DOCTEUR EN PHILOSOPHE

Si nous envisageons notre sujet au point de vue purement mathématique, il se présente tout d’abord une question intéressante, celle de ramener à un nombre déterminé et le plus petit possible les propositions fondamentales de la géométrie , et d'en déduire tous les théorèmes avec rigueur.

La géométrie d’Euclide , on le sait , n’a résolu qu’incomplétement ce problème. Outre les définitions des figures premières , lignes , surfaces , etc. , elle pose , sous le nom

( t ) Cette dissertation a été publiée pour la première fois dans les Archives pédagogiques, vol. XVII, I80I. — I, 'introduction et quelques parties du système ont été modifiées par l’auteur lui-mème en vue de cette traduction.

(Note du traducteur./

d'axiomes et de postulats, une suite de propositions non démontrées , sans s'expliquer , et avec raison , sur leur validité ; car c’est la mission de la philosophie, et en particulier de la théorie de la connaissance. Mais même sous le rapport mathématique , on peut lui reprocher :

1. L’énumération incomplète en fait, quoique complète en apparence , des axiomes : l’existence du plan , la comparabilité de toutes les lignes d’après leurs rapports de grandeur, l’égalité qu’on établit entre la somme de plusieurs angles et l’angle formé par les deux côtés extrêmes , d'où suit la mesure des angles; toutes ces propositions ne sont mentionnées ni parmi les axiomes , ni parmi les théorèmes ; et Euclide lui-même , sans aucun doute , n’avait pas songé à en faire l'objet de son attention , les croyant implicitement comprises dans ses axiomes et postulats.

2. Le défaut de principe pour l’ordre des axiomes. A la vérité, il est impossible de déduire les axiomes, car ils perdraient alors ce caractère ; mais on peut les établir d'un point de vue général, de manière à en montrer l’ensemble. De là le troisième inconvénient :

3. Le nombre indéterminé de ces axiomes. Rien ne nous assure ainsi que les développements postérieurs de la Géomé trie ne nécessiteront pas une augmentation de ce nombre, comme , d’un autre côté , il n’est pas prouvé qu'on ne puisse lui faire subir une diminution en démontrant quelques-uns d’entre eux.

Malgré des efforts réitérés, ces lacunes n’ont pas encore été comblées ; et la solution de la difficulté , même dans le cas où cette solution ne serait pas élémentaire , n’en aurait pas moins un grand intérêt scientifique. Nous ne voulons pas dire que plus tard on ne trouvera pas le moyen de faire entrer, dans l’enseignement élémentaire, les résultats de la science , mais ici il s’agit, avant tout , d’un problème scientifique et non didactique.

Mais ce n’est pas seulement l'intérêt mathématique qui a été l'occasion de ce travail , il y en a un autre tout philo-

- ‘il t -

sophiquc , tout logique , avant trait à la théorie de la connaissance :

D’où provient , dans les mathématiques ,la certitude des propositions fondamentales qu'on ne peut prouver mathématiquement '!

Parmi les différentes hypothèses proposées en réponse à cette question, celle de Kant est particulièrement digne d’attention. D'après lui, l’intuition de l’espace est en nous à priori comme la forme de la sensibilité extérieure. Ainsi , avant toute expérience, et indépendamment de toute expérience , quoiqu’elle ne vienne à la conscience que par l’expérience, le moi produit cette forme, comme toutes les formes de l'intuition et de la pensée en général , de luimême , par une activité originelle , et l’applique à la matière de la perception donnée empiriquement , de sorte que tous les phénomènes en sont nécessairement revêtus. Mais ce qui existe indépendamment de nous et affecte nos sens , ne revêt pas ces formes ; les choses en soi , comme les appelle Kant , n'existent ni dans l’espace, ni dans le temps, et ne sont pas soumises à la loi de causalité.

Telle est la célèbre théoriede Kant sur l’apriorité. Plusieurs de ceux qui vinrent après lui , tout en acceptant les prémisses, ont rejeté les conséquences, c’est-à-dire, que la chose en soi fût en dehors du temps et de l’espace. Pour eux , le temps et l’espace sont donnés à priori , et produits parle moi sans le concours des choses, et cependant les choses elles-mêmes existent et dans le temps et dans l'espace. Par suite , on doit admettre entre les choses et notre intuition , une harmonie préétablie , de manière que ce qui est produit en nous par une causalité purement interne , coïncide néanmoins exactement avec ce qu'amène au même instant, dans le lieu correspondant , la causalité qui agit dans les choses en soi. Et par conséquent, à la place de la recherche progressive des lois naturelles entre le sujet connaissant et les choses , on met une suite non interrompue de miracles. f!e compromis n’aboutit pas. Dans les prémisses , se ranger sous l’autorité de philosophes

célèbres; dans le fond, s'accommoder complaisamment a l’opinion vulgaire ; chacun de ces procédés pris à part est déjà mauvais , mais leur réunion est la ruine de la véritable philosophie. Il s'agit donc de soumettre à la critique les prémisses de Kant.

Kant infère de Yapodicticité des lois mathématiques l’apriorité de l’intuition de l’espace. Celles-là contiennent pour celle-ci lo fondement de la connaissance , celle-ci pour celles-là le fondement réel. Les propositions géométriques , dit Kant , ne peuvent pas 3 ’ obtenir par une simple analyse de la notion même qui en est l’objet , mais seulement par un recours à l’intuition de l’espace. Elles ne sont pas formées analytiquement, mais bien synthétiquement. Si i’intuition de l’espace était empirique , continue-t-il , les propositions géométriques n'auraient qu’une valeur empirique et ne pourraient certainement pas être apodictiques. Si, au contraire, l’espace est une intuition à priori, ces propositions ont une valeur rigoureusement générale et nécessaire. A cet argument général Kant en ajoute quelques autres , mais qui n’ont d'importance que si l’on admet le premier. Nous nous bornerons donc à la critique de celui-ci.

Nous reconnaissons avec Kant la valeur apodictique des propositions mathématiques , mais nous la croyons compatible avec l’origine empirique de l’intuition de l'espace ; et nous croyons que Kant a cherché à tort dans une origine à priori de l’intuition de l’espace la certitude qui git dans l'ensemble de l’ enchaînement mathématique. (Cf. Système de Logique , p. 373 et 383. )

D’un côté Kant n’a pas prouvé que l'apriorité de cette intuition entraîne Yapodicticité des propositions mathématiques et en particulier des axiomes d’Euclide : c’est une simple assertion. Quelque soin qu'il ait mis à tirer toutes les conséquences de ses prémisses , il n’a pas l’air de soupçonner la nécessité de prouver les prémisses elles-mêmes ; il lui semble aller de soi qu 'empirie et apodicticili s’excluent complètement. Quand on voulut soutenir contre lui l’origine

empirique de cette apodicticitë, il ne daigna pas la discuter sérieusement, mais y répondit par la boutade: Ex pumitr aquam ! ( t ) Si Kant , avec sa pénétration si éminent > , avait, soumis son préjugé à la critique, qui eût été plus capable que lui de trouver le vrai rapport ? Mais il ne crut pas devoir diriger son attention sur ce point. Il ne s’enquiert pas si la perception des rapports réels dans l’espace n'est pas conditionnée physiologiquement dans les sens du tact et de la vue par la position des fibres nerveuses , et ainsi empirique ; pour lui , les sens donnent uniquement la matière , et les rapports de lieu proviennent du moi seul. Il ne recherche pas si les idées fondamentales , axiomes et postulats de la géométrie , que l’enfant ou le' nonmathématicien n’a pas encore , et que souvent il ne comprend pas dès l’abord sans une certaine diillculté , ne sont pas fournies , en partie , par abstraction de l’ensemble de l’intuition , et par idéalisation des données sensibles , d’après des lois scientifiques; en partie , par des constructions artificielles : il repousse d’avance toute hypothèse de cette nature. Il ne remarque pas que les propositions fondamentales de la géométrie en elles-mêmes ont une valeur non apodictique, mais seulement assertoire. (Cf. Drobisch , Logique , 1851, Avant-propos.) Il ne songe pas davantage que les propositions qui s’en déduisent ne font pas que reposer sur elles , mais leur servent à leur tour d’appui. Et cependant la confirmation de prémisses hypothétiquement admises, ou du moins , sous certains rapports , hypothétiques, réside dans l’accord de toutes les conséquences entre elles , et , quand la comparaison est possible , dans leur accord avec les données de l’expérience ; la certitude croit de plus en plus, et elle devient même absolue , s’il est prouvé que ces prêmisses-là seules peuvent expliquer les

