ETAT DE LA QUESTION

Ce chapitre se divise en trois paragraphes :

Dans le premier, nous nous occupons de ces théories qui font des mathématiques des sciences à part, ayant des principes et une certitude autres que les autres sciences.

Dans les paragraphes suivants, nous examinons les deux théories principales qui ramènent les mathématiques dans le cercle de nos autres connaissances, et ne mettent entre les unes et les autres qu’une différence secondaire.

g 1. — THÉORIE DES APRIORISTES.

S’il est une division des sciences qui ait rallié un grand nombre de penseurs , c’est sans contredit la division en sciences théoriques ou à priori, et en sciences expérimentales ou à posteriori ; et parmi les premières les sciences mathématiques et particulièrement la géométrie ont toujours tenu le premier rang. Les partisans des idées innées , Leibnitz à leur tête , apportaient toujours les principes de ces sciences à l’appui de leur opinion, et on alla même jusqu’à prétendre que l’esprit humain, par la seule force de sa pensée, sans le secours de l’expérience et de l’observation , pouvait dé-

couvrir l'ensemble des vérités mathématiques. Le fondateur de la philosophie moderne, Kant s’est aussi basé sur cette distinction pour établir son système. Concluant de l’apodicticité des propositions mathématiques à leur apriorité, il commence, avant de passer à la question : comment la métaphysique est-elle possible? par se demander comment les mathématiques pures sont possibles. D’après lui, celte possibilité ne peut s’expliquer que si l’on admet la subjectivité absolue des idées d’espace et de temps , comme formes de notre sensibilité, appliquées par nous aux phénomènes. La chose en soi , la chose qui agit sur nous est au-dessus de nos moyens de connaître; ce que nous voyons d’elle n’en est qu’une apparence dont nous avons fait tous les frais. Par là s’explique l’universalité des lois mathématiques; si le monde nous les montre partout réalisées , c’est que nous formons ce monde à notre image , nous nous le figurons dans le temps et dans l’espace, nous nous y retrouvons nous-mêmes. Aux yeux de Kant, cette théorie peut seule résoudre toutes les difficultés.

« Le temps et l’espace, dit-il, sont donc deux sources d’où peuvent être dérivées à priori différentes connaissances synthétiques , comme les mathématiques pures principalement en donnent un exemple frappant relativement aux connaissances de l’espace et de ses rapports. Le temps et l’espace pris ensemble sont deux formes pures de toute intuition sensible, et rendent par là possibles les propositions synthétiques à priori. Mais ces sources de connaissances à priori, par ce fait seul qu’elles sont de simples conditions de la sensibilité, se posent à elles -mêmes leurs bornes, en ce sens qu’elles se rapportent purement aux objets considérés comme phénomènes, mais non point aux choses en

elles-mêmes. Les phénomènes sont le seul champ de la valeur de l’espace et du temps; si l’on en sort, plus aucune valeur objective n’est possible par eux. Cette réalité formelle de l’espace et du temps ne porte du reste aucune atteinte à la connaissance expérimentale; car nous en sommes également certains , que ces formes adhèrent nécessairement soit aux choses en elles-mêmes, soit seulement à l’intuition que nous en avons. Ceux, au contraire, qui soutiennent la réalité absolue de l’espace et du temps, qu’ils les prennent comme substances, ou simplement comme modifications , sont en contradiction avec les principes de l’expérience; car ils sont obligés, s’ils prennent le temps et l’espace pour des choses en soi (et c’est le parti que prennent la plupart des physiciens-mathématiciens), d’admettre deux non-êtres éternels et infinis (l’espace et le temps), qui n’existent (sans être cependant quelque chose de réel) que pour comprendre dans leur sein tout ce qui est réellement. S’ils prennent le second parti, celui de rattacher aux choses l’espace et le temps, comme le font quelques physiciens-métaphysiciens, pour qui l’espace et le temps sont des rapports des phénomènes (voisins dans l’espace ou successifs dans le temps) abstraits de l’expérience, quoique confusément représentés dans cet état de séparation, alors ils doivent attaquer la validité des sciences mathématiques à priori par rapport aux choses réelles (v. g. dans l’espace); au moins doivent-ils en contester la certitude apodictique, puisqu’elle n’a pas lieu à posteriori, et que les idées d’espace et de temps à priori sont, suivant cette opinion , de pures créations fantastiques , dont la source réelle doit être cherchée dans l’expérience, puisque c’est avec des rapports abstraits de l’expérience

