LES TROIS DIMENSIONS

Déterminer un espace, c’est le limiter, et ce qui est déterminé, ou la figure , provient de la position de l’espace en deçà et la négation de l'espace au delà de la limite. Toute figure positive a done sa figure complémentaire ou négative. Je puis aussi bien appeler cercle, l’espace qui s’étend depuis le centre jusqu’à la circonférence, que celui qui s’étend à partir de celle-ci jusqu’à l'infini. Il suffit en général de considérer l’une de ces deux figures : mais tantôt l’on étudie l’une, tantôt l’autre, et parfois toutes les deux ensemble. Ainsi, la couronne circulaire est tout aussi bien la partie commune au cercle positif A et au cercle négatif B; c’est-à-dire à la figure renfermée par la circonférence A et à celle qui, s’étendant à l’infini, s’arrête à la circonférence B , que la partie non commune aux cercles positifs A et B ou aux cercles négatifs B et A. Quand on démontre que les angles externes d’un polygone sont égaux à quatre droits , c’est pour obtenir la somme des angles internes ; la figure négative sert à démonfrer une propriété de la figure positive. Enfin ,

pour donner des exemples plus décisifs , dans une courbe non fermée , on ne pcul pas raisonnablement considérer plutôt un côté de la limite que l’autre ; l’hyperbole, quand on ne l’engendre pas par une section de cône , est tout aussi bien l’espace compris entre les branches concaves qu’entre les branches convexes de la courbe ; et tout le monde sait que pour calculer l’aire de l’hyperbole , on prend non un segment intérieur, mais un segment extérieur, parce que, pour ce dernier, la relation de l’aire à l’abscisse est très-simple.

La figure positive et la figure négative comprenant tout l’espace , la limite qui les sépare n'est pas un espace. Je la nomme surface. Dans la surface, je puis concevoir de nouvelles déterminations, j’arriverai d’une manière analogue à l’idée de ligne — la ligne n’est pas une portion de surface — puis de celle-ci à l’idée de point — le point n’est pas une portion de ligne ( 4 ).

Ainsi est résolue négativement la question de savoir s’il faut considérer la surface comme l’écorce infiniment peu épaisse d’un solide , et si une infinité de surfaces superposées produisent un espace, etc. Avec un néant d'espace, un néant de surface, un néant de ligne, il est absurde de vouloir engendrer l’espace, la surface, la ligne.

Cette manière fausse de considérer le point , la ligne et la surface, vient de ce qu’on peut engendrer la ligne, la surface et le solide , au moyen du mouvement,

( 1 ) Oe même que toute figure à deux dimensions est toujours censée être tracée sur une surface, de même il faut regarder toute figure à une dimension comme tracée sur une ligne ; d’où l'idée d'une ligne négative. — Comparez ce que nous disons page 1 40, oit les villes doivent être supposés occupés par une ligne arbitraire niée. Voir aussi le 4* paragraphe du chapitre If du livre suivant.

c'est-à-dire en faisant intervenir un facteur homogène et par suite, indéfiniment divisible, le temps. M. Ueberweg a adopté aussi la notion des écorces infiniment peu épaisses pour eu tirer celle de surface, mais en se basant sur la divisibilité à l’infini de l’espace; et, comme tant d'autres, il n’a pas voulu voir que la portion du corps obtenue par sa division à l’infini , comprenait toujours au moins deux surfaces. Mais nous reviendrons sur ce point en parlant des éléments.

Enfin, ceux qui définissent le point l'intersection de doux lignes, et la ligne l’intersection de deux surfaces, ne peuvent définir la surface l’intersection de deux corps. La considération seule des figures négatives et positives fixe le vrai sens du mot limite. Une feuille de papier mi-partie de blanc et de noir rend cette définition intuitive et sensible.

Pourquoi maintenant n’y a-t-il que ces trois espèces do limites possibles? La réponse à cette question est un fait, un postulat de la géométrie :

L'espace a trois dimensions.

Quand on considère les trois dimensions à la fois, on a les solides; laites abstraction d’une dimension, vous aurez une surface; de deux, une ligne; de trois, le point. Mais, nous le répétons, c’est là un fait irréductible , inexpliqué jusqu'à préseut, et inexplicable.