( I ) C'est-à-dire : Vouloir tirer d’une proposition expérimentale la nécessité, c'est vouloir exprimer de l'eau d’une pierre ponce; c’est une véritable contradiction. < Haut, prtf. de la Crit. de la Bai ton prof.) fNole d h trad ;

faits. Tous les théorèmes des mathématiques , qui se déduisent des prémisses avec une rigueur apodictique , d'après les lois du syllogisme , s'accordent sans contradiction entre eux, et avec l’expérience, quand on construit la figure; et cela d'autant plus exactement que la construction est plus exacte. Un vice dans les prémisses se ferait jour à la longue quelque part dans ce nombre infini de propositions , par des conséquences d’une fausseté évidente. De ce que cela ne s’est jamais présenté depuis la naissance des mathématiques, et que les erreurs qui se produisaient, provenaient de causes étrangères , nous devons admettre que la certitude que nous avons de leur vérité, d’abord limitée , s'élève jusqu’à une certitude égale à celle de notre existence qui repose sur l’expérience interne. Quoique les propositions fondamentales aient en elles-mêmes une certitude simplement assertoire, cependant le système mathématique , produit du travail des siècles, a, comme tout, comme ensemble , une certitude apodictique qu’il répand sur les propositions particulières.

Kant part de cette opposition : empirique ou à priori ; mais il y a un terme intermédiaire : élaboration rationnelle des données empiriques d’après les lois logiques sans éléments à priori de la connaissance. L’essai de Kant de prouver l’apriorité de l'intuition de l’espace par l’apodiclicité de la géométrie, repose donc sur une disjonction incomplète. De la non-validité d'un des extrêmes ne suit pas la validité de l’autre ; car il y a , disons-nous , un terme intermédiaire , et c’est en lui que nous trouvons le vrai rapport. Pourquoi Kant n'a-t-il pas aperçu ce terme? c’est sa manière incomplète , subjective et toute formelle de considérer les lois logiques qui lui a dérobé la valeur véritable des formes logiques (syllogisme, induction, analogie, hypothèse), et leur rôle dans la génération et l’extension de la connaissance. (Cf. Syst. de Log., 253, 373, 383, 388, 419.)

Comme les autres sciences , la géométrie doit, dans sa partie analytique , s'élever des données empiriques à des

principes réels, pour descendre synthétiquement de ceux-ci à chaque proposition particulière (Cf. Syst. de Log. 413,418). Maintenant rien n’empêche dans la partie analytique de tirer directement de l’intuition sensible , par abstraction et idéalisation , les idées fondamentales d’Euclide , puis de s’élever hypothétiquement, d’une validité au moins approximative et garantie par l’observation sensible , jusqu’à une validité absolue, pour obtenir ainsi les axiomes et postu lats comme principes réels des mathématiques. C’est ainsi évidemment qu’il faut procéder dans l’enseignement élémentaire, du moins en général , bien qu’on puisse tenter des améliorations de détail. Mais le but logique de la présente dissertation demande une autre marche. L’origine empirique des principes mathématiques une fois reconnue, on peut employer les axiomes d’Euclide pour ce qu’ils sont, c'est-à-dire pour l’expression hypothétiquement exacte des rapports sensibles des choses , exactitude manifestée de plus en plus dans l’enchaînement des conséquences. Mais pour cela , il faut d’abord renverser la théorie de Kant sur l’apriorité; et il parait dès lors convenable de substituer aux axiomes d’Euclide , auxquels l’habitude a attaché le prédicat d'apriorité, des propositions tout autres, et dont l’origine empirique ne puisse être niée. S’il est prouvé que de ces propositions on peut tirer toute la géométrie aussi bien et même mieux que des axiomes d’Euclide , on a en même temps montré qu’on peut , sans recourir à l'apriorité , baser la géométrie sur des principes analogues à ceux des sciences naturelles , et ranger la géométrie au nombre de ces sciences.

Notre point de départ est donc l’intuition sensible où espace et matière sont encore confondus ; l’abstraction nous donnera l’espace à part ; le mouvement conduit naturellement à cette abstraction. Un corps matériel passe d’un lieu à un autre ; quelque chose reste le même , quelque chose change ; ce qui change, nous le nommons lieu ; et notre conscience gagne ainsi l’idée de lieu comme de quelque

chose d’ètendu en opposition avec la matière qui peut occuper ou abandonner le lieu. Ici viennent se joindre d’aulres abstractions et combinaisons. Le mouvement doit donc être contenu dans notre point de départ empirique. Maintenant il s’agit de choisir certains faits empiriques comme fondement de la partie analytique ; ce choix est possible dans certaines limites. On ne procède pas autrement dans les sciences dites naturelles. L’astronomie sphérique et théorique s’élève analytiquement de l’observation à la constatation des mouvements réels , comme fondement réel des mouvements apparents : Kepler découvrit l’orbite réelle des planètes en se servant des observations de Tycho sur la planète Mars. Le choix de cette planète est, il est vrai , dû un peu au hasard ; il était avantageux , mais non nécessaire. On en peut dire autant de la découverte de l’attraction. La création de l’optique mathématique , et plus tard la préférence donnée à la théorie des ondulations sur celle de l’émission se basent sur certaines expériences ; d’autres expériences pouvaient conduire au même but; de sorte que l'on avait une certaine latitude dans le choix. Nous en pouvons dire autant de la base empirique de la géométrie : sans être illimité ni arbitraire, notre choix doit être tel qu’il suffise à constater les rapports fondamentaux géométriques. Nous ne pouvons dire d’avance combien de ces propositions premières sont nécessaires , puisque ce serait là supposer les principes mathématiques que nous ne possédons pas encore et à la recherche desquels nous procédons. Cependant nous ferons remarquer que le nombre quatre de nos expériences se lie aux trois dimensions de l’espace , et aux quatre déterminations fondamentales , corps, surface, ligne, point.

Arrivons maintenant à ces expériences. Dans la partie analytique , nous en déduirons rigoureusement les principes réels , et en particulier , les axiomes d’Euclide ; dans la partie synthétique , nous irons jusqu’à la limite où les propositions se suivent avec rigueur dans les géométries

ordinaires. Un mot encore : nous devons beaucoup aux travaux des géomètres célèbres , qui , tels que Legendre , Erb ( 1 ) , Eisenstein ont consacré leurs temps à la solution de ces problèmes ; mais le plan et la baso logique nous appartiennent en propre.

Solution du problème

D'après le témoignage des sens ,

I. Un corps matériel solide peut, s'il e6t libre, aller partout où un autre corps ne se trouve pas.

II. S'il a une de ses places fixe, quoique plus limité dans ses mouvements , il peut cependant encore se mouvoir.

III. S'il a deux de ses places fixes , aucune de ses parties n’est plus susceptible de tous les mouvements possibles dans il, bien qu’elles puissent encore être mues, et une certaine série de places liées entre elles et avec les points fixes reste immobile.

iv. Enfin, si l’on rend fixe une troisième place, tout mouvement du corps devient impossible.

En vertu de ce qui a été dit plus haut sur l’idéalisation, nous admettons ( à titre d’axiome ou d’hypothèse ) que ces propositions ont une exactitude absolue. Nous excluons rigoureusement toute intuition , tout axiome, tout postulat, en un mot, toute proposition qui ne s’y trouve pas impliquée. Si nous parvenons à fonder sur elles la géométrie avec la rigueur mathématique , nous regardons notre tâche comme accomplie. Nous procéderons d’après l'ordre de nos expériences.

I. Un corps se meut ; dans le mouvement quelque chose change et quelque chose reste le même ; de là , une distinction :

Définition. Nous nommons lieu ce qui change dans le mouvement.

( I ) Le problème de la ligne droite, de l'angle et du plan, Heidelberg, 18(11.

Le corps occupe un autre lieu ; celui-ci le renferme comme le précédent le renfermait; pour y être reçu, le corps n'a pas eu besoin de s'y approprier, il y est entré tel qu’il était; cela eût été impossible si le nouveau lieu n’était pas complètement homogène au premier.

Le mouvement pouvait être arrêté avant que le corps eût # atteint ce second lieu , et nous en pouvons dire autant de toute station intermédiaire. L'expérience ne nous donne là-dessus aucune limite , et rien ne nous autorise à en poser une arbitrairement. Par suite, nous devons comprendre la division possible du chemin en ce sens que, si loin que nous la poussions , nous pouvons la pousser plus loin encore ; le changement de lieu peut être aussi petit que l’on veut, il y a moyen de le diminuer encore. Celte proposition va recevoir une autre forme.