que l’imagination a composé quelque chose qui comprend , à la vérité , ce qu’il y a de général dans ces rapports , mais qui ne peut avoir lieu sans les restrictions que la nature y attache. Les premiers ont , à la vérité, l’avantage de rendre aux mathématiques le champ des phénomènes libre; mais si l’entendement vient à vouloir sortir de ce champ, ces conditions mêmes, considérées comme substances certaines (l’espace et le temps), les embarrassent fort. Les seconds gagnent, il est vrai, sous ce dernier rapport, en ce que les représentations d’espace et de temps ne les entravent pas quand ils veulent juger des objets, non comme phénomènes, mais simplement par rapport à l’entendement. Mais ils ne peuvent ni donner un fondement à la possibilité des connaissances mathématiques à priori (puisqu’il leur manque une intuition à priori vraie et valable objectivement) , ni former un système nécessaire des lois de l’expérience et des principes mathématiques. Dans notre théorie sur la véritable nature de ces deux formes primitives de la sensibilité, ces deux difficultés disparaissent (1). » Une autre opinion, tout en admettant la théorie de Kant sur l'apriorité , reconnaît en même temps la réalité objective de l’espace et du temps, et se trouve obligée de supposer entre nous et les choses une harmonie préétablie, mettant en rapport le sujet connaissant et l’objet connu , « par une suite non interrompue de miracles. » (2)

(1) Kant, Crit. de la raison purs; Esth. transe., 2 VU, trad. de Tissot, t. I , p. 89 et suiv.

(2) Voir, pour l’exposé et la réfutation de cette opinion et de celle de Kant , la dissertation de M. Uebervveg , à la fin de cet ouvrage.

Sans nous attacher à la réfutation des systèmes de ces philosophes, fesons remarquer que leur solution n’en est pas une, qu’ils ne font que reculer la difficulté au lieu de la résoudre, et la placer en nous au lieu de la mettre dans les choses. Comme les Grecs, qui, pour expliquer le cours perpétuel de leurs fleuves, imaginaient près de la source un dieu qui versait de son urne une onde intarissable, sans se demander où il allait la puiser, de même, pour expliquer l’apodicticité des lois géométriques, la manière dont elles s’imposent à nous comme nécessaires, ees philosophes en font les lois de notre nature, les propriétés innées de notre âme, les formes de notre sensibilité, de nos relations avec les choses , sans nous dire pourquoi ce sont précisément les idées de la géométrie qui nous sont innées. En d’autres termes, leur solution laisse place à un nouveau pourquoi. Nous verrons d’ailleurs bientôt combien celte théorie est impuissante et quelles armes elle prête à ses adversaires.

Cependant le fait de la distinction entre sciences à priori et sciences à posteriori, est accepté par un grand nombre de géomètres, d’hommes de sciences, qui ne s’enquièrent pas de la source de cette distinction, ou du moins , qui ne lui donnent pas pour fondement une théorie philosophique complète. C’est ainsi que Montferrier (1) en trouve l’origine dans l’idée de l'infini, et n’est pas trop éloigné de croire que les autres sciences jouiront un jour des mêmes avantages.

