Le point est ce qui n’a aucune dimension (Kunze

1" La définition d’Euclide est purement négative , et

beaucoup trop large puisqu’elle s’applique aussi bien au moment, à l’intelligence, à l’âme , à la vie, etc.

2° La définition de Wolff rentre dans la nôtre ; mais elle manque de clarté, et l’on ne voit pas en quoi elle ne

l U Ce qui va suivre est en grande partie tiré d’un travail de M. Focliner (Journal de Fichte, 1858, 2* cahier, page 160, Ueber tien Puncl. )

(?) Jede bestimmte S tel le in dem Raume, wenn sic ais solche bçseichnet werden soll . v.ird oin l'unkt genannt.

s'appliquera i l pas au cercle ou à tuule autre figure fermée.

3° Cette définition est tautologique ; car on ne peut fixer une place dans l’espace que comme un point déterminé. Cette définition rentre aussi eu partie dans la nôtre, qu’on pourrait traduire comme suit :

Le point est ce qui est déterminé par soi-même.

4° Le point est partout dans la ligne, et non seulement à ses extrémités (1). C’est ce que prouve la définition o.

5° Celle-ci serait meilleure si l’on disait : où deux lignes peuvent se couper ; car le point est-sur les lignes là même où elles ne se coupent pas. Quand une ligne coupe une surlace, l’intersection n’est-elle pas un point? Quand deux lignes se touchent en un point sans se couper, deux cercles tangents, par exemple; quand deux surfaces , deux sphères se touchent , n’est-ce pas encore en un point? Enfin, comment faire rentrer dans celte définition, ainsi que dans la précédente, le centre d’une sphère ou d’un cercle , les foyers d’une section conique , etc. ?

6° Cette définition a les mêmes inconvénients que celle d’Euclide.

Nous aurions encore à citer la définition de M. Ueberweg : Le point est l'élément simple de l'espace ; mais la critique en sera mieux à sa place quand nous aurons parlé des éléments. Pour le moment, nous nous bornerons à demander ce que c'est que la simplicité ? 11 ne serait pas facile d’en donner une autre définition que celle d’Euclide ou de Kunze (2).

i 1 ) « C’est comme si l'on définissait, dit M. Fechner, la cellule, une utricule à l'extrémité d'une plante. »

(21 Nous faisons remarquer que la définition que nous avoi s donnée du point , quand nous avons déduit les notions de surface

Il est temps que nous précisions le sens de ce terme élément, dont nous avons fait usage eu maint endroit sans le définir (1 ).

On entend par élément d'un corps, la plus petite partie de ce corps qui puisse en exprimer lu nature ; c’est le corps réduit à son minimum; de sorte que l’élément permet de remonter au corps entier. Ainsi l’élément de l’eau , c’est la partie d’eau la plus petite possible , une molécule d’eau (2); l’élément du nitrate de potasse, c’est une molécule de nitrate de potasse; molécules qui renferment toutes les propriétés de l’eau, toutes les propriétés du nitrate de potasse. Il ne faut pas confondre les éléments d’un corps avec les parties élémentaires (les parties de l’élément), les parties constitutives de ce corps, qui sont : pour l’eau, l’oxygène et l’hydrogène; pour le salpêtre, l’aeide nitrique, et la potasse; et pour ceux-ci, l’oxygène, l’azote et le potassium. L’oxygène, l’hydrogène , l’azote , etc. , ne sont regardés comme

et de ligne, rentre en quelque sorte dans celles de Legendre etdeStaudt, mais n’est pas sujette au même reproche, puisque nous considérons la ligne comme indéfinie, et le point comme la séparation entre la ligne négative et la ligne positive; ce qui est le mettre partout dans la ligne. Quant à la seconde définition , elle n’est pas géométrique, mais purement philosophique ; elle est placée en regard de celle de l’ infiniment grand, et montre le point comme le résultat de l’abstraction de la grandeur, de même que l'infiniment grand est le résultat de l’abstraction de la forme. Mais toutes deux confirment notre postulat premier de la grandeur et de la forme et de leur union indépendante dans la figure.

1 1) Le dictionnaire de l'Académie ne s’explique pas là-dessus; il parle des quatre élénxenls des anciens, des cléments ou curps simples de la chimie, des éléments du langage, etc.; mais les cléments, les parties constitutives d’une chose , il ne les connaît pas.

