CHAPITRE V
mOBLEMES SUR LES BITEKETS G0HV08ES ET SUR LES ^ESTiOBfS QUI S'¥ AAFJNATENT.
5 t. «M Istéréta MaqMsés.
693. Oq sait qu'une somme est dite placée à itUérêls composés lorsque, chaque année, le capital s'accroît des intérêts produits pendant Tannée précédente.
Que deviendrait, au bout de 3 ans, une sonmie de 10000 te. placée à 5 pour 100 et à intérêts composés ?
694. Que deviendrait, au bout de 7 ans, une somme de 12500 fr. placée kUj pour 100 et à intérêts composés ?
69S *. Donner la formule qui exprime le capital définitif A en fonction du capital primitif a, du taux t de rintérêt, et du nombre d'années n qui exprime la durée du placement.
696. Calculer avec 6 décimales les capitaux définitifs produits par un capital primitif de 1 franc, placé à intérêts composés pendant 1 an, 2 ans, 3 ans, etc., jusqu'à 21 ans, le taux de l'intérêt étant 3, 3 |-, 4, ^1^? 5, 5 4, ou 6 pour 100.
697. Résoudre à l'aide de la table calculée au numéro précédent le problème du n* 694.
pi^QB*i5ifi[ES SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS. 2<9
698. Quelle est la somme qui, placée pendant 9 aûs à 5 pour 100, et à intérêts composés, produirait un capital de 45000 fr. ?
699. Pendant combien d'années fant*il qu'une somnae de 24000 fr. reste placée, à 4 1^ pour 400 et à intérêts composés', pour produire un capital de 389484S70?
700. A quel taux faut-il plac^ une somme de 1 8000 fr. pendant 5 ans et à intérêts composés pour produire un capital de 23525^28?
701. Lorsque la durée du placement s^ compose d'un certain nombre entier d'années augmenté d'une fraction, il faut supposer que le capital primitif a été placé à intérêts composés pendant le nombre entier d'années, et que le capital produit est resté placé à in» térêts simples pendant la fraction d'année restante.
Que deviendrait, au bout de 7 ans et 5 mois, une somme de 12500 fr. placée à 4 1^ pour 100 et à intérêts composés ?
702*. Donner la formule des intérêts composés dans le cas où la durée du placement se compose d'un nombre entier n d'années, augmenté d'une fraction d'année représentée par k.
705 *. Quelle est la somme qu'il faut placer acbiellement à 5 pour 100 et à intérêts composés pour produire au bout de 5 ans et 3 mois un capital de 120000 fr.?
704*. Pendant combien de temps faut-il cju^une
2t0 PROBLÈMES
somme de 25000 fr. reste placée à 4 pour 1 00 tu. intérêts composés pour produire un capital de 40000 fr. ?
705^. Quel temps faut-il pour doubler un capital placé à intérêts composés : l"" au taux de 4 pour 100; 2* au taux de 4 | pour 100; 3* au taux de 5 pour 100?
706^. Une somme de 10000 fr., placée à intérêts composés pendant 8 ans et 7 mois, a produit un capital de 14594^30 ; quel était le taux de l'intérêt?
707 *. On demande au bout de combien d'années une somme de 8400 fr., placée à 4 | pour 1 00 et à intérêts composés produirait le même capital définitif qu'une somme de 8360 fr. placée pendant le même temps à intérêts composés, mais à 5 pour 1 00. '
708^. Au bout de combien d'années une somme de 60000 fr., placée à 4 pour 100 et à intérêts composés, produirait-elle le même capital définitif qu'une somme 50000 fr. placée pendant Iç même temps à intérêts composés, mais à 5 pour 1 00 ?
709*. Une somme de 20000 fr. est restée placée pendant 12 ans à 5 pour ^00 et à intérêts composés; à quel taux faudrait-il placer, à intérêts composés, une somme de 18000 fr., pour produire au bout du même temps le même capital définitif?
710*. Une somme est restée placée pendant A ans à 4 ^ pour 1 00 et à intérêts composés ; à quel taux eût-il fallu qu'elle fût plaeée à intérêts simples pour pro-
SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS. 22i
duire au bout du même temps le même capital définitif?