Définition. Nous nommons grandeur infiniment petite, toute grandeur qui est assujètie à parcourir une série telle 1° que chacun de ses termes soit suivi d’un autre doué de la même propriété et plus petit en grandeur absolue ; 2» que, quelque grandeur fixe que l’on prenne, on puisse trouver dans la série un terme qui soit plus petit en grandeur absolue.

Nous remarquons que cette définition convient à la grandeur infiniment grande si l’on y substitue le mot grand au mot petit. ( 1 ).

Définition. Nous nommons grandeur continue celle qu’on peut augmenter ou diminuer infiniment peu.

(!) Ceux qui vaudraient voir dans l'infini une grandeur déterminée, devraient le considérer comme la limite de ce procès, qui, par sa nature, est dépourvu de limite, et tomberaient ainsi sous le coup d'une contradiction évidente. Cette contradiction apparaîtrait encore quand on s'enquerrail de la grandeur de ('infiniment petit qu’on ne peut faire égal à O, ni plus graud ou plus petit que O, puisque la série u'attciut jamais O, et renferme toujours des termes différents de toute grandeur lixe autre que 0. Toutes ces contradictions tombent dos que t'on écarte ia fausse idée d'une valeur tlxe de l’infinimcnl petit; l'infini mathématique est plutôt dans le procès lui-méme.

D’après cette définition, nous pouvons dire que, dans notre expérience, le corps change de lieu par infiniment petits , que son mouvement est continu. Tous les lieux qu’il occupe successivement étant homogènes , nous avons l’idée d’un tout homogène.

De même que le mouvement peut être interrompu , de même il nous est libre de le continuer dans tous les sens, sans limite : l’expérience nous le dit, nous regardons donc ce tout comme susceptible d’être étendu à l’infini.

Théor. f . Il existe un ensemble continu et homogène , capable (T être divisé et étendu à l’infini , de lieux qu'un corps peut occuper.

Définitions. Nous nommons cet ensemble espace ; une partie finie ( 1 ) de cet espace infini, nous la nommons corps géométrique.

C’est sur cette homogénéité de l'espace que repose l'universalité des propositions géométriques , en tant que ce qui est prouvé pour un lieu de cet espace est nécessairement prouvé pour tous.

Homogénéité , continuité, infinité, telles sont les trois propriétés fondamentales de l’espace à conclure de la première expérience. Les autres nous conduiront plus loin.

II. Si le corps a une de- ses places fixes , quoique, plus limité dans ses mouvements , il peut cependant encore se mouvoir.

Définition. Nous nommons rotation le mouvement d’une figure étendue , solide , dont un ou plusieurs éléments restent fixes.

Si nous nous demandons ce qui reste immobile , nous verrons facilement que ce ne peut être une partie finie de l’espace. Car si petite quelle soit , on peut toujours — en vertu de la continuité de l'espace — la diviser , et

( I ) Le terme fini est trop vague : un cône, un cylindre infinis n'en sont pas moins des corps géométriques La définition de la limite ne venant que plus bas, n'y a-t-il pas ici anticipation?

( Soit du traducteur.)

par là distinguer en elle une infinité de lieux qui sont fixes eu même temps qu'elle. Mais l’expérience nous montre que, quand plusieurs lieux sont fixes, il apparaît d’autres phénomènes que celui dont nous parlons , à savoir ceux que nous mentionnons dans les expériences suivantes ; et cela si loin qu’on la suppose poussée ( 1 ). Or , l’homogénéité et la continuité de l’espace nous autorisent à accorder une généralité absolue à ce qui est démontré par l’expèrienco avoir une généralité empirique. La place qui reste fixe ne peut donc être une partie finie (2) de l’espace, elle ne peut laisser distinguer en soi une seconde place homogène , elle est l’espace élémentaire absolument simple.

Définition. Nous nommons point ( 3) l’espace élémentaire absolument simple.

Ici un mot d’explication est nécessaire pour éclaircir une difficulté, dans laquelle cette définition semble nous impliquer. L’assertion qu’il existe un espace élémentaire tout-àfait simple, conduit à des contradictions. Car celui-ci doit être ou une partie finie, ou une partie infiniment petite de l’espace, ou un rien d’espace, un 0 en grandeur. Nous venons de démontrer que ce ne peut être une partie finie; ce ne peut être non plusune partie infiniment petite, carrinfiniment petit n’est pas simple , puisqu’il est , nous le savons, divisible , et

(1) N’est-ce pas une exagération de la portée des expériences lit et IV? Et même celles-ci ne contiennent-elles pas, absolument parlant, une contradiction apparente que la théorie doit lever? En effet, l’expérience IV pose comme condition de l’immobilité du corps, la fixité de trois de ses places, et l’expérience 111 reconnaît que si deux places sont fixes ilyenaunein/intté d’autres qui sont dans le même cas.

(Note du traducteur.)

(2) Ce qui n’est pas une partie finie de l’espace peut être une ligne ou une surface.

(Note du traducteur )

(5) Nous renvoyons, pour ce qui concerne les définitions de la continuité, de l'homogéne'iti, du point et des éléments, aux endroits de noire ouvrage où nous discutons ces nolions.

(Note du traducteur.)

divisible à l'infini ; encore moins, peut-il être un rien d’espace, car, comme on ne pourrait lui accorder aucune qualité non étendue , et qu'il serait un rien , un O d’espace , il serait absolument rien, et par là on ne pourrait lui assigner une place dans l'espace ; le non -être n'a pas de prédicats ( non entis non sunt prædicata). On ne peut sortir de ce trilemme. En fait l’élément simple n’est pas imaginable, on ne peut que se le représenter par une fiction. La pensée reconnaît seulement l’infiniment petit, c’est-à-dire le procès infini de la division, qui n’amène jamais un résultat final. Mais l’imagination demande un terme fini pour s’y reposer ; elle feint en conséquence, sans s’inquiéter de la contradiction, un résultat à ce procès infini, et substantifie la valeur de la limite , c’est-à-dire une grandeur d’espace = 0. Cette fiction est le point de l’imagination , et celui-ci apparaît donc en tous cas comme l’élément absolument simple. La fiction du point, sous le rapport didactique est indispensable, quoiqu'on ne puisse méconnaître la contradiction qui lui est inhérente. Pour la pensée , à la place des points , on doit toujours supposer des espaces infiniment petits, égaux l’un à l’autre.

Après cette détermination plus précise de notre définition, nous allons déduire quelques propositions sur ce point.

De ce que, suivant la définition, on considère dans le point , non la manière dont on l’a obtenu , mais la valeur limite, qui est toujours nulle , les points ne se distinguent pas entre eux quantitativement , et comme on ne peut parler de différence qualitative , l’espace étant homogène ,

Théor. 3. Tous les points sont égaux.

Cohol. Un point peut se substituer à un point quelconque par le mouvement.

Définition. La totalité de tous les lieux successifs occupés par une figure en mouvement se nomme sa trajectoire. Dans la trajectoire qu’un point mobile parcourt d’un mouvement continu , entre deux points quelconques , si rapprochés qu’ils soient, on en peut toujours trouver un troisième intermédiaire. De là :

Théor, 3. La trajectoire d'un point contient une infinité de points ( 1 ).

La seconde expérience nous a donné le point en tant que nous considérions la place immobile ; il nous reste , pour en tirer tout ce qu’elle contient , à porter notre attention sur les points mobiles.

Définition. La totalité consistant en une ou plusieurs ligures continues de tous les points qu’un point obéissant à certaines lois peut occuper , se nomme son lieu géométrique ou simplement son lieu.

Recherchons le lieu géométrique d’un des points mobiles du corps.

Le corps dont nous considérons les mouvements nous apparaît comme solide , c’est-à-dire inextensible et inflexible. Cette solidité relative ou approximative que l’expérience nous montre , nous l’idéalisons et la rendons absolue. Le corps peut se mouvoir, tourner, etc., ses points restent invariablement liés entre eux. Nous acceptons cette liaison invariable comme quelque chose de donné empiriquement; elle repose à la fois sur des rapports dans l’espace et sur des forces matérielles. Nous nous attachons seulement à ceux-là, sauf à les trouver plus tard analytiquement.

Définitions. Nous appelons provisoirement lieu sphérique , le lieu du mouvement d'un point qui est invariablement lié à un autre point fixe. Ce point fixe, nous le nommons centre du lieu sphérique.