C«!) Au mot molécule, qu’il définit une petite partie, le dictionnaire de l'Académie parle de molécules élémentaires.

éléments , que si l’on considère le corps chimique en général , de sorte que les éléments d’un corps se trouvent eux-mêmes composés d’autres éléments, et ainsi de suite. Mais alors le terme d’ éléments est pris dans un sens différent, que nous venons d’indiquer, celui de parties simples ou élémentaires.

C’est donc à tort que l’on fait quelquefois du point l’élément de l’étendue. La négation de l’étendue ne peut nous donner la représentation en petit de l’étendue ; avec la négation de l’étendue on ne peut produire l’étendue. Confondre le point avec l’élément , c’est se mettre en contradiction avec l’idée même d’élément.

Appliquons maintenant cette théorie aux ligures de la géométrie. L’élément d’une figure, c’est donc la plus petite partie de cette figure qui puisse nous donner l’idée de la figure entière. L’élément de la droite sera deux points consécutifs; l'élément du cercle, trois points; l’élément de la parabole, quatre points, etc. En effet, ces deux points, ces trois points, ces quatre points étant donnés , on peut construire la ligure entière à laquelle ils appartiennent. Il suit de là que l’élément d’une ligne droite se trouve être une partie constitutive de l’élément d’un cercle, d’une parabole , d’une ellipse; que l’élément d’un cercle se trouve être impliqué dans l’élément de la parabole, de l’ellipse, etc. Celte remarque nous conduit immédiatement à la théorie des contacts, des tangentes, des cercles osculateurs, des paraboles osculatrices , etc. Si l’élément d’une ligue est une partie constitutive de l’élément d’une autre ligne, la première est dite osculatrice par rapport à la seconde; si cette première est une droite, on a la tangente; si c’est un cercle, le cercle osculateur ; si c’est une parabole, la parabole osculatrice, etc.

Nous sommes ainsi ramenés à noire elassiliealion des figures, et les deux théories se confirment i’uue l’autre. Nous avons en outre ici les unités de forme dont nous avons parlé plus haut.

En effet, qu’est-ce, par exemple, qu’un cercle osculateur ? C’est un cercle mesure auquel se rapporte la forme d’une courbe donnée autour d’un point; il en est de même de la parabole oseulatrice, et de la tangente. La tangente est la plus simple mesure des formes; par la tangente, on apprécie la forme de la courbe autour de ce qu’on appelle le point de contact , qui est proprement {'élément de contact, c’est-à-dire deux points. C’est ce qui explique l’importance des tangentes et des normales en géométrie, et celle des courbes oseulatrieos en géométrie analytique. Un voit également par là pourquoi le dessinateur qui met une courbe en perspective, se contente de prendre la perspective d’un certain nombre de tangentes à cette courbe (i).

Ainsi donc , nous pouvons aussi considérer une

l ) C'est un tort des livres élémentaires sur la géométrie, de ne pus donner quelques explications sur l’introduction de ternies et de ligures tels que les tangentes. L'élève est tenté de regarder celles-ci comme de simples curiosités , et do mener par analogie des cercles tangents à des courbes, cercles qui 11e sont d'aucune utilité en géométrie. Nous voudrions aussi qu'au lieu de la définition ordinaire de la tangente, une droite qui na qu’un point de commun avec une courbe , on introduisit enfin la définition réelle , lu tangente est une sécante qui passe par dctt-x points consécutifs En effet , outre qu'elle est la seule possible en géométrie analytique et en calcul différentiel, elle a l’avantage de rendre raison de ce fait, que la tangente est toute déterminée de position, ce qui est inexplicable au cas oii elle n'aurait qu'un point de commun avec la courbe; car parmi point 011 peut faire passer une infinité de droites, puant aux théorèmes élémentaires sur les tangentes, ils se démontrent avec la même facilité.