« Cette certitude absolue qui accompagne les propositions mathématiques, dit-il, manque encore aux autres sciences , qui cependant doivent être liées entre elles

«1 ) Dictionnaire des sciences mathématiques. — Bruxelles, 1838.

dans la raison humaine comme les déductions d'un seul et môme principe intellectuel. Ainsi de nos jours encore plusieurs mathématiciens, confondant la science même avec les objets sur lesquels elle s’exerce, prétendent vainement la faire descendre du haut rang qu’elle occupe dans l’intelligence , jusqu’à celui des connaissances pratiques , obtenues par l’observation , et la renfermer tout entière avec sa puissance universelle , dans le cercle borné d’une simple méthode empirique. Erreur étrange et vraiment inconciliable avec les progrès des mathématiques , qui n'ont pu s'effectuer sans que la considération de I’infini n’entrât comme élément nécessaire dans toutes les propositions élevées de la science. Cette nécessité de l’abstraction , qui se rencontre dans toutes les constructions mathématiques, établit d’une manière incontestable la spiritualité du principe d’où la science découle. »

D'après M. Comte (1) « dans l’état actuel du développement de nos connaissances positives, il convient de regarder la science mathématique, moins comme une partie de la philosophie naturelle proprement dite, que comme étant, depuis Deseartes et Newton, la vraie base fondamentale de toute cette philosophie, quoique, à parler exactement, elle soit à la fois l’une et l’autre. » Il distingue dans cette science deux branches , la mathématique abstraite, ou le calcul , comprenant l’arithmétique et l’algèbre , et ce qu’on nomme généralement haute analyse, c’est-à-dire calcul différentiel et intégral, calcul des variations et calcul des différences; et la mathématique concrète, qui se compose de la géométrie

( t ) Cours de philosophie positive. — Paris, 1R30. t. I". Exposition.

générale, et de la mécanique rationnelle. Ces deux dernières sciences sont fondées , comme toutes les sciences naturelles , sur l’observation , quoique , vu l’extrême simplicité de leurs phénomènes, elles comportent un degré plus parfait de systématisation ; mais elles ont ceci de particulier que , dans l’état présent de l’esprit humain, elles sont employées beaucoup plus comme méthode que comme doctrine. Quant à la mathématique abstraite , M. Comte n’y voit qu’une « immense extension admirable de la logique naturelle à un certain ordre de déductions , » et en exclut ainsi toute donnée empirique, meme la notion de grandeur. La mathématique concrète s'occupe de la recherche des fonctions, et l’autre du calcul de ces mêmes fonctions , de la résolution des équations que la première a fournies. Cette division , malgré sa précision apparente, est atteinte d’un vice radical; c’est qu’il n’y a pas de question , fût-elle de l’arithmétique élémentaire, qui ne se ramène à une recherche de fonctions : chercher une formule générale pour les nombres premiers , rechercher quelles relations existent entre les constantes et les racines d’une équation , sont des problèmes qui devraient , ce semble , ressortir à la partie concrète ; et il serait facile d’y faire rentrer toute question un peu générale que l’on se poserait sur les quantités.

M. Comte est, du reste, très-peu explicite sur le point de savoir quels sont les principes fondamentaux de la géométrie qui nous sont fournis par l’observation. Il parle bien de l’espace géométrique , qui n’est qu’un milieu indéfini que nous regardons comme contenant tous les corps de l’univers, et que nous nous représentons spontanément « comme analogue au milieu effectif dans

lequel nous vivons; » il dit quelques mots sur les diverses espèces d’étendue, volume , surface , ligne et point, mais sans s’étendre beaucoup sur l’origine de ces idées et leur formation en nous.