Nous allons rechercher la nature du lieu sphérique.

Un caractère de celieu sphérique , visible d'ailleurs dans l'intuition ,<a son fondement dans l’homogénéité de l’espace ( théor. 1 ) ; c’est ce mouvement de la liaison a'b' qui s’étend également partout autour de a'. De là suit que le lieu du mouvement ou la totalité de tous les points que b' occupe dans toute sa rotation possible, enferme complètement le point a'.

(t ) Nous préférons à celle proposition, grosse do controverses, la suivante: Dans la trajectoire d'un point, on peut distinguer une infinité’ de points.

{Note du traducteur. )

Mais de ce que le corps, d’après l’expérience, est limité dans son mouvement , il suit que le lieu sphérique détache de l’espace infini, un espace fini auquel le point a' appartient (1) De là la propriété suivante du lieu sphérique :

Théor. 4 . Tout lieu sphérique renferme pleinement un espace fini dans T intérieur duquel tombe le point immobile ou le centre.

Définitions. Nous nommons sphère , l’espace fini ou corps géométrique renfermé par un lieu sphérique. Par rapport au lieu sphérique , tout élément de l’espace qui appartient à la sphère, lui est intérieur ; tout élément qui n’appartient pas à la sphère, lui est extérieur.

Pour tous les points du lieu du mouvement de b\ la liaison invariable avec a’ est la même ; on peut donc prendre un quelconque d’entre eux pour point de départ du mouvement et l’échanger avec chacun des autres sans que le lieu sphérique en soit altéré :

De là suit que :

Théor. 5 . Le lieu du mouvement d'un point b' autour d’un point a' qui lui est lié d'une manière invariable , est aussi le lieu du mouvement pour tous les points qui y tombent.

Soient maintenant B le lieu du mouvement de b 1 autour de a', et G celui du mouvement de c 1 autour du même point a'. Il est clair que :

Théor. 6. Si le point d lié invariablement au point a' ne tombe pas dans le lieu sphérique B de b' autour du même point a', il en sera de même de tous les points du lieu sphérique C.

Définition. Les lieux sphériques qui ont même centre sont dits concentriques.

Nous pouvons donc donner à la proposition 6 la forme suivante :

Théor. 6. Deux lieux sphériques concentriques qui ne coïncident pas , n'ont aucun point commun.

(f) No semble-t-il pasquelintuitinn fasse ici lous tes frais du raisonnement?

( Note du traducteur.)

- ÎH -

Définition. Nous nommons écorce sphérique , l’espace compris entre deux lieux sphériques concentriques.

Le lieu du mouvement d’un point quelconque d', situé dans l’écorce sphérique et lié invariablement au centre, est un nouveau lieu sphérique qui n’a aucun point commun avec les deux premiers. L'écorce sphérique se trouve ainsi divisée en deux écorces sphériques nouvelles; et comme on peut , dans chacune de celles-ci , distinguer de nouveaux points , et répéter avec eux la même opération , on peut dire que le nombre des lieux sphériques concentriques qui peuvent tomber dans une écorce sphérique finie , sans avoir entre eux de point commun , est infiniment grand. Si le lieu sphérique était uue partie Unie de la sphère , un nombre fini de lieux sphériques pourrait remplir l’écorce sphérique. Homme cela n’a pas lieu , il suit que :

Théoh. 7. U lieu sphérique n'est pas une partie finie de la sphère.

Par suite, si l’on considère le point comme un espace infiniment petit (ce qui doit avoir lieu dans une conception rigoureusement scientifique), alors le lieu sphérique engendré par son mouvement doit être un espace infiniment petit (1). Si, au contraire, on regarde le point comme le résultat fictif de la division infinie de l’espace dans tous les sens (c’est le point de l’imagination, comme nous l'avons expliqué plus haut), alors de même, le lieu sphérique doit être considéré comme le résultat d’une certaine division de l’espace, division poussée à l’infini.

Définition. L’élément le plus extérieur d’une figure élendue se nomme limite.

L’élément le plus extérieur ne peut être un solide ; car, en vertu de l’infinie divisibilité ou de la continuité de l’es-

( I ) Il y aurait ici une restricliou il (aire : une surface , qui est aussi un espace infiniment petit (dans le sens de l'auteur), engendre cependant le solide par son mouvement.

(Note du traducteur .)

pace , on le partagerait en extérieur et intérieur ; ce ne peut être qu’une partie infiniment petite dans le sans indiqué plus haut.

L’imagination cependant feint un résultat final à cette division à l'infini , et substantifle la valeur limite = 0. Cette fiction (qui renferme une contradiction intime) est la limite de l’imagination. D’après cela, le lieu sphérique est l’élément le plus extérieur de la sphère qu’il renferme.

Définition. La limita d'un corps se nomme surface.

Théor. •. Tout lieu sphérique est une surface.

Nous pouvons donc désormais, à la place de lieu sphérique , dire surface sphérique.

La suite continue et infinie de surfaces sphériques , laquelle forme la sphère , peut se représenter par le mouvement d’une surface sphérique qui change continuellement de manière à passer dans la surface sphérique contiguë. De ce mouvement naît la sphère.

De la même manière , il suit de la définition générale du corps que chaque corps peut être amoindri où agrandi d’une façon continue par le retranchement ou l’addition d’un nombre infini de surfaces. Le surcroît ou la différence Bont eux-mêmeB des corps à leur tour. Or, le mouvement d’une surface , invariable ou variable d'une façon continue , et qui ne reste pas, du moins tout entière, en elle-même, engendre une suite de surfaces. Donc :

Théor. ÎO. La trajectoire d'une surface qui ne reste pas en elle-même , est un corps. ( 1 )

Nous abordons la troisième expérience.

III. Si le corps a deux de ses places fixes , aucune de ses parties n'est plus susceptible de tous les mouvements possibles dans il, bien qu'elles puissent encore être mues,

(I ) C'est la coutume de placerimmédislementà cité l’une de l'autre les deux proposition* : La surface est la limite du corps; et la trajectoire d'une surface qui ne reste pas en elle même, est un corps. Nous croyons les avoir déduites l’un» d* l’iutre avec toute la rigueur mathématique.

et une certaine série de places liées entre elles et avec les points fixes reste immobile. ( 1 )

Soient a' et b' les points fixes, et c' un point mobile lié invariablement aux précédents ; d’après l’expérience , le lieu de c' ne pourrait être un lieu sphérique.

Théor. II. Toute surface sphérique n'a qu'un centre.

Définition. La partie commune de deux figures géométriques se nomme leur intersection.

Théor. 19. Le lieu géométrique du mouvement d'un point c' lié invariablement à deux points fixes a' et b' est l'intersection des lieux de son mouvement autour de chacun d'eux en particulier (2).

Définitions. Le lieu c du mouvement d’un point c 1 qui est lié invariablement à deux autres a' et b', nous le nommons provisoirement lieu périphérique ; a' et 6' en sont les centres.

Théor. 13. Le lieu périphérique c du mouvement d'un point c’ autour de deux centres a 1 et b 1 est en même temps le lieu périphérique pour tous les points qui en font partie (3).

Donc, si pour les mêmes centres a' et b\ deux lieux périphériques d et e avaient un point c 1 commun , ils coïncideraient en tant qu’ils se confondraient avec le lieu périphérique c. Donc si le point e' ne tombe pas dans le lieu périphérique d d’un autre point d’ autour de a' et b 1 , son lieu périphérique e n’a aucun point commun avec d.

Définition. Deux lieux périphériques qui ont leurs deux centres communs , se nomment concentriques.

Théor. 14. Des lieux périphériques concentriques qui ont un point commun, coïncident; quand ils ne coïncident pas , ils n'ont aucun point commun.

(1) Cette dernière partie de l’expérience ne se trouve pas dans les Arch. pédagogiques. L’auteur un avait cependant besoin pour établir l’existence de la ligne droite. — Voir plus bas.

(Note du traducteur .)

(2) La démonstration , d’ailleurs facile. n’a pas été traduite.

(.Vote du traducteur. )

(3) Démonstration analogue à celle du théorème 3.

(Vote du traducteur.)

Recherchons maintenant si l'intersection d’une surface sphérique renferme et limite complètement une ou plusieurs parties de celle-ci.

Soient B une sphère fixe et invariable autour du point b', A une autre continuellement variable autour du point a'. Celle-ci pouvant s'étendre indéfiniment, finira certainement par embrasser tout entière la sphère B. D’un autre côté , elle peut diminuer à l'inüni , sa valeur limite étant le point a', dont la grandeur est censée nulle. En vertu de la continuité du développement, elle parcourra tous les états intermédiaires de grandeur.