711*. Une somme est restée placée pendant un certain temps à 4 pour 100 et à intérêts composés; et Ton remarque que si elle eût été placée pendant le même temps à 5 pour 1 00 et à intérêts simples, le capital définitif eût été le même. On demande la durée du placement.
712*. Une somme de 40000 fr., placée pendant 2 ans à intérêts composés^ a produit 81 fr. de plus que si elle eût été placée pendant le même temps à intérêts simples; on demande le taux de Tintérêt.
715*. Une somme, placée pendant 3 ans à intérêts composés 9 aurait produit le même capital si elle eût été placée à intérêts simples pendant 3 ans 1 mois et 25 jours. Quel était le taux de l'intérêt?
714*. On a placé à intérêts composés : 1** une somme de 30000 fr. pendant 7 ans; 2"* une somme de 20000 fr. pendant 14 ans; et la somme des capitaux définitifs a été 77864^75. On demande quel était le taux de l'intérêt.
71 S*. Deux sommes, l'une de 25000 fr., l'autre de 50000 fr., ont été placées à 5 pour 1 00 et à intérêts composés, et ont produit ensemble un capital définitif de 1 1 1 901 ',20 ; la première étant restée placée 2 fois plus de temps que la seconde, on demande la durée du placement de chacune déciles.
716*. Deux sommes, l'uae de 12000 fr., l'autrede
faSk FROBLËUS
15000 fr., ont été placées à 3 pour 100 et à i composés ; la seconde est resiée placée 3 ans de plua que la première^ et a produit un capital définitif supérieur de 5 562', 25 à celui qu*a produit la première. On demande la durée du placement de chacune d'elles.
717*. Une somme de 60000 fr. a été placée à îdh térêts composés pendant un certain nombre d'années. Si elle était restée placée un an de moin&, le capital définitif eût été inférieur de 3996', 12 ; si, au contraire^ elle était restée placée un an de plus, le capital définitif eût été supérieur de 4156',02. On demande quel était le taux de Tintérét, et quelle a été la durée du placement.
718*. On a deux sommes, l'une de 24000 fr., l'autre de 36000 fr . , à placer pendant 1 ans à deux taux, différents et à intérêts composés. Si l'on place la plus petite somme au taux le plus élevé et la plus grande au taux le plus bas, on obtiendra un capital définitif total de 87474',45. Si, au contraire, on place la pins petite somme au taux le plus bas et la plus grande au taux le plus élevé, on gagnera 341 9',73 à cette combinaison. A quel taux les* deux sommes dolvent-ellBSi être placées ?
719*. Une somme a été placée pendant 13 ans à intérêts composés. Si le taux eût été moins élevé d'une demi-unité, le capital définitif eût été 221 524';20; si, au contraire, le taux eût été plus élevé d'une demiuni^, le capital définitif eût été 250722 fir. On
SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS. 2f3
demande quelle était la somme placée ^ et quel était le taux de l'intérêt.
720. Dans certaines circonstances^ les intérêts^ au lieu de se capitaliser par années, se capitalisent par semestre ; c'est-à-dire qu'à la fin de chaque semestre le capital augmente des intérêts produits pendant le semestre précédent.
Quel serait, dans ces conditions, le capital définitif produit par une somme de 1 2500 fr. placée pendant 7 ans, au taux annuel de 4 |^ pour 1 00 ?
721*. Donner la formule qui exprime le capital définitif A en fonction du capital primitif a, du taux t de l'intérêt et du nombre n de semestres composant la durée du placement, les intérêts étant capitalisés par semestres»
722*. On demande de comparer les capitaux ]défiiûtifs produits par une somme a, placée pendant n aimées au taux t et à intérêts composés , suivant que ces intérêts se capitalisent par années ou par siemestrea.
725 *. Une somme a été placée pendant i 3 an» à intérêts composés; et Ton remarque que le capital définitif aurait augmenté d'un demi-centième de sa valeur si les intérêts eussent été capitalisés par semestres au lieu de l'être par années. On demande quel était le taux de l'intérêt.
724^* Une somme a été placée pendant un certain temps à intérêts composés, en capitalisant les intérêts
fl4 PROBLÈMES
par semestres; à quel faux eût-il falla placer la même somme pendant le même temps pour obtenir le même capital définitif, si les intérêts ayaient été capitalisés par années ?