On voit, par ce qui précède, que M. Comte ne peut guère être rangé au nombre des partisans de la division des sciences en deux grandes catégories, et, en effet, il est le chef de l'école qui , avec Mill , ne reconnaît que des sciences inductives. Mais, avant de parler de l’empirisme et du sensualisme en général , disons un mot de ceux qui, prenant le contrepied de ces systèmes, font de toutes nos connaissances des connaissances déductives. Les uns et les autres suppriment la division de la science humaine et lui rendent l’unité qui en est certainement l’apanage. Mais sur le terrain même de la géométrie , les absolutistes se rencontrent avec les partisans des idées innées et se trouvent devant des difficultés sérieuses. D’où vient celte proposition : l’espace a trois dimensions ? S’il est une affirmation qui se présente comme l’expression d’un fait, qui porte les caractères de l’objectivité, c’est bien celle-là. Pour Kant , il est vrai , les trois dimensions de l’espace sont données dans l’intuition même ; mais Leibnitz et les géomètres ne sauraient faire de cette proposition ni une définition de l’espace , puisqu’il n’y a pas équivalence entre le sujet et les prédicats , ni un axiome ou un postulat , puisqu’elle ne sert pas à l’enchaînement des théorèmes. Quant à Hegel , il retrouve dans ce fait les trois moments de toute idée , thèse , antithèse et synthèse , et comme l’espace est l’idée générale de la nature , abstraction faite de toute détermination , et à ce titre indifférente, les trois dimensions sont égales et peuvent se prendre l’une pour l’autre.

Quoi qu'il eu soit de cette démonstration qu'il est assez difficile de prendre au sérieux , la véritable pierre d’achoppement de tous les systèmes qui précèdent, ce sont les postulats. On sait qu’on entend généralement par là, des propositions regardées comme évidentes par elles-mêmes quoique à un degré moindre que les axiomes. Dans la géométrie , telle qu’on l’enseigne , ils sont au nombre de trois qu’on ramène quelquefois à deux. Ce sont les suivants :

1. Entre deux points on ne peut tirer qu’une seule ligne droite; ou encore :

Deux lignes droites ne peuvent renfermer aucun espace.

2. Quand deux portions de droites coïncident, les droites elles-mêmes coïncident dans toute leur étendue; ou encore :

Une droite ne peut se bifurquer.

3. Par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite ; ou encore :

Deux droites qui font des angles inégaux avec une même troisième dans un même plan se rencontrent.

Nous établirons que les propositions indéinontrées de la géométrie sont en nombre beaucoup plus considérable ; pour le moment, il nous suffit qu’il en existe.

Or, que ces propositions ne soient pas des axiomes au même litre que celles-ci: Le tout est plus grand que la partie ; deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles, etc., c’est ce que prouvent les essais de démonstration que les géomètres ont si souvent tentés et qui sont toujours restés sans résultat; ce nom même de postulats dont Euclide, et beaucoup d’autres après lui, les désignent particulièrement; leur caractère analogue à celui d’autres propositions

qui sont incontestablement des théorèmes , telles que : par trois points on ne peut faire passer qu’un cercle; quand deux côtés de deux triangles coïncident respectivement (par l’égalité des angles compris) les troisièmes côtés coïncident aussi; par un point on ne peut mener qu’une perpendiculaire à une droite, etc.

Kant voit dans les postulats les conditions de l’intuition à priori. « J'appelle quantité extensive, dit-il, celle dans laquelle la représentation des parties rend possible celle du tout (et par conséquent la précède nécessairement). Je ne puis me représenter une ligne, si petite quelle soit, sans la tirer par la pensée, c’est-à-dire, sans en produire successivement toutes les parties d’un point à un autre, et sans, par là, rendre enfin sensible cette intuition. 11 en est de même de toutes les parties du temps, même de la plus petite. Je n’y pense que par la progression successive d’un instant à un autre, d’où résulte enfin, au moyen de toutes les parties du temps et de leur addition , une quantité de temps déterminée. Puisque la simple intuition dans tous les phénomènes est ou l’espace ou le temps, tout phénomène est , comme intuition, une quantité extensive, par la raison qu’il ne peut être connu dans l’appréhension que par la synthèse successive de partie à partie. Tous les phénomènes sont donc perçus d’abord comme aggrégats (multitude de parties données primitivement), ce qui n’arrive pas toujours dans toute espèce de quantité , mais seulement pour celles qui nous sont représentées et qui sont appréhendées par nous extensivement comme telles.

