* renferme rindication de la nature des articles^ tant du débit que du crédit, espèces, bordereaux, etc.
La 2' et la 3* donnent en francs et centimes les sommes du débit.
La U^ et la 5* donnent de même les sommes du ci'édit.
La G** et la 7* donnent en francs et centimes les balances successives qu'on est obligé de faire quand on applique la méthode hambourgeoise.
La 8"* et la 9* donnent^ Tune le jour et Tautre le mois de la date de chaque échéance.
La 10* donne le nombre de jours compris entre la date de Téchéance de chaque article et celle de Téchéance suivante.
La 1 1 • donne les nombres , calculés d'après les nombres de jours placés dans la colonne précédente, mais seulement pour les intérêts débiteurs ; la 1 2* donne les mêmes nombres pour les intérêts créditeurs.
On fait la balance des nombres , d'où Ton déduit celle des intérêts , que Ton porte dans la colonne des capitaux, soit au débit, soit au crédit, suivant que les intérêts créditeurs l'emportent sur les intérêts débiteurs ou vice versa.
Il ne reste plus qu'à faire la balance des capitaux , qui donne le solde.
On demande de présenter sous cette forme le compte de Samuel chez Urbain , dont les éléments ont été don* nés au n"" 480.
Nota. Les questions d'intérêfque l'on a à résoudre dans la pratique sont toujours des questions directes^ comme celles qu î
viennent d*être traitées , c'est-à-dire que c'est toujours l'intéréi qui est rinconDue. Cependant il peut être utile, comme eiercice, de résoudre quelques questions inverses^ où l'intérêt est supposé donné ; mais, comme les questions de ce genre se représentent à l'occasion de l'escompte, nous renvoyons à cet égard au paragraphe suivant, afin d'éviter les redites inutiles.
§ V. De l'eseompte.
492 • On sait qu^ Von donne le nom à* escompte à la retenue que Ton opère sur la somme énoncée dans un efifet de commerce lorsqu'on l'acquitte avant son échéance.
Jacques a souscrit à l'ordre de Pierre un effet de 1000 fr., payable dans 3 mois ; Pierre est donc possesseur d'un titre qui, dans 3 mois , vaudra 1000 fr. Aujourd'hui, sa valeur est moindre, et si, pour avoir de l'argent, Pierre vend son titre à un banquier, celui-ci ne lui comptera pas 1 000 fr. ; il lui comptera une somme inférieure ; et la différence sera V escompte.
n France , l'escompte se calcule comme l'intérêt. Que vaut , par conséquent , un effet de 1 000 fr. payable dans 3 mois , si le taux de l'escompte est 6 pour 1 00 ?
493. Quelle est la valeur actuelle d'un effet de 4500 fr. payable dans 1 29 jours , le taux de l'escompte étant 5 pour 1 00 ?
494. Quelle est la valeur actuelle d'un effet de 6680 fr. payable dans 5 mois et 1 7 jours , le taux de Tescompte étant 5 { pour 1 00 ?
1^6 PROBLÈliES
495. Indépendamment èe Teseompte, te banqni retient presque toujours une commission ^ qui est ordi— nairement de ^ pour 1 00 y quelle que soit réchéance. On demande^ d*après cela^ ce qu*on toucherait ea faLflaoit «fico«q>ter chae»B deis «Sets m^tioanési ma. n-- 492, 495 et 494.
496. Un négocioBt ûâi préienter à l'escompte che^ un banquier un bordereau comprenant :
1* Un effet de 3217^60 payable dans 2 mois 5 jours; 2« — 849,50 — 3 — 11 —
Qa deffiftiide w qu'il touchera ,, en déduisait de» MBunea énoaeées dans eesr divers effets^ l'escompte à & pmt tOO ei'uaei coaunisaion de | pour 4Q0«
497. L'escompte se calculant en France comme l'intérêt, en appelant a la somme énoncée dans le billet 9 t le taux, n le nombre de jours, et e Tes— compte^ on a^ comme au n* 467 :
atn P . -,-
dans laquelle a , { ou n peuvent être pris pour incon nue aussi bien que e.
Un effet, payable dans 2 mois 19' jours, a donné liâtt i un escompte de 63t',20i, le taux étant 6 pour
iQO; quelle était La somme énoncée dans le billet?
498 *. Ua effet de 3480 fir. payaMe dans 4 mMS-
SUR LES OPÉRÂTK^fS DE BANQUE. 167
et 1 2 joBTB a doBDté lieu à un escompte de 63'y80 ; oa dfiirKaade quel était le taux de l'intérèi.
499 *. Un efifet de 1750 fr. a donné lieu à un escompte de 19',25î le taux de l'escompte étant 5 ^^ on demande quelle était Téchéance.