Or, le point a' peut être situé à l’extérieur, à l’intérieur, ou sur la limite de B. 1°. S’il est extérieur, un instant doit arriver où la sphère A, qui s’approche continuellement de a', est tout-à-fait en dehors de la sphère B. Mais la grandeur qu’a la sphère A quand elle est en dehors de B, diffère de sa grandeur quand elle embrasse B , d'une quantité finie égale au moins à B. Comme le décroissement est continu, ces deux états de grandeur ne se suivent pas immédiatement , et sont séparés par une infinité d’états intermédiaires dans lesquels la sphère A coïncide en partie avec B. C’est seulement dans ce cas de coïncidence partielle que les surfaces sphériques peuvent avoir des parties communes. 2°. Si j? est situé à l'intérieur de B, la même chose se passe, avec cette différence que la sphère A , à partir d’un certain moment, est tout entière renfermée dans B. 3». Enfin, si a 1 est situé à la limite de B , A ne peut jamais tomber tout entière à l’intérieur ou à l’extérieur de B ( théor. 4 ). Elle doit donc renfermer complètement la sphère B , ou coïncider en partie avec elle. Dans ce dernier cas seulement les surfaces sphériques peuvent se couper. ( 1 )

Telles sont les situations possibles de deux sphères non concentriques à l’égard l'une de l’autre. Quelle que soit la

( I ) Toutes ces considérations ne se basent-elles pas snr autre chose que les expériences?

(.Vole du traducteur.)

position dos centres , quand les surfaces sphériques se coupent, les sphères doivent avoir des parties communes.

Nous laissons de côté, pour le moment, la question de savoir si les parties communes de deux sphères consistent en un ou plusieurs fragments. En tout cas , cette partie , qui est chaque fois déterminée, doit chaque fois aussi avoir des limites déterminées. Comme ces limites appartiennent aux surfaces sphériques, il suit que certaines parties de celles-ci se séparent du reste, peu importe d’ailleurs que ce soit en un ou plusieurs fragments.

N’y a-t-il qu’un seul fragment, alors l'intei section entière de la surface sphérique, tient ensemble d'une façon continue, et est identique avec le lieu périphérique. Y a-t-il plusieurs fragments , alors l’intersection entière de la surface sphérique se compose de plusieurs lieux périphériques dont chacun tient ensemble d’une façon continue , et sépare un fragment de chaque surface sphérique.

Définition. On nomme calottes les parties d’une surface sphérique séparées l’une de l'autre par un lieu périphérique.

Ces explications permettent de rechercher si le lieu périphérique est une partie finie de la surface sphérique.

La surface sphérique A autour du centre a ! coupe la surface sphérique B autour du point b' dans le lieu périphérique c douL le point c' fait partie. Nous menons ensuite parle point d‘, qui appartient à la surface B, mais non au lieu c, une surface sphérique A' autour du centre a’, laquelle coupe la surface B dans le lieu périphérique cl ; et c aussi bien que d détache complètement sur la surface B deux portions ou calottes. Or cl et c n’ont aucun point commun (théor. 14 ), les calottes restent séparées ; de manière que nous avons en tout trois fragments dont l’un est situé entre les deux autres. ( 1 )

( I ) Ici nous croyons remarquer un sattus considérable . où a-t-il été établi que les deux lieux périphériques c et d fussent l’un intérieur à l'autre? Il a été prouvé qu'ils ne peuvent se couper, mais non qu'ils ne peuvent être exté-

Définition. La partie d’une surface sphérique située entre deux lieux périphériques concentriques , se nomme sont.

De là, par une méthode analogue à celle qui nous a donné le théorème 7, les deux théorèmes suivants :

Théor. 15. Le lieu périphérique n'est pas une partie finie de la surface sphérique.

Théor. 16. Tout lieu périphérique est la limite d'une partie de surface sphérique.

Définition. Nous nommons ligne la limite d'une surface.

Théor. 17. Le lieu périphérique est une ligne.

Désormais, nous donnerons au lieu ou ligne périphérique le nom de circonférence.

Théor. 18. Le lieu du mouvement d'une ligne qui ne reste pas en elle- même, est une surface.

Après avoir considéré les zones , parlons des calottes.

Si Tou étend des deux côtés de la surface sphérique la suite continue des circonférences, la zone devient toujours plus grande et se rapproche de plus en plu6 de la surface sphérique elle-même. Les fragments intérieurs ou calottes deviennent donc de plus en plus petits. Le résultat de cette diminution continue ne peut être une surface finie, car nous pourrions diviser cette surface en une zone et une calotte plus petites. Le centre a’ d’une sphère variable A et situé sur la surface de la sphère i a variable 8, doit être la limite dont s'approchent infiniment et la sphère A et les calottes et les circonférences. En général , même quand le centre a' de la sphère variable A ne tombe pas sur la surface de la sphère invariable B, la limite de cette diminution

rieurs; du manière qu’un troisième lieu périphérique t, dont us des point* est situé entre e et d, peut fort bien ne pas diviser la zone eu deux aones plus petites. Les considérations qui précèdent et d’oii il ressort que l’auteur n’est pas encore en mesure de démontrer la non-pluralité des fragments, donnent I) notre observation une plus grande valeur encore. Si elle est juste, ce que nous croyons, et si le défaut que nous signalons n’est pas à éviter, tous les raisonnements qui suivent en sont infirmés.

(Note du traducteur.)

continue est encore un point : c'est ce qui découle de la seconde proposition de notre troisième expérience. Car si la limite, que nous avons prouvé n'être aucune surface , avait une étendue quelconque , tous les points sans exception qui seraient liés invariablement à deux autres seraient mobiles ; mais l'expérience montre qu’une certaine suite de places liées entre elles et avec les points fixes restent immobiles ; donc cette diminution progressive doit avoir pour résultat final un point.

IV. Enfin si , outre les deux points fixes précédents , il y en * a un troisième fixe aussi , tous les points du corps deviennent immobiles.

Nous suivrons la même voie que précédemment. Soient a' et b' les seuls points fixes : le lieu du mouvement d’un point d' sera une circonférence l ; soient a' et c' les seuls points fixes , le lieu du mouvement de ce même point d! sera une autre circonférence l' ( 1 ) ; que les deux conditions se réunissent , il suit ( comme plus haut le théor. 1* ) que :

Théor. 19. Le lieu géométrique du mouvement d'un point d' lié invariablement à trois autres a' b 1 c', est l’intersection des lieux de son mouvement autour de deux de ces points.

Comme , d’après l’expérience , le corps est devenu immobile , celte intersection ne peut consister en une suite continue de points ; elle doit donc se ramener au point d! seul, ou à une suite discontinue de points.

Définition. Nous nommons semi-concentriques des circonférences qui ont un de leurs deux centres commun.

Théor. *0. L'intersection de deux circonférences semi-concentriques consiste en un nombre ( pour le moment indéterminé ) de points discontinus.

Le théorème 15 a prouvé que si les surfaces sphériques se coupent , les sphères coïncident en partie. Nous pou-

{ I ) Pourquoi V est-il différent de 1? On ne se trouve plus ici dans le mémo cas qu'au théorème 12.

{Note du traducteur.)

vous nous figurer passant par le poiut d trois sphères autour des centres a 1 , b', et, les quelles auront des parties communes deux à deux , et qui doivent, par suite , avoir quelque chose de commun entre elles, au moins le point d'. Mais elles ne peuvent coïncider complètement , sans quoi leurs limites , qui sont des calottes, devraient coïncider, et le lieu géométrique du point d' autour des points a ' , b' et c’ serait une calotte ; or, d’après les théorèmes 1 * , 14 — 17, ce doit être une circonférence; ce ne peut donc être une calotte.

Si les trois sphères ont une portion finie commune , celle-ci doit avoir des limites qui fassent partie des portions communes aux deux sphères. Par suite, une partie déterminée de ces limites , et par conséquent aussi de chaque circonférence, laquelle partie est la limite commune, doit être complètement séparée , limitée à l'égard de la partie restante. Mais si l’élément commun aux trois sphères se réduit à un point , on peut montrer, en passant du fini à l’infiniment petit , que de même par ce point , la circonférence est divisée en deux parties.

Théor. * 1 . Si des circonférences semi-concentriques ont un point commun , elles se coupent de manière que deux parties de chacune d'elles sont complètement limitées l'une à l'égard de Vautre.

