ACB : ACD = AB : AO

Ces deux proportions ne peuvent subsister en même temps, puisque les antécédents sont les mêmes, et que

(Il Lk<î!Rdre, Géométrie . Livre M ; l’roposition XVII.

— tilO —

l’ mules cuiisc«|iicuts A CI surpasse AGI), lundis que A 1 csl surpassé par AO. Or, la première étant vraie, la seconde est nécessairement fausse. Donc , on a rigoureusement : ACB : AGI) = A B : AB.

Le postulat admis, celle démonstration devient inutile, comme nous le montrerons bientôt. Mais permet-elle d’éviler le postulat? nous allons essayer de faire voir qu’il n’en est rien. Notre critique, complètement nouvelle, croyons-nous, revêt une apparence subtile et sophistique qui nous oblige à quelques développements. Nous ne les regretterons pas si nous parvenons à nous faire comprendre.

Toute démonstration suppose que la contradiction est possible. Dans le cas actuel , on nie que les angles soient entre eux comme les arcs. Le géomètre dit alors à son contradicteur : Si ACB n’est pas à A CD comme AB est à AD, donnez-moi un autre rapport; j’en montrerai la fausseté. — Et en effet, ce rapport étant supposé AB : AO, il montre, par une division de l’arc AB, en parties plus petites que DO , que le point O a été pris trop loin. Mais son adversaire peut lui répondre : Je vois maintenant que la supposition A O ne vaut rien; plaçons le point O où se trouve le point I, et votre démonstration n’est plus valable. — Le géomètre devra donc recommencer à diviser l’are AB en parties égales , mais cette fois plus petites que D I , et son contradicteur ne se trouvera jamais convaincu que de la fausseté de la supposition actuelle, et non d’une supposition quelconque. Sans doute, aussitôt qu’il pose une affirmation , on lui en montre la fausseté; mais s’il s’en tient purement à la négative , sans chercher à donner lui-même une solution, s’il suit son adversaire pas «à pas, attendant un point I, avant de placer le point O,

il le réduit à l'impuissance, ou, lotit au moins, à l’inaction (i ).

On nous dira peut-être que nous condamnons par là toutes les démonstrations à l’absurde. Ainsi, par exemple, si A Gît 4- BCE 2 angles droits, les côtés A Cet CE sont en e ligne droite. S’ils ne le sont pas , prolongeons AC en CD, et nous aurons, par voie de conséquence :

BCE = BCD , ce qui est absurde.

Mais il est facile de saisir la différence essentielle qui existe entre cette démonstration et la précédente. Le tracé de la droite auxiliaire CD ne dépend pas, de la supposition particulière de l’adversaire ; qu’il place son côté CE comme il le veut, le prolongement CD ne varie pas, non plus que les formules, les équations , tandis que le point 1 converge indéfiniment vers le point D. C’est l’adversaire qui se trouve forcé , quelque subterfuge qu’il emploie , de placer CE sur CD. Dans cette dernière démonstration, en un mot, ma construction, ma réponse est faite d’avance; quoi que dise mon adversaire , je n’ai rien à y changer, elle est absolue. Dans l’autre, au contraire, je dois attendre ce qu’il va dire, je n’ose tirer une ligne avant la sienne, ma réponse est relative , ad hominem. Sans doute, nous ne prétendons pas le nier, le mode de raisonnement, la nature de la construction restent les mêmes dans toutes les suppositions; mais au fond il y a ici une véritable induction : on voit que ce mode de raisonnement est

( 1 ) On pourrait dire aussi que cet argument n’est que ie sophisme renouvelé d’Achille et de la Tortue. Nous renvoyons sur ce point an livre suivant où nous examinons l’objection en traitant des ParaJIiks

applicable à tous les cas; c’est comme si, pour prouver que le carré d’un polynôme contient le carré de tous les termes , plus leurs doubles produits deux à deux , on disait à l’adversaire : choisissez un polynôme, j’ai mon raisonnement tout prêt pour vous convaincre; je l’élèverai au carré. Cela sutfit-il ? ( 1 ).

Mais admettons même la légitimité de l'induction , légitimité logiquement incontestable, nous le reconnaissons; la dilliculté n’en reste pas moins sans solution complète , elle continue à subsister dans son essence. Kn effet, la démonstration suppose qu'entre le pointDet le point O on puisse trouver un point 1 intermédiaire, en d'autres termes, que l'arc DO est fini. Or, il s’agit d’établir que la proportion ACB : ACD = AB : AD est vraie à un infiniment petit près. De plus , on ne peut supposer que, A D étant incommensurable avec AB, l’arc AI, qui est un peu plus grand que AD (le point I étant infiniment près du point D), soit commensurabic avec AB ; en d’autres termes, la question est de savoir si, entre deux arcs, AD et AO, différant peu l’un de l’autre, il y a nécessairement un arc AI commensurable avec l’arc AB (2).

( t 1 Ainsi encore pour démontrer que, si par un point pris dans l’intérieur du triangle, on mène deux droites aux extrémités d’un même côté , leur somme est plus petite que la somme des deux autres côtés ; on tire une droite, prolongement de l’une des deux autres; et la démonstration est générale. Mais si pour une position du point intérieur, on devait tirer une droite ; pour une autre , deux droites ; pour une troisième , quatre droites, et ainsi de suite, pourrait-on encore soutenir la généralité de la démonstration?

( 2 1 On emploie un procédé analogue pour démontrer que deux pyramides de bases équivalentes et de hauteurs égales sont équivalentes ; seulement, il n'est pas nécessaire, pour la démonstration, de diviser la hauteur en parties aliquotespius petites que la hauteur u prisme différence ( Legendre, Géométrie: Livre VI, prop. XVIM.

Ce postulat inévitable en algèbre, où les quantités sont de leur nature continues, l’est aussi en arithmétique : l’équation 4* — 0,333... n’est autre chose

qu’une comparaison entre incommensurables, entre 1/3 et les puissances négatives de 10. L’extraction des racines repose sur ce postulat : vouloir extraire la racine de 2, et opérer sur le nombre 2, comme si c’était un carré parfait, c’est admettre à priori que tout nombre pont être considéré comme un carré, ce qui, encore une fois, est un cas particulier de ce postulat.

Dès que l’on admet comme vrai que, quelle que soit la grandeur des portions AB et CD Ah— . . .B ( p u „ q Uan i um isogène , on peut

poser AB — »i Cb, c’est-à-dire leur supposer une commune mesure, ou peut démontrer immédiatement les théorèmes généraux suivants qui servent à coordonner tous les théorèmes particuliers (mesure des angles plans et dièdres, des parallélogrammes de même base, des parallélipipèdes , etc).

Lemme. Dans la génération clés quantums isogènes, les parties de la partie génératrice engendrent des quantums isogènes: — Ainsi, étant donné un secteur élémentaire qui, par rotation autour du sommet, engendre un angle , l’are élémentaire de ce secteur engendre l’arc de l’angle, quantum isogène.

Définition. Le quantum engendré par la partie cl celui engendré par une partie de celle-ci, forment ce que nous nommons un couple de quantums isogènes.

Théorème 1. — Dans un couple de quantums isogènes, le multiple de l'un des quantums correspond au même multiple de Vautre.

Théorème II. ■ — Deux couples de quantums isogènes de même nature , c’est-à-dire pouvant faire partie du même qmntum , forment toujours une proportion.

Ainsi, ayant les deux couples A CB, AB et A CD, AD, on peut écrire :