Sur cette synthèse successive de l’imagination productive dans la création des figures, se fondent les mathématiques de l’étendue (la géométrie) avec leurs

axiomes , qui expriment les conditions de l’intuition sensible à priori, sous lesquelles seules le schème d’un concept pur d’une intuition extérieure est possible , par exemple : entre deux points il n’y a qu’une seule ligne droite possible; deux lignes droites ne renferment aucun espace. Ce sont là des axiomes qui ne concernent proprement que les grandeurs ( quanta ) comme telles (1). »

Whewell , en dépit d’un grand nombre de géomètres qui voient dans ces postulats des théorèmes jusqu’ici récalcitrants, en veut faire des axiomes, des propositions évidentes par elles-mêmes. Mais Kant et Whewell devraient dresser le catalogue complet et rationnel de ees axiomes , et indiquer le caractère spécifique qui les distingue des théorèmes. L’évidence d’un côté, les conditions de l’intuition de l’autre, étant des critériums tout subjectifs , quel est, dans leurs systèmes , le théorème qu’on ne pût ériger en axiome?

Ils donnent par là beau jeu aux sensualistes et aux empiristes qui soutiennent contre eux l’origine empirique de toutes nos connaissances : ceux-ci voient, dans les propositions des mathématiques , des vérités expérimentales et contingentes , que l’habitude nous fait regarder comme absolues et nécessaires, parce que nous les voyons se confirmer tous les jours ; et, il faut bien le reconnaître , s’il était prouvé que les postulats jusqu’ici indémontrés sont indémontrables, les empiristes auraient raison.

Celte opinion très-ancienne, renversée d'abord par Leibnitz et sa théorie des idées innées, reprise par les

( 1 ) Kant, Crit. de ta raison pure, liv. Il ; Axiomes de l'Inluiti- n , trad. de Tissot, t. I , p. 242 et suiv.

philosophes du XVIII e siècle, réfutée de nouveau par Kant, puis relevée par Comte, Mil! , Opzoomer, et les matérialistes proprement dits , Vogt , Moleschott , Büchner, est maintenant l’une des plus accréditées, et plusieurs philosophes , sans adopter dans ses principes la doctrine des empiristes, sont assez disposés à l'admettre en ce qui touche les axiomes mathématiques (Voir M. Ueberweg, introduction à la dissertation traduite à la fin de cet ouvrage). C’est Mill qui, dans sa Logique des sciences inductives, a défendu cette opinion avec le plus de talent. Nous allons exposer fidèlement les arguments de cet auteur, en les fesant suivre de quelques remarques.

g 2. — THÉORIE DES EMPIRISTES.

L’induction , dit Mill, est le fondement de toutes nos connaissances. D’où vient alors cette certitude indépendante de l’expérience, que tous les philosophes reconnaissent aux mathématiques?

C’est une illusion provenant de ce que les objets dont elles s’occupent sont imaginaires , et aussi de ce que leurs déductions s’appuient en partie sur des définitions adéquates : ce qui paraît être déduit avec évidence d’une définition, repose proprement sur la supposition qu’une chose correspond à cette définition; supposition fausse : car il n’y a ni point sans grandeur, ni ligne sans largeur, ni cercle parfait, ni carré parfait , etc. ; bien mieux , l’existence même de ces figures est, autant que nous pouvons l’alfirmer, incompatible avec la constitution physique de notre globe. On répond que ces notions existent à priori dans notre esprit. Malgré les autorités qui défendent cette opinion,

— Iti —

Mill croil qu’il n’en est rien ; ees idées ne sont que les copies des points, lignes, etc., que nous fournit le monde extérieur, des abstractions obtenues à l’aide de la faculté que nous avons de diriger notre attention sur un point particulier. Nous ne pouvons même nous représenter une ligne sans largeur. Si donc il n’existe pas d’objets correspondant aux définitions de la géométrie; si, d’un autre côté, on ne peut admettre que la géométrie s’occupe de non-êtres , il faut bien considérer les lignes et les ligures comme des généralisations (1) des objets de l’expérience. « Que tous les diamètres d’un cercle soient égaux, cela est vrai de tous les cercles en tant que cela l’est d’un seul ; mais en réalité, cela ne se peut dire d’aucun cercle; seulement, c’est assez approché, pour que, dans la pratique, on puisse, sans erreur sensible, considérer ces diamètres comme

