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Ou demande : 1 * à quel cours moyes chaque espèce de reotes a été rachetée ;
2' Quel temps il aurait fallu pour amortir la portion de la dette publique correspondaate à chaque espèce de rentes, si. le rachat avait pu s'effectuer an cours moyeu ci-dessus. (Ou suppose toujours que
l'État affecte à ramortissement le centième du capital «lominal de la dette. )
748*. Le tableau du n* 747 contient, entre autres éléments , les quantités de rentes 3 pour 1 00 qui ont 'été rachetées pendant la période de 24 ans, comprise <îe 1 825 à 1 848 , et le cours moyen par année d'après lequel le rachat s*est ejffeclué. Il est facile d'en déduire, pour chaque année , le prix de rachat et le taux réel <ïe rîntérêt.
Les sommes consacrées ainsi annuellement au ra- <;hat des rentes 3 pour 1 00 peuvent être considérées «comme des annuités de valeurs inégales, dont les intérêts se composent entre les mains des créanciers de Sl&taty suivant un taux variable d'année en année. ^Oa amande de calculer, dans cette hypothèse, le capital définitif produit par ces annuités.
749 ^ Quel eût été ce capital définitif, si l'État eût •consacré, chaque année, au rachat des rentes 3 pour f 00 la moyenne des sommes qu'il y a réellement affectées , et si le rachat se fût effectué au cours moyen de 74,56 obtenu au n*^ 747 ?
750 *. La dette publique en France comprenail, au l** janvier 1854, savoir *.
156017282 francs de rentes 4 ^ pour 100.
^63326 — 4 pour XOO.
e430ô6»(i — 3 pour 100.
Quelles sommes TÉtat eût-il dû consacrer annuellement au rachat de ces rentes pour éteindre sa dette en
f32 PROBLÈMES
40 ans , si le rachat avait pu s'effectuer constamment au pair.
7tSl^. Dans quelques États, Vamortissement s'opère par voie de remboursement au pair; dans ce cas le sort désigne chaque année quels seront les titres remboursés.
Ainsi l'emprunt russe de i 849 se compose d'obligations , portant intérêt à 4 ^^ pour 1 00 , et remboursables au pair, par la voie du sort. L'État consacre à l'amortissement 2 pour 1 00 du capital nominal de ces obligations.
On demande 1 ^ en combien d'années la dette sera complètement amortie; 2"* quelle est la portion de cette dette amortie depuis 1849 jusqu'à 1857, à l'époque anniversaire de la date de l'emprunt.
752^. Dans d'autres États, l'amortissement s'effectue par voie de rachat quand les fonds publics sont au-dessous du pair, et par voie de remboursement au pair quand les fonds atteignent le pair ou le dépassent.
Un État a contracté un emprunt de 60000000 fr. y divisé en obligations de 1 000 fr. rapportant chacune un intérêt annuel de 50 fr. Cet État consacre à l'amortissement 1 pour 100 du capital emprunté.
On suppose qu'un tiers de la dotation soit employé en remboursements au pair, et les deux autres tiers en rachats au-dessous du pair. A quel cours moyen ces rachats devraient-ils être opérés pour que la dette fût amortie en 36 ans ?
753 *. On a dit au n"" 720 que, dans certaines circonstances, les intérêts^ au lieu de se capitaliser par années, se capitalisent par semestre. Quel serait, dans cette hypothèse , l'expression du capital définitif produit au bout de n années par une annuité a , l'intérêt de 1 fr. étant r?
7tf4 *. Quel serait le capital définitif produit en 50 ans par une annuité de 1 fr. (soit 0^,50 par semestre ) , au taux de 4 ^ pour 1 00 ,. les intérêts se capitalisant par semestre.
756 ^. On demande de former le tableau des annuités à payer pour produire un capital définitif de* 100 fr., au bout de 20 ans, de 21 ans, de 22 ans , et ainsi de suite jusqu'à 50 ans , les intérêts se capitalisant par semestre, et le taux annuel étant 4 { pour 1 00.
( Ce tableau sera utile pour la solution de quelquesuns des problèmes qui suivent. )
756*. Quelle annuité fau^il payer pour produire au bout de 50 ans un capital définitif de 100 fr., les intérêts étant calculés au taux de 3,70 pour 100, et se capitalisant par semestre. (Le résultat demandé sera également utile dans ce qui va suivre. )
S 8. Da crédit foncier.
757 *• La Société du Crédit foncier de France sert d'intermédiaire entre les propriétaires fonciers qui ont besoin de capitaux, et les capitalistes qui ont des fonds à placer.
Elle prête sur première hypothèque ^ et pcmr un temps qui peut varier de 20 ans à 50 ans,. moyemiaDt une annuité totale qui se compose :
1 * Des intérêts à 4 ^ pour 100 du capital emprunté;
2* De 60 centimes par 1 00 tr. pour frais d'administration ;
3* De rannuité nécessaire pour amortir le capital ^nprunté au bout du temps fixé par Taete de pfèi, les iatérèts se capitalisant par semestre. ( En f»mit h tomme de ces toois parties pour un prêt de 1 00 tr.j ^ complète les centimes.)