11 nous reste à définir la dimension.

Toute ligure peut s’engendrer par le mouvement de sa limite, que le mouvement générateur soit isogénique ou simplement continu, c’est-à-dire que la limite reste invariable ou se déforme pendant son mouvement.

Tout quantum qui se pose extérieurement à lui-même par un mouvement continu, engendre un quanlum d’un ordre supérieur.

Le point est la limite génératrice première. Par un mouvement continu qui le place toujours en dehors de sa position précédente, il engendre la ligne, quantum du I" ordre. De la môme manière, la ligne engendre la surface, quantum du 2* ordre; et la surface le solide, quantum du 3“ ordre.

On appelle dimension le quantum qui donne la mesure du mouvement générateur pur lequel on passe d'un quantum d'un ordre quelconque à un quantum de l’ordre immédiatement supérieur.

Ce quantum est pour la ligne sa longueur -, pour la surface, étant donnée la dimension de la ligne génératrice, c’est la largeur, ou la trajectoire arbitraire (1) d’un point quelconque de cette ligne; enfin, étant données les deux dimensions de la surface génératrice , pour le solide, c’est la hauteur, ou la trajectoire arbitraire d’un point quelconque de cette surface.

Les dimensions servent à mesurer le quantum donné ; elles sont indifférentes , c’est-à-dire peuvent se prendre l’une pour l’autre , car chacune d’elles est nue ligne

( 1 ) Il est bon de faire ici une distinction : la dimension mesurée est nécessairement une ligne droite (voir dans le livre III ce que nous disons sur les t mités) . mais la ligne que l'on prend comme une des dimensions du corps , n'est pas nécessairement une droite. De même que, quand je parle de la longueur d'un chemin , quoique la longueur mesurée , trois kilomètres par exemple), soit rectifiés, il n'ost pas nécessaire que cette ligne soit droite ', de même, la largeur, ou la hauteur, en tant qu’elle est exprimée par une ligue tracée dans le corps, peut fort bien être courbe ou sinueuse ; telles seraient nécessairement les dimensions d’une surface à simple ou à double courbure. Il est bien entendu toutefois que nous n’entendons pas dénier à la ligne droite, ses qualités précieuses pour la mesure ; nous voulons seulement établir que les idées intuitives de longueur, largeur et hauteur n’entraînent pas nécessairement avec Plies l’idée de droite.

plus ou moins arbitraire dans le quantum (1). Nous disons plus ou moins ; car, par exemple , la surface génératrice étant donnée, la hauteur ne peut être une ligne de cette surface génératrice Abstraction faite de l’intuition de l’espace, au point de vue de la quantité pure , les ordres de quantums sont en nombre infini ; de là, les quantités du 4", du 5° ordre, etc. , dont parle l’algèbre ; de là même , l’étude possible des courbes à quatre, à cinq variables. Mais l’espace géométrique n’a que trois dimensions; trois mouvements sont nécessaires et suffisants pour l’engendrer. Il est donc faux de dire : L'espace a une infinité de dimensions , et par convention , on en considère trois principales ; c’est confondre avec le nombre des dimensions l’infinité des lignes mesures possibles , mais entre lesquelles on n’a qu’un choix limité.

On a rarement cherché à donner la définition du mot dimension (2). M. Ueberweg le définit à peu près comme nous :

« On nomme dimension, dit-il, la génération d’une série d’éléments hors d’un élément, par une position répétée un nombre fini ou infini de fois de cet élément.

» Une série est une suite d’éléments procédant suivant une certaine loi. »

De là, continue-t-il, la proposition : l'espace a trois dimensions.

i 1 ) On a coutume de dire que la plus grande dimension est la longueur, et la plus petite la hauteur, ou épaisseur, ou encore profondeur. Dp plus, on dit quelquefois que la surface n’a que deux dimensions, la longueur et la largeur. 11 faut remarquer cependant que, même en parlant géométrie, on dit toujours la hauteur d’un triangle nu d'un rectangle, et qu’on ne parle pas delà longueur de ces figures, mais de leur base.