1) Il y a ici contusion : la ligne géométrique n'est pas la généralisation des lignes que nous fournit l'expérience ; la ligne en général a une largeur et une épaisseur quelconques ; elle n’est pas sans largeur ni épaisseur. Mill était plus vrai quand il voyait dans les figures géométriques des abstractions. Du reste, l'argument qu’il emploie ici n'a pas grande valeur. Après avoir exposé la connaissance par parties, la logique de I'ort-Royal ajoute : « On voit par là combien est ridicule l’argument de quelques sceptiques , qui veulent faire douter de la certitude de la géométrie, parce quelle suppose des lignes et des surfaces qui ne sont pas dans la nature. Car les géomètres ne supposent point qu'il y ail des lignes sans largeur , ou des surfaces v sans profondeur ; mais ils supposent seulement qu'on peut considérer la longueur sans faire attention à la largeur; ce qui est indubitable; comme lorsqu'on mesure la distance d’une ville ù une autre , on ne mesure que la longueur des chemins , sans se mettre en peine de leur largeur. •

Si l'on s'appuie sur un pareil argument pour prétendre que l’exactitude des principes mathématiques est imaginaire, on pourra dire à Newton ou à Laplace : Votre mécanique céleste est fausse , car dans la nature il n’y a pas de corps qui ne soient que pesants.

égaux; » et, tant qu’aucune nécessité pratique ne nous force de tenir compte de ces irrégularités, nous opérons connue si elles n’existaient pas.

Cette exactitude des principes mathématiques est donc tout imaginaire; pas plus que les autres sciences, la géométrie n’est complètement d’accord avec les faits; mais nous le supposons pour en tirer des conséquences. Aussi Mill se range à l’opinion de Dugald Stewart qui regardait la géométrie comme fondée sur des hypothèses auxquelles elle devrait sa certitude propre , et qui était d'avis que toute science, édifiée de la môme manière sur des hypothèses , pourrait présenter le môme enchaînement et le même accord des conséquences entre elles et avec les prémisses, et que nécessairement elle nous paraîtrait évidente dans le cas où les prémisses seraient vraies. Tout ce qu’on peut dire des théorèmes de la géométrie, c’est qu’ils découlent nécessairement des prémisses; et celles-ci sont des hypothèses , si éloignées d’être nécessaires , quelles s’écartent toujours plus ou moins de la vérité. On peut accorder la nécessité aux conclusions d’une science, en ce sens quelles découlent de prémisses qui ne répugnent pas aux conditions de toute recherche , et qui peuvent ôtre vraies ou non vraies, certaines ou douteuses, sans que cela empêche de les regarder comme, certaines pour le but qu'on se propose.

Parmi les principes de la géométrie, outre les définitions, il y a aussi les axiomes; il est vrai que quelques axiomes peuvent se ramener à des définitions, mais cela est impossible quant à d'autres , tels que ceux-ci : deux lignes droites ne peuvent renfermer aucun espace, ou celui-ci qui lui est équivalent: deux droites qui se coupent en deux points coïncident ; et : deux droites

qui se coupent ne peuvent être parallèles à une même troisième (1). 11 en est quelques-uns qui sont vrais indépendamment de toute hypothèse, comme celui-ci : deux quantités égales à une môme troisième sont égales entre elles; qui est vrai, même dans le domaine de l’expérience. Sous ce rapport, la géométrie est sur le même pied que la plupart des sciences ; il y a aussi, dans ces dernières , des propositions générales absolument vraies, telles que celle-ci en mécanique : pour arrêter le mouvement produit par une force, il faut une force égale et opposée; ou cette autre: la terre tourne en vingt-quatre heures, etc., tandis que la proposition sur la figure de la terre , par exemple , n’est qu’approximative. Ixs unes et les autres sont (Tailleurs des inductions (2); mais les unes , au contraire des autres , ne sont viciées (T aucune fiction.