Comme l’intersection qui produit cette limitation , consiste, d’après le théorème précédent , en points discontinus, il s’en suit que ces parties sont complètement limitées l’une à l’égard de l’autre par des points.

De même que nous avons eu plus haut des écorces et des zones, nous aurons maintenant des parties de la circonférence ou arcs , que nous diviserons indéfiniment , ce qui nous fournira les théorèmes suivants :

Théor. **. Le point n’est pas une partie de la circonférence, Théor. *8 .Le point est la limite de la ligne.

Théor. * 4 . La trajectoire d'un point est une ligne, la condition que l'élément, mobile ne reste pas en luimême disparaît ici, parce que l’élément absolument simple dès qu'il reste en lui-même, ne se ment pas.

Il reste encore à remarquer d’ailleurs que le lieu du mouvement d'uu point n'a pas besoin d'être limité à la ligne , mais peut consister en figures produites par le mouvement de la ligne et de la surface.

D’après la discussion précédente , les calottes d’une surface sphérique et limitée par des circonférences , en arrivent à se réduire à un point , par la perte successive de zones. Gomme de chaque côté de la zone il y a une calotte , nous avons de chaque côté un point limite, ce qui fait en tout deux points, et seulement deux points. Et ces deux points sont ceux où commencé et où finit la coïncidence partielle des deux sphères , dont l’une A varie tandis que l’autre B reste invariable. L’élément commun est toujours (en tant qu’il est continu) le lieu du mouvement de chacun des points qui lui appartiennent, et qui sont liés invariablement aux centres (thèor. I*). S’il consiste en un seul point, celui-ci est le propre lieu de son mouvement et est par conséquent immobile. 11 y a donc , sur chaque surface sphériqueB, deux points, et seulement deux, qui, liés invariablement aux centres a' et b', restent immobiles. Nous pouvons maintenant, d’un côté , faire décroître d’une manière continue la sphère B jusqu’à son centre b' ; de l’autre , la faire croître à l’infini ; ces deux points se meuvent d’une façon continue de manière, d'un côté, à coïncider avec b', de l’autre, à s’éloigner à 1 infini. Du point b' partent donc deux lignes infinies, que nous pouvons regarder comme une ligne unique, puisque ce point b' leur est commun. Cette ligne jouit de cette propriété que , liée invariablement aux points a 1 et b', elle reste immobile.

Le point b' tombe dans cette ligne; en est- il de même du point a'? Parmi toutes les surfaces sphériques B, il en est une, déterminée par la liaison fixe a' b', sur laquelle sont deux points immobiles qui tombent dans cette ligne : a' étant , par hypothèse , immobile , est donc un de ces deux points. On peut prouver de la même manière que tout point immobile tombe dans cette ligne, ou que tout point en dehors d'elle est mobile. Donc :

Théor. *5. Dans la rotation d'un corps autour de deux points , il existe une ligne , mais une seule, gui reste immobile, et ces deux points en font partie.

Nous pouvons donc dire :

Définition. Nous nommons droite la ligne qui, dans sa rotation autour de deux points fixes, ne sort pas d’elle-même.

Grâce à cette définition . nous pouvons donner au théorème *4 la forme suivante , sous laquelle il se présente ordinairement comme axiome indêmontré et indémontrable :

Entre deux points on peut toujours mener une droite ; on n'en peut mener qu'une , et on peut la prolonger à l’infini ( 1 ).

Plaçons ici une remarque. La manière dont , avant toute géométrie, l’expérience nous conduit à la représentation de la ligne droite, concorde essentiellement avec le précédent développement. Dans toute rotation autour d’un axe , nous remarquons facilement qu’à chaque section le mouvement est d’autant moindre que nous approchons d’une place déterminée. Un fil fortement tendu se nomme droit, parce qu’il reste en lui-même quand on le fait tourner autour de deux de ses points. Ainsi l’expérience nous donne deux éléments : le repos en soi-même pendant la rotation , et le décroissement du mouvement à mesure qu’on s'approche d’une certaine place. A ces éléments empiriques vient s’adjoindre notre propre activité créatrice. Elle augmente à l’infini cet approchement pour lequel l’expérience ne nous donne aucune limite, et arrive ainsi à la minceur infinie, et de là à la ligue droite. Ainsi naît en nous de la combinaison idéale des faits empiriques la représentation de la ligne droite ; cette représentation ne précède donc pas absolument toute expérience (2).

(t) Tous tes raisonnements qui précèdent sont invalidés par le saltus signalé page 288.

( Vote du traducteur )

(2) Nous avons essayé de montrer (pages 1*3 et suiv.) que celte expérience donne, non pas la ligne droite mais une propriété de la ligne droite.

(.Vote du traducteur.)

Nous sommes ici à la fin de la partie analytique de notre travail. En partant de ce qui est donné empiriquement, nous sommes arrivé aux éléments de toutes les figures * étendues (1). Désormais, nous n'aurons plus besoin de représentation contenant en elle quelque chose de matériel. Notamment , à la place de la liaison fixe entre deux points , nous avons un chemin absolument déterminé, la ligne droite.

Dans la synthèse , nous partons de l’élément simple , le point. Son mouvement engendre la ligne. Celle-ci, à son tour , peut être considérée comme élément d’un nouveau mouvement qui engendrera la surface ; et de même la surface engendrera le corps. Que nous ne puissions arriver à la génération du corps que par une triple opération , c’est ce que nous avons reconnu dans la partie analytique , quand nous avons montré que l’espace n’était susceptible que d’une triple division à l’infini , ni plus ni moins. Nous ne savons rien de la cause efficiente ni de la cause finale de ce fait.

Définition. Nous nommons série une suite d’éléments procédant suivant une certaine loi.

Définition. La génération d’une série d’éléments hors d'un élément par une position répétée , un nombre fini ou infini de fois de cet élément se nomme dimension.

De là il suit que :

Théor. «6. L'espace a trois dimensions.

Étudions maintenant le résultat du mouvement du point,

( I ) On se demande pourquoi le plan ne fait pas partie de ces éléments , et pourquoi aussi l’idée de la ligne droite est déduite dans la partie analytique du travail. Celle définition de la ligne droite, si laborieusement établie, n'est, en somme, que la concentration de la IIP expérience. L'auteur pouvait dire, en effet, dés l’abord en définition : Nous appelons ligne droite , la suite continue des points qui restent immobiles dans un corps qui tourne autour de deux points fixes. On ne voit pas au juste ce que l'analyse vient ajouter à l’intuition empirique, si ce n'est la substitution du terme mathématique point au terme vulgaire place.

( Vote du traducteur.)

c’est-à-dire , la ligne. Nous savons ce qu’est la ligue droite : il nous reste à prouver les différentes propositions que l'on donne, tantôt sous le nom de définitions, tantôt sous celui d’axiomes.

La définition d’Euclide , la ligne droite est celle qui est située également entre ses points , peut avoir une double signification. On pourrait entendre par là que la ligne droite se trouve placée entre les uns comme entre les autres, et que , par suite , une portion quelconque de droite peut être mise sur une plus grande , de manière à y tomber tout entière. C’est là, en effet, une propriété de la ligne droite. Il suit de là (théor. *5) qu’entre deux points une seule ligne droite est possible, et que chaque portion d’une ligne droite , qui est placée sur une autre portion par deux de ses points , y tombe complètement. Mais ce n’est pas là une propriété exclusive de la ligne droite , et ainsi la définition ne vaut rien. Nous devons donc admettre la seconde interprétation, déjà donnée par Clavius : Nullum punctum intermedium ab extremis sursum aut deorsum vel hue vel illuc fleclendo subsaltat. Ici nous ne comparons plus ensemble differentes paires de points, mais les différents côtés d’une même paire vers lesquels la ligne peut se fléchir, et à l'égard desquels la ligne droite se tient dans le même rapport. Malgré cette interprétation, qui parait la bonne , la définition pèche par indétermination, car elle ne donne aucun caractère pour reconnaître les divers côtés à l’égard desquels la ligne droite doit rester indifférente ; ceux-ci ne peuvent, en réalité, être donnés qu’avec le secours de la ligne droite , et par là elle est sous-entendue dans la définition. En outre , de quelque manière qu’on doive entendre la définition , on u’a pas établi l’existence d’une telle ligne ( 1 ).

(I ) Nous avons montré que la première interprétation seule est admissible, et que la définition d'Euclide est , en réalité , la plus exacte de toutes celles qu'on eCtt encore données.

