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nous avons, pour t = 2000 (2000 ap. J.-C),
P = 1200 millions.
(et ce, en donnant h A ei B les valeurs raaxima). Or, en 1900, P est déjà égal à 1300 millions.
Bref, ou fausse ainsi complètement l'allure de la courbe aux environs de l'an 1800. Graphiquement, plus on prend G faible en valeur absolue, plus on rapproche la courbe de la droite passant par les points de repère.
Gomme l'important pour nous est d'obtenir une représentation satisfaisante pour l'époque historique, nous n'hésiterons donc pas à prendre un chiffre plus bas pour G. Le chilfre devra être compris entre 1921 et 3000.
En résumé, nous avons trouvé :
pour A, une valeur un peu inférieure à 300 millions ;
pour B, une valeur comprise entre 1000 et 50.000, (ce coefficient ayant d'ailleurs une faible importance);
pour G, une valeur comprise entre 2000 et 3000.
Pour des raisons mnémotechniques sur lesquelles il est inutile d'insister, nous choisirons la formule.
Il suffira de calculer quelques valeurs remarquables de P pour pouvoir tracer la courbe:
t = — 3000 (3000 av. J.-G.) P = 79.500.000
t — 500 (500 av. J.-C.) P = 197.900.000
t = + 1767 (1767 ap. J.-G.) P = 1.000.000.000
t r= + 2000 (2000 ap. J.-G.) P — 1.500.000.000
On voit ici que nous atténuons légèrement la courbe aux environs de l'an 1800, puisqu'avec la formule adoptée P n'atteint qu'aux environs de l'an 2000 la valeur qu'en fait il a atteint dès l'an 1900. Mais nous avons dit que nous préférions obtenir pour la période historique une valeur satisfaisante en général, plutôt que de tenir compte rigoureusement de phénomènes contemporains dont la portée est encore malaisée à définir (voir la figure).
Encore une fois, la courbe réelle aurait certainement une allure moins ferme. Il valait pourtant la peine de tracer celle-ci. Les aberrances seraient, nous avons dit pourquoi, moins énormes qu'on ne le croirait d'abord. Et il serait toujours intéressant, si elles étaient bien constatées pour une époque nettement déterminée, de les rapprocher de la courbe moyenne. Les phénomènes particuliers n'ont d'intérêt et même de sens que rapportés à une vue d'ensemble.
Si Ton veut se faire quelque idée des oscillations possibles de la courbe, qui nous échappent, il est utile de se rapporter à la dérivée de la fonction que nous venons d'établir.
Que représente la dérivée de la fonction ? c'est, comme on sait, l'accroissement élémentaire de population dans l'élément de temps. Pratiquement, étant donné que nous envisageons un espace de plusieurs millénaires, nous pouvons le confondre avec le gain annuel, G.
En voici la formule :
b — ac G =
(1 + Ct)2
En portant dans la formule les valeurs de A, B, G, on a
On voit de suite que le numérateur étant une constante, et le dénominateur étant du second degré, l'accroissement de G sera beaucoup plus rapide que celui de P. Au surplus, voici quelques valeurs:
OAnn/OAAA TP^ 'l-^OOO 3.125.000 ,^^ , . 1
2000 (2000 av. J.-C.) =r 100 m. + e circa r-
tAA /t;AA T r ^ 125000 3.125.000 „^. 1
500 (500 av. J.-C.) ■= 200 m. — s c
ou
.AAA .AAA T n V 1-5000 3.125.000 ' 1
1000 (1000 ap. J.-C.) - = 460 m. c.
lOOOXo" ^"^ "'■ 1300