Quel est maintenant le fondement de notre croyance aux axiomes? Une induction fondée sur l’observation. Cette assertion est contraire à un ancien préjugé philosophique. M. Whewell, qui a soutenu l’opinion opposée et cherché à fonder philosophiquement les mathématiques , étant un adversaire de poids , c’est contre lui seul que Mill dirigera son argumentation.

Tout le monde accorde que les axiomes , dont il est question , nous sont fournis originairement par l’observation ; mais Whewell et ceux qui se rangent à son avis , nient que ce soit l’expérience qui les prouve ,

( 1 ) Nous faisons remarquer que l'argumentation de Mill portera toujours sur ces prétendus axiomes , comme il était facile de le prévoir.

(2) Quelle induction peut nous avoir donné la proposition que la terre tourne en vingt-quatre heures? (Voir dans le chapitre suivant ce que nous disons sur les définitions scientifiques. )

puisque , s'il en était ainsi , on aurait besoin, pour les établir, d’une foule d’essais répétés , comme pour les vérités expérimentales proprement dites. Ces axiomes, disent-ils, sont des vérités à priori auxquelles l’esprit adhère dès qu’il les saisit.

Mill répond : Si cette évidence est indépendante de l’expérience , elle lui est au moins conforme ; si cet axiome, deux droites ne peuvent enfermer aucun espace , n’a pas besoin de confirmation , c’est qu’il se trouve confirmé de lui -même à chaque instant de notre existence ; seulement cette expérience se fait de si bonne heure que nous oublions les opérations de l’esprit qui nous ont conduits à la formuler. Pourquoi donc chercher un fondement spécial de notre foi à cette catégorie de vérités? C’est aux défenseurs de l’opinion opposée à en démontrer la nécessité ( 1 ). Mais dans l’impossibilité où ils sont d’établir que l’enlant a cette conviction avant que ses sens aient reçu des impressions , force leur est bien de recourir à des arguments d’une autre nature, et que voici :

Premier argument. — Nous voyons la proposition (deux droites, etc.) seulement dans la pensée, et non dans l’expérience extérieure ; nous en reconnaissons la vérité par intuition. D’ailleurs, comment peut-on être certain expérimentalement que deux droites qui se sont coupées une fois ne se couperont plus, puisqu’on ne peut expérimentalement les prolonger jusqu'à l’infini?

1 1 ) « Les idées qu’on croit innées , dit Helvétius , sont celles qui nous sont familières , et qui se sont comme identifiées avec nous ; mais elles nous sont toujours venues par les sens. Elles sont l’effet de l’éducation, de l’exemple, de l’habitude. »

La réponse se trouve dans la facilité de se représenter en imagination les figures de la géométrie, et dans la certitude, acquise par l'expérience, que cette représentation correspond fidèlement aux objets extérieurs. C’est ainsi que dans tout système d’expériences, nous opérons sur quelques individus qui représentent tous ceux qui leur ressemblent ; ou bien encore que nous pouvons décrire la forme et la couleur d’un animal d’après une épreuve photographique, parce que nous nous sommes assurés de la fidélité de telles épreuves. Ainsi l’expérience, pour être intérieure , n’en est pas moins une expérience. Quant au second reproche de ne pouvoir prolonger les lignes à l’infini , n’est-il pas vrai que, si elles se rencontrent, c’est à une distance finie? Or, lorsque je me représente deux lignes droites qui, commençant par diverger, finissent par s’infléchir l’une vers l’autre , représentation que je sais être légitime et conforme aux faits extérieurs, j’ai l’impression d’une ligne courbe et non plus d’une ligne droite.

Second argument. — 11 consiste dans la distinction fondamentale entre les vérités générales, et les vérités universelles et nécessaires. Si souvent que j’aie vu de la neige , je n’en puis pas conclure que la neige est blanche toujours et partout, encore moins qu’elle doive être blanche ; tandis que les axiomes mathématiques sont tels que le contraire est inadmissible , incompréhensible. Quelque effort que je fasse , je ne puis me figurer, par exemple, que deux et trois fassent sept.