( .Vote du traducteur.)

Notre définition (théor. *5) renferme ce que celle d’Euclide a de vrai; la ligne droite dans sa rotation, ne s’infléchissant d’aucun côté , se tient également à l’égard de tous les côtés.

A la définition d’Euclide se rattache celle qui donne pour caractère exclusif à la ligne droite de conserver toujours la même direction ; car une ligne qui ne s’infléchit d’aucun côté , garde partout la même direction. Mais qu’est-ce que la direction? On n’a pas accoutumé de le dire, sous la charmante excuse qu’on doit savoir cela d’avance, tactique semblable à celle qui , s’appuyant sur l’apriorité , met de côté toute explication génétique.

La définition de la ligne droite, comme étant la ligne de direction constante , est certainement la plus favorable pour le premier enseignement. Nous nous proposons d’expliquer scientifiquement l'idée de direction, et de prouver rigoureusement que notre ligne droite est en même temps la ligne de direction constante.

Un lieu n’est pas identique avec un autre lieu quelconque qui a la même figure. Ce par quoi il s’en distingue , c’est la situation.

Définition. On nomme situation cette propriété d’un lieu mathématique qui le distingue, quand on le compare avec tout autre qui peut prendre la même figure.

Quand on donne les lieux avec lesquels on le compare , on emploie les expressions de situation à l'égard d’un autre lieu , ou par rapport à un autre lieu. La situation d’un lieu par rapport à la totalité des lieux égaux dans l’espace infini, est sa situation absolue.

Définitions. La direction est la relation du lieu d’où part un élément mobile ou conçu comme mobile , au lieu où il va. Nous entendons par relation de deux lieux la nature du passage d’un élément géométrique d’un lieu a' à un autre b', laquelle découle de la différence entre la situation du lieu b' à l’égard du lieu a' et la situation de tous les autres lieux que peut occuper b' dans son mouvement autour de a'.

Dans cette définition nous parlons d’un chemin absolument déterminé par deux points : d'après le théorème 35, ce chemin existe ; mais on pourrait , si l’on en était requis , l'énoncer avant la définition de la ligne droite.

Sur les explications données touchant la nature du point, nous fondons la définition de la direction momentanée.

Définition. Nous nommons direction linéaire momentanée la nature du passage d’un point a' à celui b' qui le suit immédiatement , laquelle dépend de la différence entre la situation de b' par rapport à a! , et la situation à l’égard du même point a' de tous ceux qui lui sont adjacents.

Nous parlons de points adjacents par fiction (voir plus haut ).

Le chemin en ligne droite , ou la ligue droite , a seule , d’après ce qui précède , proprement une direction ; mais de ce que la ligne droite est la seule qui soit absolument déterminée par deux points (théor. 35), nous pouvons, t\ la place de la définition dont nous nous sommes servi , dire :

Théor. 37. La ligne droite est la ligne de direction constante.

Théor. 38. Dans toute ligne droite il y a deux mouvements possibles en sens contraire.

Définition. Une ligue est dite brisée si elle change de partie en partie sa direction ; si elle la change d'une façon continue , c’est-à-dire infiniment peu à chacun de ses points , elle est dite courbe.

Théor. 20. En chaque point d’une ligne courbe , sa direction momentanée s'exprime par la ligne droite gui passe en même temps par le point le plus rapproché ( 1 ).

Ce qui précède sert de fondement à la proposition qu’une ligne courbe peut être considérée comme une ligne infiniment brisée inscrite ou circonscrite.

Définition. On nomme longueur la grandeur d’une ligne.

(T) De cette proposition résulterait qu’en un point d’une courbe il y aurait deux tangentes.

( Note du traducteur.)

Demandons-nous quelle est la plus courte ligne qu’on puisse tirer entre deux points , et s'il y a une , plusieurs ou une infinité de ces lignes minima. Nous ne le savons pas encore ; mais , comme grandeur , elle est certainement déterminée puisqu’elle est la plus courte. La ligne droite , et par conséquent sa grandeur , est absolument déterminée par deux points ; elle doit donc être dans un rapport déterminé avec la ligne minimum. Quel est ce rapport?

On sait qu’Euclide a établi qu'un côté d'un triangle est toujours plus petit que la somme des deux autres. De là suit que toute ligue brisée entre deux points est plus grande que la ligne droite ; de là suit aussi, par des considérations de limites , que toute ligne courbe est plus grande que la ligne droite , et qu'ainsi la ligne droite est la plus courte. Nous allons essayer de donner la preuve générale que la ligne la plus courte doit passer par un point quelconque de la droite et par conséquent être droite elle-même. Soient, entre deux points a' et b 1 , la ligne droite a' b' et une autre ligne quelconque. Faisons passer par un point arbitraire c' de la droite deux surfaces sphériques, l’une autour de a ' , l’autre autour de 6'; elles n’auront que le point d commun { théor. *5). Toute ligne qui ne passe pas par le point c', doit, par suite, avoir deux points d' et d , l’un par où elle sort de la sphère a ' , l’autre par où elle entre dans la sphère b\ de manière que la portion d'd est entre les deux sphères. Cette ligne se décompose donc en trois portions a'd', d'd et db’. Imaginons que a’ d 1 , soit lié invariablement à a’, de manière que la surface sphérique a 1 sera le lieu du mouvement du point d ' autour de a', et que par rotation ce dernier point pourra être amené en c'. De la même manière le point d pourra y être amené aussi. La nouvelle ligne résultant de cette double rotation.

laquelle passe par le point c 1 et se compose des portions a’d' et e' b', est plus courte que la proposée de la portion d'e’. Donc la ligne la plus courte doit passer par le point c'. Le point c' ayant été pris arbitrairement, il est démontré que :

Théor. 30 . La ligne droite est la plus courte entre deux quelconques de ses points { 1 ).

Définition. La grandeur d’un chemin absolument déterminé par deux points , se nomme leur distance.

De là :

Théor. 31 . La ligne droite est la mesure de la distance ou la longueur minimum.

Théor. 32 . Deux sphères se coupent quand la somme de leurs rayons est plus grande et leur différence plus petite que la distance des centres.

Définition. Nous nommons surface équidistante celle dont tous les points sont également distants de deux points fixes.

Théor. 33 . Chaque point de la ligne droite qui passe par les deux centres dune des circonférences qui engendrent cette sur ■ face est en même temps le centre de cette circonférence.

Théor. 341 . La ligne droite menée par deux points quelconques d'une surface équidistante , y est contenue tout entière.

Théor. 35 . L'intersection de deux surfaces équidistantes est une ligne droite.

Théor. 36 . Deux surfaces équidistantes qui ont trois points communs non situés en ligne droite , sont identiques ( 2 ).

Si l’on fait tourner une droite a' b' autour d’une autre a' c' à laquelle elle est invariablement liée , chaque point d de la première décrit une circonférence, et la surface engendrée est dite cdne. La direction de la rotation de a'b' passant en a’c 1 , et la direction rotatoire momentanée , se définissent comme la

( 1 ) Cette démonstration tombe sous le coup de l’observation que nous avons faite page 2SS.

(.Vote du traducteur.)

(2 Nous avons omis de traduire les démonstrations.

(Vote du traducteur.)

direction linéaire; seulement on doit remplacer le mot point par le mot de droite.

Définition. Le lieu d’une ligne droite qui se meut autourd'un point a' avec une direction constante ( 1 ) , est un plan.

La surface équidistante étant la seule qui soit déterminée absolument par deux lignes droites qui partent d'un môme point, il s en suit que :

Théoh. 37. Tout plan est une surface équidistante.

Théor. 3 S. Toute surface par deux points de laquelle on peut faire à volonté passer une ligne droite qui y soit contenue tout entière , est un plan.

Ce dernier théorème forme la définition vulgaire du plan.

On ne démontre pas , quoiqu'on doive le faire , qu'une telle surface est possible ; que la ligne droite a'c', ne passe ni au-dessus ni au-dessous de c'd', mais la coupe en un point

La définition choisie par nous est génétique , elle établit l'analogie qui existe entre la droite et le plan, celle-là étant le produit de la constance de la direction linéaire, celui-ci de la constance à la fois et de la direction linéaire et de la direction de la rotation.

Théor. 39 . Toute ligne droite passant par deux points d'un plan, y est contenue tout entière.