courbe comme composée d'éléments de divites , d éléments de cercles , de paraboles, etc., suivant la nature de son propre élément; dans tous les cas, on peut la considérer comme composée d’éléments de droites. C'est ainsi que l’oxygène l’ait partie de l’élément de l’acide nitrique; l’acide nitrique, de l’élément du nitrate de potasse; et ainsi de suite. Enfin, considération qui nous a été utile dans la classification des figures, l’oxygène est plus simple que l’acide nitrique , parce que les éléments du premier ne sont que des parties des éléments du second ; et pour la même raison , l'acide nitrique est plus simple que le nitrate de potasse. Nous pouvons dire, par conséquent, que la ligne droite est plus simple que le cercle et que toute autre courbe, parce que son élément entre comme élément constitutif dans celui du cercle, et dans celui d’une courbe quelconque ; que le cercle est plus simple que la parabole, celle-ci que l’ellipse, etc. Enfin, pour en finir avec les analogies , ces considérations sont d’un usage journalier en astronomie, où l’on ne peut souvent qu’observer une partie du chemin des astres — ce qui est le cas pour les comètes — et , de cette partie , conclure la forme de la trajectoire. Les unités de forme y trouvent aussi leur emplui: tout le monde sait que l’on considère comme parabolique la trajectoire de la comète dans la partie qui nous est visible , ce qui revient à substituer une forme plus simple à une autre plus compliquée ; souvent aussi on regarde la trajectoire des planètes comme circulaire , et dans d’autres cas , quand il s’agit d’espaces de temps trèscourts, comme rectiligne.

Il est inutile, croyons-nous, d’étendre la théorie des cléments aux courbes à double courbure et aux sur-

faces; cela n’offrirait plus d’intérêt. Quanta l'antinomie inhérente à l’idée de deux points consécutifs , elle est née avec l’idée de continuité , c’est-à-dire qu’elle est aussi vieille que l’esprit humain. Pascal l’a développée avec beaucoup de force dans ses Pensées sur la géométrie en général. C'est là qu’il montre que deux indivisibles (deux points, d'après la définition d’Euclide) ne peuvent se toucher sans se confondre, ou sans cesser d’être indivisibles. L’élément est une limite fictive que notre esprit imagine pour s’y reposer, de même qu'il imagine des unités de longueur, de surface, de volume, de temps, de force, etc. Si nous considérons une ligne droite, ou une ligne quelconque, nous la voyons ne pas cesser d’être ligne, quelque petite qu’elle soit; c’est une conséquence immédiate de l’homogénéité de l’espace. La petite ligne est aussi bien ligne que la grande, et il y a en elle autant de déterminations possibles que dans celle-ci. Si pourtant nous prenons la ligne à un instant donné pour terme de comparaison, nous pouvons dire qu’elle devient plus grande, ou plus petite. I)e même que nous prenons une ligne arbitraire pour point de départ de notre procès , nous imaginons un point d’arrivée , qui , dans un sens , est l'inflniment grand (1 ), dans l’autre sens, l’élément. Le procès est à sa lin quand nous avons obtenu une grandeur qui ne peut plus être augmentée, ce qui implique une absurdité ; ou une grandeur qui ne peut plus être diminuée, autre absurdité. D’un côté, comme nous l’avons dit, nous supprimons la forme ; de l’autre, la grandeur.

{ 1 ) Toute courbe fermée peut et doit être en effet considérée comme revenant indéfiniment sur elle-même. Le cercle est une spirale dont le pas est nul.

Mais ici — et c’est l’erreur de M. Ueberweg quand il croit, obtenir le point par la division à l’infini , par la considération des termes d’une série en progression décroissante — nous ne détruisons que le contenu , tout en conservant la forme ; nous nous arrêtons à la limite où la forme va disparaître ; nous conservons la détermination elle-même — les deux points avec un contenu nul pour la ligne droite. Quand, avec M. Ueberweg, on réduit l’élément au point unique, on est en face de cette difficulté qu’on ne peut plus lever, celle de reproduire la droite. En effet , si par un procès continu on a ramené la droite à sa plus petite valeur , à son élément , on doit pouvoir, par le procès inverse, partant de celte plus petite valeur, revenir h la ligne primitive. Or c’est ce qui devient impossible quand on n’a plus qu'un point, car par un point peuvent passer une infinité de droites autres que celle qui l’a fourni. Enfin , en réduisant tous les éléments à des points , il est impossible de parler encore d’éléments, dans le vrai sens du mot.