Appliquer la formule obtenue au cas odi le taux de l'intérêt, relatif à la première bypothèse, serait 4 pour 100.
725 *. Une sonune de 20000 fr., placée à 4 pour 1 00 pendant un certain nombre d'années, en capitalisant les intérêts par semestres, a produit le même capital définitif qu'une somme de 201 31 ',17 placée au même taux, pendant le même temps, en capitalisant les intérêts par années. On demande la durée du placement.
S s. Des auimités et ée Vmmfwiimm^memU
726. Il arriTe souvent que, pendant un certain nombre d'années, on place annuellement une même somme au même taux et à intérêts composés. Les capitaux définitifs produits par chacun de ces placements forment alors une progression géométrique, et leur somme peut être obtenue sans qu'il soit nécessaire de calculer séparément chacun d'eux.
Pendant 8 ans^ on a placé chaque année une somme 2000 fr . à 4 1^ pour 1 00 et à intérêts composés ; on demande quel sera le capital définitif total produit au bout de la treizième année, à partir du premier placement.
727^. On demande de vérifier le calcul précédent au moyen de la table du n^ 696.
SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS. 2t5
728*. Pendant n années consécutives, on place aanuellement une somme a au taux ^ et à intérêts composés ; on demande quel sera le capital déQnitif total A produit au bout de la m*^*»' année, à partir du premier placement.
729*/ Quelle somme faut-il placer annuellement, pendant 1 années consécutives, à 5 pour 1 00 et à intérêts composés, pour produire, au bout de 1 5 ans, à partir du premier placement, un capital définitif total de 34000 fr. ?
730*. On a souvrat besoin de rapporter le capital définitif total à Tépoque même du dernier placement, qui, alors, ne fournit point d'intérêts. On demande d'établir la formule générale relative à ce cas.
731*. On a placé, pendant 1 7 années consécutives, une somme annuelle de 800 fr., à 4 pour 100 et à intérêts composés ; quel était le capital définitif total au moment du dernier placement?
732*. Quelle somme annuelle faut-il placer à 4^ pour 100 et à intérêts composés, à dater de la naissance d'un enfant, pour lui constituer, à Tâge de 21 SOIS, le capital nécessaire à Tacbat au pair de 3000 fr. de rentes A { pour 1 00 ?
733*. Pendant combien d'années consécutives faut-il placer une somme annuelle de 500 fr. à 3 pour 100 et à intérêts composés, pour former, au moment du dernier placement, un capital définitif total de 30000 fr.?
PfiOBL. 45 .
2t6 PROBLfiMES
734*. Une personne a placé, pendant 12 année» oonsécutiyes, une somme annuelle de 3600 fr. à inté* rets composés ; et, au moment du dernier placement^ son capital s'éleyait ainsi à 57301 '^OS. On demande
quel était le taux de l'intérêt.
758*. Lorsque Ton a fait un emprunt, etquelW s^acquitte de sa dette par des payements égaux effectués d*aiinée en année, l'opération prend le nom à' amortisse-, ment; et la somme payée annuellement est ce que Ton nomme une annuité.
Pour traiter les questions d'annuités ou d'amortissement, il faut bien remarquer que celui qui emprunte^ et qui ne peut s'acquitter qu'au bout d'un certain temps, doit non-seulement la somme empruntée, mais^ encore les intérêts de cette somme et les intérêts de ces intérêts; en d'autres termes, il doit le capital définitif que cette somme aurait produit si elle eût été placée à intérêts composés depuis le jour de l'emprunt jusqu'au jour du payement intégral.
On demande, d'après cela, d'établir la formule générale qui lie l'annuité avec la somme empruntée, avec le taux de l'intérêt et avec le nombre d'années employé à l'acquittement de la dette.
736*. Une compagnie qui emprunte 800000 fr* pour une entreprise industrielle, veut amortir sa dette çn 20 années ; le taux de l'intérêt étant 5 pour 1 00^ quel devra être le montant de l'annuité ?