500*. On 3 feît escompler le même jour, à 6 pour f 00, deux elfefe , énonçant enseiid[>le une somme de 6000 &•, payables , le premier dan» un mois et demi, te second dans 2 mors 95 jours; et, déduction Mte de l'escompte et d'une commission de |- pour 100, on a torché 59i 7fr. On demande qudBes étaient !es sommes éftOEieée? dans chacun des deux billets.
âOi *• Troia efièta de 1800 &. cbaeun^ et dont les échéances sont exprimées par dea nombiea de joura proportiomiek à 17, à 19 et à 23, ont été eacomptéa à 5 pour iOOy et ont donné lieu à un escompte total d^ 7â',75. On demande de déterminer leurs édi^uacea» et Tescompte de chacun d eux.
502*. Deux effets ont été escomptés à 6 pour 100. Le premier a donné lieu àun escompte de 52 fr. ; le second, qui était payable 12 jours plus tôt, a donné lieu à un escompte de 28',60. On demande de déterminer : i^ les sopimes énoncées dans les deux billets , sachant qu'elles forment un total de 6600 fr. ; 2*" les échéances de ces effets.
SÙS^*. Un dfet de 3120 fr. a donné lieu à un es- QGSi^tede 49^40 ; et Von remarque que Vescxmpte eââ été le même si l'effet eût été payable Idî^mrsplus tard,.
i 68 PROBLÈMES
mais que le taux eût été inférieur d'une unité. On demande Téchéance du billet ainsi que le taux de l^escompte •
804. L'escompte , tel qu'on le pratique en France, porte le nom à'escorApte en dehors. Mais, dans la plupart des autres pays , on prend Vescompte en dedans^ c'est-à-dire que Ton considère la somme énoncée dans un billet comme un capital augmenté de son intérêt pour le temps indiqué par l'échéance, et c'est cet intérêt que l'on retranche de la somme énoncée lorsqu'on escompte le billet. Cette méthode, beaucoup moins commode que celle que l'on suit en France , est cependant plus rationnelle.
Jean achète à Pierre une certaine marchandise au prix de 1 00 fr. s'il paye comptant, ou au prix de 1 00 fr. augmentés de leurs intérêts à 6 pour 4 00 s'il ne paye que dans un an. Si Jean choisit ce dernier mode , il souscrit à Pierre un billet de 1 06 fr. payable dans un an. Supposons maintenant que Pierre Tcuille, le jour même, échanger ce billet contre de l'argent, il s'adresse à un banquier qui l'achète et lui en paye la valeur. Mais la valeur a.ctuelle du billet n'est pas 1 06 fr. : il ne vaudra 1 06 fr. que dans un an ; aujourd'hui il il ne vaut que les 100 fr., prix, au comptant, de la marchandise livrée; le banquier ne payera donc ce billet que 1 00 fr. , c'est-à-dire qu'il retiendra 6 fr. sur 106fr.
On demande , d'après cela , ce qu'il devrait retenir, si , le taux étant le même , il escomptait un billet de i 590 fr. payable dans un an.
505. Quel eût été rescompte en dehors, c'est-à dire calculé d'après la méthode française ?
506. Si Jean, au lieu de payer dans un an, payait dans 6 mois , il n'aurait à tenir compte que des intérêts de 1 00 fr. à 6 pour 1 00 pendant ce temps ; il souscrirait donc un billet de 1 03 fr. ; et si Pierre le faisait escompter immédiatement, le banquier ne donnerait toujours que 1 00 fr., c'est-à-dire qu'il retiendrait 3fr. suri 03 fr.
Quel serait,. d'après cela , l'escompte en dedans d'un billet de 2472 fr. payable dans 6 mois, le taux de l'escompte étant 6 pour 100?
SOT *. On demande d'établir, par les mêmes raisonnements, la formule générale de l'escompte en dedans , en appelant a la somme énoncée dans le billet , n le nombre de jours dont se compose l'échéance , t le taux , et e l'escompte.
Il résulte de la formule établie au numéro précédent, que pour obtenir rescompte en dedans j il faut multi' plier la somme énoncée dans Je billet par le produit du
taux et du nombre de jours ^ et diviser le résultat par ce
même produit augmenté de 36000.
808. Quel serait, d'après cela, l'escompte en dedans, à 6 pour 100, d'un billet de 3660 fr. payable dans 2 mois et 20 jours ?
809. Quel serait l'escompte en dedans, à 5 pour 100, d'un billet de 4890 fr. payable dans 4 mois et 21 jours ?
810^. D'après ce qui a été dit plus haut, l'escompte
i70 PMBLtHES
en dedans n'est antre chose que Vintirét de la vaUur actuelle du billet. On demande de faire Toir qu'en y ajoutant Tintérèt de cet intérêt^ on obtient rescom^te en dehors.