Un cultivateur emprunte 1 0000 fr. pour 50 ans i quelle annuité totale devra-t-il servir, et combien aura- <ril à payer par semestre?
758 *. Quelle annuité uo propriétaire aiura-tril à payer s'il emprunte 24000 fr* pour 30 ans ?
789*. On emprunte 18600 fr. pour 21 ans; qu'aura-t-on à payer par semestre ?
760 *. Un cultivateur paye chaque semestre au Crédit foncier la somme de 610S85, et n'aura acquitté sa dette qu'en 4-5 ans j quelle somme avait-il empruntée ?
761 *. Un propriétaire a emprunté une sonamede 32750 fr.j et^ pour s'acquitter, il paye chaque semestre à la Société du Crédit foncier la somme de 980',27 ; on demande pour combien de temp» ^ ^^' prunt a été fait.
762*. Deux propriétaires, qui ont emprunté 1^*^
SUR LES UITË&ÊTS COMPOSÉS. S95
pour 26 ans et Fantre pour 48 an», payent la mésne annuité. La somme empruntée par le dernier est ée 1 0000 fr. ; quelle est la somme empruntée par le {unemier ?
763r **"« Un propriétaire y qui a emprunté une certaine somme pour 47 ans f remarque qu*il aurait eu à pa^r "16^23 de moins par année, s'îl eût emprunté la mèfiie somm^ peur 4& ans. On demande quelle est la acdonne empruntée.
764 *. Un propriétaire , qui a emprunté 50000 fr., remarque que s'il avait prolongé de 7 ans la durée du prêt, il aurait eu 221 ',45 de moins à payer chaque année* On demande quelle est la durée du prêt ef quel
est le montant de Tannuité.
765 *. Lorsque la durée du prêt est de 50 ans, la
Société du Crédit foncier offre au choix de Temprunteur une autre combinaison par suite de laquelle le remboursement annuel , ou l'annuité , n*est que de 5 fr. pour un prêt de 4 00 fr. Les intérêts sont alors ealeulés à 3,70 pour 4 00.
( On irerra plus loin à quel point de vue il peut, être avantageux pour l'emprunteur de choisir la première combinaison, dans laquelle l'annuité est de 5',45.)
On demande à combien &'élè?ent , dans Thypoâièse dont il s'agit , les frais d'administration pour un prêt de tOO fr.
766 *. Un propriétaire veut emprunter 32000 fr. pour 50 ans , d'après le mode dans lequel les intérêts sont calculés à 3,70 pom 1 00 ; emnbien aurart*il 4
S36 PROBtftMES
- payer par semestre ; et pour combien, dans la somme qu'il payera, figureront les intérêts et Tamortissement?
767*. L'emprunteur a la faculté de se libérer avant le temps fixé par l'acte de prêt. La somme qu'il doit payer s'obtient en calculant la portion du capital déjà amortie et en la retrancbant du capital lui-même. Hais la Société du Crédit foncier prend en outre on droit proportionnel sur ce qui reste, pour s'indemniser en partie des frais d'administration qu'elle perd par cette libération anticipée. Ce droit est de 3 pour 1 00 quand les intérêts sont calculés k A\ pour 1 00.
Un cultivateur qui a emprunté 20000 fr. pour 50 ans , veut se libérer au bout de 36 ans ; on demande ce qu'il aura à payer.
768 *. Que devra payer un propriétaire qui a emprunté 60000 fr. pour 40 ans^ s'il veut se libérer au bout de 25 ans?
769 *. Un cultivateur, qui a emprunté une certaine somme pour 30 ans, calcule qu'il aurait à payer 10083^,84 s'il voulait se libérer au bout de 11 ans; on demande quelle est la somme empruntée.
770 *. Un propriétaire , qui a emprunté 250000 fr. pour 38 ans, calcule que, s'il veut se libérer à une cer-
aine époque, il aura à payer 164662',54. On demande au bout de combien d'années il compte pouvoir se libérer ainsi.
771 ^» Une personne , qui a emprunté 12000 fr. t
SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS. i37
calcule que si elle voulait se libérer au bout de 8 ans^ elle aurait à payer une somme de 10020^,1032. Ou demande quelle est la durée du prêt.
772 *. Lorsqu'il s'agît d'un prêt de 50 ans, et que les intérêts sont calculés à 3,70 pour 100 (76S), le remboursement anticipé s'opère d'une manière différente. -Le droit proportionnel de 3 pour 100 que, dans la combinaison dont il a été question jusqu'ici^ Temprunteur est tenu de payer à la Société du Crédit foncier sur la portion du capital non encore amortie , est ici réduit à 2 pour 100. Mais , pour se couvrir de ses déboursés , la Société retient en outre une prime qui se calcule de la manière suivante : oi\ prend lé 5* du capital non encore amorti , et sur ce 5* on retranche autant de fois 1 \ pour 100 qu'il y a eu de versements annuels effectués par l'emprunteur.