Js

Par un point a' d une ligne droite a!b' d’un plan indéfini , on peut tirer d'autres lignes droites dans le même plan. Chacune de celles-ci a deux directions (théor. *8). De ce qu’elles sont tout entières dans le plan , une partie de celui-ci doit être située de chaque côté de la droite a'b 1 ; si l’on tourne l’une d’elles autour de a'b' de manière à rabattre un de ses points dans l’autre partie , elle y tombera tout

( I ) Cette consume# dans la direction du mouvement d’une droite est-ce

une notion lijen claire et bien précis*'?

( Note du traducteur. )

entière (thôor. 36). Si nous nommons égales deux figures de l'espace qui sont placées de manière à coïncider par tous leurs points , on voit que :

Théor. 40. Toute ligne droite située dans un plan indéfini , le divise en deux parties égales.

Étudions maintenant le rapport de la circonférence et du plan.

Nous avons vu plus haut qu’une circonférence qui est le lieu des points situés à égale distance de deux autres a 1 et b appartient tout entière au plan, et que le point c 1 , qui divise en deux la droite a 1 b', tombe aussi dans le plan, et que, étant comme tous les points de a' b', également éloigné de la circonférence, il en est par conséquent un centre. Si l’on donne le plan et le point c', on peut construire par la rotation dans le plan d’une ligne droite de longueur convenable , la circonférence comme trajectoire du point limite de cette droite. La trajectoire de la rotation d’une droite est un cercle.

Théor. 4t. Les arcs d'un même cercle sont égaux ri leurs points limites coïncident.

Corol. Les arcs peuvent se nwwoir sur la circonférence.

Théor. 43. Les arcs d'un même cercle ou de cercles égaux sont entre eux comme leurs secteurs.

Il est donc possible de mesurer la rotation aussi bien par les arcs que par les secteurs; c’est donc une grandeur mathématique.

C’est par la grandeur de la rotation constante que Ton mesure la différence de direction de deux lignes qui partent du même point, de même que Ton mesure la distance par la ligne de direction constante.

Définition. On nomme angle la différence des directions de deux lignes qui partent d’un même point.

La définition d’Euclide dit au fond la même chose; elle désigne l’essence de l’angle plus convenablement que celle qui eu fait un plan indéfini. Les auteurs qui Tant blâmée n’ont pas su en apprécier la profondeur et la jus»

tesse , qualités qui doivent cependant être le but de toute science, et notamment des mathématiques. Au lieu de repousser la définition d'Euclide, on doit la compléter et expliquer le terme d 'inclinaison par l’expression âe différence de direction.

De notre définition de l’angle il suit que :

Théor. 43 . L'arc est la mesure de l'angle qui lui appartient.

Pour comparer les grandeurs des angles, il faut une unité d'angle. Comme la droite peut s’engendrer par deux mouvements en sens contraires d’un de ses points, nommons angle de 180» la différence de deux directions opposées, et angle droit la moitié d’un angle de 180®.

Théor. 44 . Tous les angles de 180® sont égaux.

Théor. 45 . Tous les angles droits sont égaux.

Nous pouvons donc prendre l’angle droit pour unité d’angle.

Théor. 46 . La trajectoire d'une demi-circonférence qui tourne autour d'un de ses diamètres , est une sphère.

Corol. Tout plan passant par le centre coupe la sphère suivant un cercle.

Par suite, tous les points d’une surface sphérique peuvent être atteints par la double rotation d’une droite autour d’un de ses points. Cette proposition rend possible la comparaison générale de toutes les directions linéaires qui partent de différents points , et fournit une solution simple et tout-àfait rigoureuse du problème des parallèles.

Soient autour des deux points a 1 et b' deux sphères égales : les rayons de chacune d’elles sont situés dans toutes les directions possibles; une comparaison des directions partant de a 1 est possible avec celles partant de b’, dès qu’à chaque point situé sur la sphère A nous en pouvons trouver un correspondant sur la sphère B. Nous avons vu plus haut qu’il existe deux paires de points pour lesquelles cela est possible au moyen de la ligne droite seule. Aux deux directions opposées de la droite o' b 1 partant de a 1 , on peut désigner des directions correspondantes partant de b'. Si la

surface sphérique A est coupée par la droite a 1 b' en c' et c", alors les deux points d et d" lui correspondent sur la sphère B. Un point e' qui n'appartient pas à la droite a' b’ sur la sphère A n’est pas complètement déterminé par sa distance à chaque point de cette droite , mais en tant que son lieu est une circonférence e appartenant à la sphère A. Sur la sphère B on peut facilement trouver par des déterminations de distances, la circonférence correspondante f, qui doit être égale à e , mais pas aussi facilement un point f qui corresponde à e 1 . Par le secours du plan on trouvera f comme suit :

Faisons passer un plan par les points a' , b’ et e' : son intersection avec chacune des deux sphères est une circonférence, et, par suite, l’intersection de la partie du plan qui est du côté de e' par rapport à a! b', est une demi-circonférence. Le point f qui doit correspondre au point e' , doit être situé sur un arc correspondant ; de plus, la ligne droite- 6' f doit être distante de b’ d' du même angle dont a' e' est distant de a' c ' ; par suite l'arc d' f doit être égal à l’arc c' e', si le point p doit correspondre au point e 1 . Nous avons ainsi deux déterminations auxquelles le point f doit satisfaire en même temps ; mais un seul est dans ce cas , et c’est celui que l’on obtient si l’on porte l’arc c' e 1 à partir de d! sur la circonférence intersection du plan a’ b' e' avec la surface sphérique B, et naturellement de ce côté du plan par rapport à a 1 b' où e' est situé. Ainsi à chaque rayon d’une sphère il y en a un, mais un seul, qui correspond dans l’autre, et tous deux ont même direction linéaire.

Comme la direction dans chaque droite est constante et indépendante de sa grandeur, ce que nous disons des rayons peut se dire des lignes droites ; donc :

Thkob. 47 .A chaque droite a'e’ qui part d'un point a’, il en correspond une autre, mais une seule, b'f, qui, partant du point b', a même direction.

Définition On nomme parallèles des droites de même direction.

Donc :

Théoh. 48. Si une droite a' b' fait avec deux autres a' e' cl b* P, situées dans le même plan , et du même cçlé de la sécante a’ IV, deux angles correspondants égaux , les deux dernières sont parallèles.

On est en droit de retourner cette proposition ; car il n’y a (théor. 47) qu’une droite b' f' qui, partant du point b’, court parallèlement à une autre a' e'. Voici cette inversion :

Tiiéor. 49. a) Deux droites parallèles sont situées dans le même plan, b) Deux droites parallèles font avec une même sécante des angles correspondants égaux.

dette dernière partie du théorème se démontre très-simplement cbmme suit : la sécante a, en chacun de ses points d’intersection , même direction ; les lignes parallèles ont même direction -, donc les différences des directions de la première et des deux autres , c’est-à-dire les angles correspondants sont égaux.

On sait que de là il est facile de déduire les théorèmes suivants :

Théor. 50. La somme des angles extérieurs de toute ligure rectiligne est égale à quatre droits.

Théor. 51. La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux droits.

On sait également que, ce dernier théorème établi , il est aisé de démontrer les propositions ordinaires sur l’intersection des droites dans un plan. Elles se divisent en deux classes : à la première appartiennent les suivantes :

a) Si deux droites coupées par une sécante font des angles correspondants égaux , elles ne se coupent pas.

b) Si deux droites se coupent , elles font des angles inégaux avec une même troisième.

Comme conséquence de celle-ci, on trouve que la somme de deux angles d'un triangle est plus petite que deux droits; que l'angle extérieur est plus grand que l'un des intérieurs non adjacents , etc.

La seconde classe contient les propositions inverses :

c) Si deux lignes droites indéfinies ne se coupent pas, elles forment avec une sécante des angles égaux.

d) Si elles font des angles inégaux, elles se coupent.

Les deux dernières, comme les deux premières, nediflèrent entre elles que sous le rapport de la forai® logique ; et elles se ramèneraient toutes les quatre l'une à l’autre , si à l’une d’entre elles on pouvait ajouter : et seulement dans ce cas. La difficulté spéciale de la théorie des parallèles est donc de prouver une proposition de chaque classe : nous avons prouvé la première; nous allons prouver la dernière (1).

A partir de ce points la rigueur géométrique ne faisant plus défaut dans les traités ordinaires, nous regardons notre tâche comme finie.

(I) Nous renvoyons, pour la critique de celte partie du travail de M. leberweg , à ce que nous disons de la direction (pages 188 et suiv. et page 230) et des parallèles (page

( Note du traducteur.)