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tre ère. Il faut donc renoncer à cette représentation : à regret, car elle éviterait l'inconvénient que nous allons signaler pour l'hyperbole. — Reste à essayer une hyperbole, ayant naturellement ses asymptotes parallèles aux axes de coodonnées, aûn de n'avoir qu'une valeur de P pour chaque valeur de t. L'inconvénient est que l'hyperbole aura une asymptote, c'est-à-dire que P deviendra infini pour une valeur finie de t. On atténuera l'inconvénient en reculant le plus possible dans l'avenir (après t = 1922) l'asymptote, mais on ne le fera pas disparaître. Cependant, comme nous ne cherchons qu'une représentation satisfaisante pour le passé historique, une fausse représentation des phénomènes à venir n'est pas un obstacle impérieux: encore une fois, il ne s'agit pas d'exprimer une loi. Reste à voir si nous pouvons obtenir, avec une branche d'hyperbole, une représentation convenable pour la période historique.

La formule de notre hyperbole est de la forme :

P - A + Bt.

^—14. Gt.

Il y a 3 paramètres a déterminer, et, comme nous n'avons que deux points de repère, nous avons une certaine latitude pour tenir compte des possibilités historiques.

Du paramètre A dépend le chiffre correspondant à t = 0, soit à l'époque de J.-C. Nous avons vu qu'il est au plus égal à 300 millions, probablement quelque peu inférieur (2o0 millions).

Du paramètre B dépend le temps correspondant à P = 0, c'est-à-dire l'époque do l'apparition de l'humanité (250 millions = — Bt). On se doute que les

limites sont assez espacées I Un minimum est donne par le temps t = 5000 av. J.-C. : l'Egypte au moins était un pays, non seulement peuplé, mais civilisé, vers 4000. A ce temps correspondrait, pour B, la valeur 50000 environ [250 m. = 50000 X (— o000)j.

Le maximum se perd dans la nuit des temps, encore que les géologues estiment que, pour la dernière époque géologique, rien ne nous force à compter par plus que des dizaines de milliers d'années. En prenant t = — 250000, nous aurions :

250 millions = (250.000) X 1000 B = 1000

Disons que B sera pratiquement compris entre 1000 environ et 50000 environ : pour qui serait effrayé d'une pareille latitude, on fera remarquer que ce coefficient est celui qui influe le moins sur l'allure de la courbe à l'époque historique. Le numérateur de la fraction sera toujours compris entre 250 millions environ (pour B = 0), et une valeur assez rapprochée, même quand B atteint le maximum 50000. Si nous considérons l'an 2000 après J.-C, par exemple, nous avons (avec B = 50000)

P = 250 m. 4" 100 T^- = 350 millions environ.

On va voir que le dénominateur a une tout autre importance.

Reste en effet à déterminer le paramètre C, le plus délicat. De ce paramètre dépend le temps où l'on aura P = oo , ce qui arrive pour

1 + Ct = 0 Is'ous avons dit qu'il importait de prendre ce

temps t aussi loin que possible dans l'avenir. Nous allons voir qu'on est pourtant renfermé dans d'assez étroites limites. Prenons en effet

autrement dit, supposons que P = oo en 3000 ap. J.-C, époque qui nous paraît encore assez prochaine. C'est ici qu'il faut se rappeler que P doit avoir la valeur i milliard environ vers 1800, fait dont nous n'avons pas encore fait état. Comme

A = 300 millions à peine 1000 < B < 50.000

le numérateur, pour t == 1800, sera compris en gros entre 250 millions et 400 millions. Si nous faisons

C = — ^QQQ on a, pour t = 1800,

i,ct-i-^^-i^-i-

Autrement dit, il faut multiplier le numérateur par 15 et diviser par 6. Si on le prend égal à 250 millions, cela donne le chiffre 625 millions, trop bas. Avec 400 millions, on obtient le chiffre voulu : 1 milliard.

Mais, pour faire le numérateur = 400 millions, il a fallu

1° prendre A = 300 millions (maximum)

2^ prendre B = 50000 (maximum).

ce qui fausse l'allure de la courbe pour les époques antérieures au Christ.

Il y a plus. Nous n'avons pas voulu prendre comme point de repère l'époque contemporaine, mais il ne faut pas la perdre de vue. Or, si nous prenons