PRÉFACE

L’ouvrage que nous livrons aujourd'hui à la publicité a un double but : montrer la parenté , sous le rapport philosophique , de la géométrie — et des mathématiques, en général — avec les autres sciences ; fonder ensuite la géométrie sur une base vraiment scientifique , pour arriver à une solution complète des postulats. Nous allons dire d’abord quelques mots de cette dernière partie, purement mathématique. Nous esquisserons rapidement, l’histoire de nos idées. Notre but, en agissant ainsi, n’est pas de poursuivre une vaine satisfaction d’amour-propre. Nous avons cru qu’en indiquant la manière dont nous sommes parvenu à découvrir les principes que nous exposons, nous leur donnerions un nouveau degré d’évidence.

« C’est sans doute, avait dit Legendre , à Finiperfection du langage vulgaire et à la difficulté de donner une bonne définition de la ligne droite, qu’il faut attribuer le peu de succès qu’ont obtenu les géomètres quand ils ont voulu déduire ce théorème (la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits) des seules notions sur l’égalité des triangles que contient le premier livre des éléments. »

S’il est vrai que les conjectures d’un homme de génie sont comme un pressentiment de la vérité, il y avait à perfectionner le langage mathématique, en n’y employant aucun terme qui n’eût été délini , pour procéder ensuite à la recherche d’une bonne définition de la ligne droite ; cette définition devait être telle qu’on pût en déduire, par voie démonstrative, la proposition que la droite est le plus court chemin entre deux points, ainsi que les postulats qui la complètent : entre deux points on ne peut tirer qu’une ligne droite ; quand deux portions de droites coïncident, les droites elles-mêmes coïncident dans toute leur étendue.

Un premier pas important était fait, si l’on établissait l’absurdité d’un nombre déterminé de plus courts chemins entre deux points. Or, si

entre les deux points A et B il existe un nombre déterminé de ces plus courts chemins, il doit en exister le même nombre entre les points C et B quelconques de l’un d’entre eux; ce qui détruit l’hypothèse (1). Quant au principe qui justifie ce raisonnement, il domine la géométrie entière et les autres sciences ; c’est l'homogénéité, c’est-à-dire, cette propriété de l’espace scientifique de pouvoir être indéfiniment et indifféremment divisé en parties semblables. Trouver ce principe, c’était trouver, en môme temps, que la ligne droite est une ligne homogène, que le plan est une surface homogène.

En partant de cette notion de l’espace, du plan et de la droite, de celles de la grandeur et de la forme qui en furent une conséquence, il était assez facile de déduire les théorèmes élémentaires concernant la ligne droite, le plan et la similitude; mais il restait encore à lever les difficultés qui entourent la théorie du parallélisme, et à trouver une bonne définition des parallèles.

Toutefois l’induction pouvait faciliter la solution de ce nouveau problème. Les définitions nouvelles de la droite et du plan une fois ac-

( 1 1 Voir la note de la page 77 , 3“ exemple.

quises, en recherchant en quoi elles l’emportaient sur les définitions ordinaires, on devait être sur la voie des règles de la définition géométrique. Ce travail tout critique mit en évidence le caractère génétique des définitions nouvelles, et l’absence de ce caractère dans les définitions anciennes, ainsi que dans celle des parallèles. Le problème comportait dès-lors un énoncé plus précis : Quel est le moyen général d’engendrer les parallèles?

Le rôle que le parallélisme joue dans la théorie de la similitude, conduisait naturellement à l’idée d’engendrer les parallèles comme on engendre les figures semblables, c’est-à-dire les figures qui ont même forme ou qui ne diffèrent qu’en grandeur. Or, le procédé générateur s’offrait ici pour ainsi dire de lui-même : c’était la majoration ou la minoration de l’espace. En effet, si d’un point quelconque, on se met à agrandir ou à rétrécir l’espace, toute droite cju’il renferme s’y meut parallèlement à elle-même. Les parallèles pouvaient donc se définir : des droites semblablement placées dans l’espace. Mais, l’espace étant homogène, deux droites quelconques y occupent des positions semblables. 11 était donc nécessaire de prendre une position fixe pour point de comparaison.