737 *. Une personne s'est acquittée d'une dette au moyen de 10 annuités de 421 ',50 chacune; les intérêts
SUR LES IMTSRSn COMPOSES. SS7
^BMt ealeuléfi kA^ paur i 00, oa demande quel était k montant de la dette ?
738*. Une compagnie veut emprunter 450000 fr., et s'acquitter au moyen d'un certain nombre d*annaités de 30000 fr. chacune au plus ; les intérêts étant calculés à 6 pour 100, quel sera le nombre des annuités, <et par suite la Tateur exacte de chacune d^eiles ?
759*. Une personne a amorti une dette de 10000 fr. au moyen de 6 annuités de 1907',62 chacune ; quel était le taux de Fintérèt?
740*. Si l'on a amorti une dette de 10000 fr. au moyen de 6 annuités de 1907', 62 chacune; quelle annuité faudrait-il payer pendant le même temps pour amortir une dette de 84600 fr., le taux de l'intérêt étant supposé le même ?
741*,. Nous avons supposé, dans les numéros précédents, que la première annuité était payable un an après la date de l'emprunt ; il pourrait en être autrement.
Une compagnie emprunte 300000 fr., et s'engage à opérer le remboursement de cette somme en 1 annuités, dont la première ne sera payable que 5 ans après la date de l'emprunt ; quel devra être le montant de Tannuité, tes intérêts étant calculés à 5 pour 100?
• 742 *. Une compagnie a remboursé un emprunt de 480000 fr. au moyen d'un certain nombre d'annuités 4}e 121190^50 chacune; et il s'est écoulé le même nombre, d'années entre le payement de la première et
t28 PROBLÈMES
de la demièrey qu'entre le payement de la première et la date de l'emprunt ; on demande combien il y a eu d'annuités, sachant que les intérêts étaient calculés à 4| pour 100?
743^. Dans la plupaurt des États Européens qui ont eu recours à l'emprunt, le gouvernement affecte chaque année à l'amortissement de la dette puhlique une fraction déterminée et fixe du capital nominal de cette dette. Les sommes affectées à ce service sont déposées dans une caisse particulière appelée Caisse dC amoriisse-' menty où elles produisent, au bout d'un certain temps, en s'augmentant de leurs intérêts composés, le capital nécessaire à Textinction de la dette. La somme annuelle déposée par le gouvernement dans la Caisse d'amortissement est ce que l'on appelle la dotation de cette caisse.
Si la dotation est, comme cela arrive le plus souvent, le centième du capital nominal de la dette, on demande en combien d'annéeâ la dette sera éteinte, selon que les intérêts seront calculés à 5 pour 1 00, à 4 | pour 100, à 4 pour 100 ou à 3 pour 100.
Mais, dans la solution de cette question, il faut bien remarquer que l'État servant les intérêts de la dette, ne doit réellement que le capital emprunté.
744^. Dans quelques États, le gouvernement n'affecte à l'amortissement delà dette publique que |^ pour 100 du capital nominal de cette dette; en calculant les intérêts à 5 pour 1 00, quel temps faudrait-il pour amortir entièrement la dette, ou pour la réduire à moitié, au tiers ou au quart?
745 *. Ordinairement^ les fonds destinés à Tamor* tissement de la dette publique sont employés à racheter une certaine quantité de rentes, lorsque le cours est au-dessous du pair ; les rentes ainsi rachetées sont ensuite annulées.
En supposant qu'il ne s'agisse que de rentes 5 pour 100, et que TÉtat affecte toujours au rachat de ces rentes 1 centième de leur yaleur nominale, quel temps faudrait-il pour éteindre la dette si toutes ces rentes pouvaient être rachetées au cours uniforme de 90 ?
746^. A quel cours uniforme faudrait-il que le ra« chat se fît, pour que la dette dont il est question au numéro précédent fût amortie en 33 ans? (On suppose toujours la somme affectée à Famortissement égale au centième du capital nominal de la rente à racheter.)
747*. Mais le rachat ne peut s'opérer à un cours uniforme. Voici le tableau des rentes françaises qui ont été rachetées depuis le 1" juin 1816 jusqu'au 31 décembre 1 848 (il n'y a plus eu de rachat depuis cette époque), avec le cours moyen auquel le rachat s'est ef-^ fectué chaque année.
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