51 i ^. Un billet payable dans 3 mois, esconspté à &ponr 100> a donné lieu à un escompte de lOS fr.; ocr demande quelle était la somme énoncée dans le billet.
51 2 ^« Un billet , payable dans 3 mois et 6 joujes, a été escompté en dehors au taux de 5 pour 1 00 ; et Foa remarque que s'il eût été escompté en dedans ^ le porteur du billet eût gagné 20 centimes ; on demande quelle était la somme énoncée dans le billet, et quelle est la valeur de chacun des deux escomptes.
51 3 *. Un billet de 5239 &• ^ payaUe dans un mois et demi , a donné lieu à un escompte en dedans de 39 fr. } on demande quel était le taux de Tescompte.
514*. Un brllet de 2474*,5ff, escompté à 5 pour fOO en dedans, a donné lieu à un escompte de 24', 56; on demande dans combien de jours il était payable.
515*. Un billet ayant été escompté en dedans au taux de 5 pour ^ 00, il se trouve que la retenue a été de 4 pour 100 sur la somme énoncée. On demande à combien de jousse était Tédoéanee du. biUet.
516*. Un billet ayant été escompté en dedans au taux de 6 ^ pour 1 00, il se trouve que le résultat est le même que si le billet eût été escompté en dehoiis au
SUR LES OPERATIONS DE BANQUE. I7i
tatrr âe 6 pour fW; od demande à combien de jours était stut échéance.
517 *. On a deux billets, l'un de 6060 fr., l'autre de 60OO fr. L'échéance du premier est de 1 2 jours plus éloignée que cette du second; mais Tescompte en dedsns du premier, au taux de 5 pour 1 00, équivanlà l'escosapte en (Mers^ du second au taux de 6 piour iOO* On demande les échéances des deux billets.
518. Nous avons supposé jusqu'ici que le billet étabt escençléle j<mr même où il était souscrit ; îln^en sst. |»a» etdiaaivemeni siiinsi • Mais , s'il s'agit de Tes* fsoms^ en dehors^ on sa contente de peeadre l'intérêt de. la. somme énoneéepeuar le nsduhre de jours qui rea-^ te&t à eouirtr depiisîa le jour de Teseonpte jusqu'à l'é* chéance du billet ^ sans tenir compte du teot^ déjà écoulé depuis l'époque où le billet a été souscrit
Un billet de 1200 fr. a été souscrit le r' juillet; il est payable au 1"" octobre; on le fait escompter le 22 août i on demande quel sera , diaprés ce qui vient d'être dît, Tescompte en dehors à 6 pour f 00.
519. S'il s'agit de l'escompte en dedaas, oa suit une règle plus rigoureuse qui peut s^énoncer ainsi : Multiplier la sommiC énoncée dans le billet par le taux et par le nombre de J^ours qui restent à courir depuis le jour de l'escompte jusqu'à Téchéance ; et diviser le résultat par 36000 ajugmenté du procjuit du taux par le nombre total de jours compris entre l'échéance et le ^our où le billet a été souscrit.
Un Wllet de f 80Q fr. a été sotiserît le < •* avril ; a est
i 72 PROBLÈMES
payable le 1 "^ juillet ; on le fait escompter le 1 mai ; on demande quel sera Tescompte en dedans à 5 pour 100.
520 *. On demande de démontrer la légitimité de la règle donnée au numéro précédent.
521 *. Un billet souscrit le 2 octobre et payable le 1®' décembre a été escompté en dedans, à 6 pour 1001e 18 octobre, et l'escompte a été de 28',90. On demande quelle était la somme énoncée dans le billet*
522 *. Un billet de 2500 fr- , payable dans 60 jours, à partir de la date de la signature, a été escompté dans rintervalle, en dedans, et à 5 pour 1 00 , et l'escompte a été de 1 3^77. On demande combien il y avait de jours a courir encore depuis le jour de l'escompte jusqu'à l'échéance du billet.
S25*. Un billet de 8100 fr. , escompté en dedans à 5 pour 1 00 , 72 jours avant son échéance , a donné lieu à une retenue de 80 fr. On demande combien il s'était écoulé de jours depuis la signature du billet.
824 *• Un billet a été escompté 1 mois et demi avant son échéance, etl'escomple pris en dedans, à 6 pour 1 00, a été de 3 5', 64. On remarque que s'il avait été escompté en dehors à 5 pour 1 00, l'escompte eût été de 30 fr. On demande la somme énoncée dans le billet et le nombre de jours compris entre la date de la signature et celle de l'échéance.
52S *. Un billet a été souscrit (par exception) à 40
mois d'échéance; et Ton remarque que l'escompte en dedans, au taux convenu, pris à une époque quelconque^ serait précisément égal à l'escompte. en dehors, à un taux moindre d'une unité. On demande quel est le taux convenu.