La position variable de la droite autour d’un de ses points en fut la direction, et la théorie des parallèles fut définitivement constituée.

C’est sur ces principes que nous avons basé la démonstration vainement cherchée jusqu’à présent des postulats. Ils permettent en outre de simplifier considérablement la théorie de la similitude en général.

Cet ouvrage peut-il avoir un intérêt didactique? bans notre pensée, oui. Si les principes que nous émettons, et par suite les démonstrations auxquelles ils servent de base, étaient plus obscurs que les choses à démontrer, nous aurions manqué notre but. Toute solution non pratique d’une difficulté élémentaire n’en est pas une à nos yeux (1).

Depuis plusieurs années déjà nous étions en possession des idées purement mathématiques que nous venons d’exposer (2). Les questions

( 1 ) Ce n’est pas à dire toutefois que , dans l’enseignement , on ne doive, en certains cas, différer l'exposition des principes d’une science, et la réserver pour le moment où l'élève est déjà plus ou moins familiarisé avec le sujet dont elle traite. C’est là une tout autre question. Ainsi , pour ne pas sortir du sujet qui nous occupe, on pourrait rejeter à la fin du cours de géométrie la démonstration des principes de la similitude , de l'isogénéité et de l’homogénéité, mais dès l’abord se servir de leurs conséquences, c'est-à-dire les appliquer.

,‘2j Nous avions même écrit quelques articles à ce sujet dans les Annaltt dt V Enseignement public , publiées à Vorviers , année 1857.

philosophiques qu’on peut soulever a l’occasion de la méthode et de la certitude des sciences nous préoccupaient en même temps; et, dans notre esprit, nous avions uni nos recherches sur les principes de la géométrie, et celles sur les principes fondamentaux des sciences humaines. Cependant ce n’était nullement notre intention, si nous donnions la solution des postulats, de nous étendre autant que nous le faisons aujourd’hui, sur les questions philosophiques. Mais plus tard en prenant connaissance d’une courte dissertation du savant docteur Ueberweg, dissertation conçue sous ce double point de vue, nous avons cru devoir suivre aussi cette marche. De la vient que la partie philosophique, générale et spéciale, tient une place considérable dans notre ouvrage, tandis que la partie qui traite des postulats, ne sert pour ainsi dire qu’à confirmer celle-là.

L’idée fondamentale en est bien simple.

Dans le groupe des sciences dites positives, on distingue communément les sciences inductives et les sciences déductives. Parmi ces dernières, on range spécialement les mathématiques. Seulement, d’un côté, il y a controverse sur le point de savoir si la mécanique fait ou non partie

de ces sciences; et de l’autre, on croit devoir réserver une place à part à l’arithmétique et à l’algèbre en tant qu’elles n’ont pas besoin, prétend-on, d’axiomes ni de postulats. Ce sont ces distinctions que nous avons eu pour but de mettre à néant. Nous avons cherché à montrer que les sciences positives procèdent toutes d’une manière uniforme. L 'observation leur fournit les données; par induction on s’élève à un principe hypothétique d’où l’expérience scientifique tire des conséquences ; c’est l’expérience qui sert proprement à édifier la science. La certitude de la science découle de la légitimité logique de sa méthode — c’est la certitude subjective — et de l’accord de ses résultats avec les faits observés — c’est la certitude objective. La science est vraie quand ses hypothèses sont à la fois subjectives et objectives (1).

Tout problème philosophique, quelque restreint qu’il paraisse, a cependant, en général, une très-haute portée, et se trouve dans d’intimes rapports avec d’autres questions plus graves. On

( I ) Nous avons employé quelques termes logiques, tels que ceux A'hypolhèses , (le description, de définition génétique, etc., dans un sens quelquefois un peu différent du sens ordinaire. Nous n’avons pas cru devoir motiver ces changements parce qu’ils ne nous oui pas semblé apporter d'obscurité dans le raisonnement.