2 ) Le dictionnaire de l’Académie dit que c’est Y étendue des corps.

Ces définitions ne laissent pas cependant de prêter à la critique. Ainsi, la dimension n’est pas une génération, niais une ligne; la position répétée un nombre fini de lois d’un élément, n’engendre pas une dimension; enfin, la série est produite suivant une loi, taudis que l’idée de loi n’entre pour rien dans celle de dimension.

D’ailleurs, il est assez difficile de déduire rigoureusement de cette définition la proposition que l'espace a trois dimensions; on en déduirait plutôt celle-ci : l'espace a une in/mité de dimensions.

Quant à notre définition, outre quelle est d’accord avec l’étymologie, elle rend fidèlement, croyons-nous, l’idée vulgaire qu’ou se fait des dimensions. Quand ou évalue une surface, un terrain par exemple, on trace une certaine ligne arbitraire qui sert à mesurer sa longueur ; puis, en tant que l’esprit se reporte sur la largeur, il fait mouvoir cette même ligne suivant une trajectoire arbitraire, qui sert à donner la mesure de la seconde dimension.

g 4 . — DE l’ixfimté de l'espace, du point, et des éléments GÉOMÉTRIQUES.

Nous sommes ici au cœur de toutes les contradictions qu’entraînent ees notions premières, conditions de toute pensée philosophique ou scientifique.

Ce que nous cherchons dans ce travail , ce n’est pas proprement , soit à les résoudre effectivement , soit à les déclarer insolubles, ce qui coupe court à toute discussion, nous voulons seulement chercher à préciser, autant que possible , les termes employés , et à trouver l’essence fondamentale des choses qu’ils expriment.

Nous avons déjà accompli une partie de cette tâche par nos définitions de l’homogénéité, de l’isogénéité

et de la continuité. Il nous reste à parler de l’infini , du point, et des éléments en général.

La continuité exclut toute détermination; car qui dit détermination, dit par là même solution de continuité. C’est cette première contradiction qui a été l’occasion de ces discussions interminables sur le point, la ligne et la surface : le point est-il une partie de la ligne? etc. La preuve toute géométrique que nous avons donnée plus haut de la non-présence d’espace dans la surface, de surface dans la ligne, etc. , doit nous suffire; c’est le premier pas dans le domaine de la géométrie, quaud on sort de celui de la philosophie.

Niez toute détermination, l'espace apparaît comme infiniment grand. L’infini mathématique est donc une négation de détermination, c’est l’indéterminé , ce terme étant pris dans son sens étymologique de non déterminé, et non pas dans le sens de quelconque , de ceci ou cela. L’iniiniment grand est une grandeur sans forme ; la grandeur y a absorbé la forme, on ne peut s’en faire une image. 11 y a donc absurdité à se demander combien il y a de choses finies dans l’infini , combien il faut de formes pour arriver à la négation de la forme , où il faut placer la limite pour atteindre l’illimité. C’est pourquoi de l’espace infini on peut affirmer toutes les formes, parce qu'on les détruit en les appliquant à une grandeur sans limite. Ainsi, on peut dire de l’espace infini que c’est une sphère dont le rayon est infini ; un cube dont les côtés sont infinis; un tétraèdre dont l’apothème est infini, etc.

D’un autre côté , l’absolument déterminé , cc qui n'a de détermination que lui- même, c’est, dans l’espace , le point mathématique , c’est une forme- sans grandeur ; celle-ci y est absorbée par celle-là. Cette

notion coupc court à toutes les questions que le point a fait naître. On peut donc affirmer du point toutes les formes dont on nie la grandeur; c’est une sphère dont le rayon est nul, un cube dont le côté est nul, un tétraèdre dont l’apothème est nul , etc. ; et la définition donnée par l’analyse ( x — a)*-\-{y — b)'--\-(z — e)*=o, n’est autre chose que la première.

Le point est donc ce qui sert de limite par excellence; de sa nature il n’est que limite ; et par là se justifient et s’expliquent en partie la plupart des définitions qu’on en a données ( 1 ).