On demande quelle fraction du capital non amorti la Société aurait ainsi à faire payer en totalité à l'em* .prunteur en sus de ce capital, s'il voulait se libérer au bout de 20 ans.
773*. Dans l'hypothèse d'un prêt de 50 ans, les intérêts étant calculés à 3,70 pour 100, on demande d'exprimer d'une manière générale la fraction du capital non encore amorti que l'emprunteur aura à payer en sus de ce capital, s'il veut se libérer au bout de n années, à partir de la date de l'emprunt.
774*. Un cultivateur a emprunté 20000 fr. pour 50 ans, au taux de 3,70 pour 100; on demande ce qu'il aura à payer s'il veut se libérer au bout de 36 ans.
On comparera le résultat obtenu à celui du n"* 767.
775 *. Un ealtivatenr Tant «rapraster «m eeitaîne somme pour 50 ans ; mais il espère se libérer an boBt de 1 6 ans ; quel est le mode d*eœpnint dans lequel la somme à payer au moment de la libération sera la moindre , le mode dans lequel les intérêts sont eal* eulés à 4,25 pour 100, ou celui où ik sont calculésà3J0?
776 ^. Mais lorsque Ton Tcnt comparer complètement les deux modes d^emprunt , au point de vue de la libération anticipée, il ne suffit pas de comparer 1^ sommes que Temprunteur devra payer, dans ces deax modes , au moment où il Toudra se libérer; il faut tenir compte des sommes qu'il a déjà yersées à la Société du Crédit foncier, et de leurs intérêts composés par semestre et calculés au taux de 3 pour 100^ qui représente le taux ordinaire du bénéfice obtena dans l'exploitation des propriétés foncières.
On demande de compléter de cette manière la com* paraison indiquée au numéro {^cèdent.
777 *. On demande de faire la même comparaison^ dans l'hypothèse où l'emprunteur voudrait se libérer 1* au bout de 17 ans , 2* au bout de 18 ans ; et d'en tirer une conséquence quant au choix du mode d'emprunt.
778 ^. Un cultivateur veut emprunter 40000 b^ pour 50 ans; mais il espère se libérer au bout de 25 ans. Quel mode d'emprunt devra-t-il choisir; et qu'aura- t-il à payer au moment où il se libérera ?
779^. Un propriétaire qui veut emprunter one^
SUR LES INTÊIltÊTS COMPOSES. f39
certaine somme pour 50 ans , calcule que s'il voulait se libérer au bout de 30 ans , il aurait 8044'992 de plus à payer dans le second mode d'emprunt que dans le premier» On demande la somme qu*il se propose d'emprunter.
780 *. L'emprunteur peut aussi se libérer partieU lement^ et il en résulte une diminution dans le chiffre de son annuité.
Pour ne pas introduire dans la comptabilité une complication inutile , la Société n'admet la libération partielle que pour un multiple de 100 fr. En se libérant ainsi , l'emprunteur doit payer en outre l'indemnité de 3 pour 100 dans le premier mode d'emprunt , ou l'indemnité de 2 pour 1 00 et la prime (772) dans le second mode.
Pour chaque somme de 1 00 fr. dont il se libère ,. son annuité doit être diminuée de celle qu'il aurait eu à payer, s'il eût emprunte 100 fr. pour le temps qui reste à s'écouler jusqu'au terme de l'acte de prêt.
Un cultivateur ^ui a emprunté 15000 fr. pour 40 ans, yeùt se libérer de 3000 fr. au bout de 18 ans; on demande ce qu'il aura à payer, et de combien son annuité sera réduite.
781*. Un propriétaire qui a emprunté 200000 fr. pour 50 ans, d'après le second mode (dans lequel les intérêts sont calculés à 3,70 pour 100), veut se libérer de 40000 fr. au bout de 25 ans ; qu'aura-t-il à payer^ et de combien son annuité sera-t-elle réduite ?
240 PIOBLfiUS
782 ** Un propriétaire qui a emprunté 60000 fr. pour 40 ans, voudrait savoir ce qu'il aurait à payer pour se libérer du quart de cette somme au bout de 1 5 ans, et des trois autres quarts au bout de 28 ans. On demande de faire ce calcul, et d'indiquer la réduction que l'annuité devra subir à partir de la 1 6* année/
785 '*'• Un cultivateur, qui a emprunté 30000 fr. pour 50 ans, au taux de 3,70 pour 100, espère pouvoir se libérer de 6000 fr. au bout de 1 ans, de 1 0000 autres francs au bout de 20 ans, et du reste au bout de 30 ans. Qu'aura-t-il à payer à chacune de ces trois époques; et quelles seront les réductions successives de l'annuité?