Voyons, dit Mill, sur quel fondement cette argumentation repose et ce que signifie au fond cette incompréhcnsibilité. Il est reconnu que l’on éprouve la plus grande difficulté à séparer deux choses que l’expérience de tous les jours nous montre constamment réunies.

Cette difficulté inhérente à la nature de notre esprit et très -puissante sur l’homme inculte , ne laisse pas d’exercer une certaine influence, môme sur l’homme instruit ; car l’homme reste l’homme. On pourrait en citer beaucoup d’exemples. Ainsi les partisans de Descartes repoussaient la théorie de Newton sur la gravitation , en soutenant qu’il est contradictoire qu’un corps agisse là où il n’est pas. C’était là l’effet d’une longue habitude. Que sera-ce si l’habitude est plus ancienne encore , plus enracinée : comme celle , par exemple, qui nous apprend que, quelque loin qu’un point soit situé , nous pouvons en placer un derrière lui ; qu’après un instant quelconque , un autre instant suit ; ce que nous avons traduit en disant que l’espace et le temps sont infinis? Quoi d’étonnant dès lors que le contraire de l’axiome (deux droites, etc.) nous apparaisse comme incompréhensible ? Quelle analogie , quelle série de faits dans une autre branche de connaissances pourrait nous faciliter la représentation de deux droites renfermant un espace? aucune. Pourquoi conclure de cette incompréhensibilité contre la source empirique de cette proposition ? Wbewell engageait ceux qui niaient sa distinction entre vérités nécessaires et vérités contingentes , à étudier la géométrie ; Mill engage , de son côté , Whewell et ses adhérents à étudier les lois de l’association.

M. Whewell lui-même n’apporte-t-il pas des preuves à l’appui de l’opinion adverse , en citant ces principes nouveaux des sciences (la gravitation, par exemple), dont nous ne pouvons concevoir aujourd’hui la non-admission, et qui furent rejetés au nom de leur inconcevabilité par les contemporains de ceux qui les ont découverts? Pour lui donc, pas plus que pour Mill, l’inconcevabilité d'une

proposition n’est une raison de la rejeter d’une manière absolue.

Dans le même chapitre , Mill cite ce passage de la Quaterly Review :

« L’idée de direction , c’est-à-dire l’impossibilité d’aller directement d’un point donné à un autre point par plusieurs chemins , est un objet de l’expérience pratique longtemps avant d’ôtre l’objet de la pensée abstraite. Nous ne pouvons nous imaginer le contraire sans porter atteinte au souvenir de notre expérience antérieure , et sans détruire la notion que nous avons de l’espace. D’où pourrions-nous tirer , si ce n’est de l’expérience , la certitude de l’homogénéité des parties de la distance , de l’espace . de la force , des aggrégats mesurables en général , dont la vérité des autres axiomes dépend. »

Enfin , dans un autre endroit de son ouvrage (l ro partie, cliap. 24, § 7) il s’exprime ainsi :

« On accepte que deux lignes droites ne peuvent enfermer un espace; — que des lignes droites divergent l’une de l’autre à divers degrés ; qu’il existe des choses comme des angles , qui sont capables d’être égaux ou inégaux. On accepte qu'il existe une chose comme un cercle et que tous ses rayons sont égaux ; qu’il y a des choses comme des ellipses, et que la somme des distances focales pour chacun de leurs points est la même ; qu’il y a des choses comme des lignes parallèles , et que ces lignes sont toujours à égale distance l’une de l’autre... »

Telle est la théorie de Mill. Nous n’entreprendrons pas ici un.e réfutation des doctrines empiriques. Nous voulons seulement savoir si elles suffisent à rendre raison de ce qui est, si elles ne laissent pas place à de nouveauxpowrquofsurlesfailsqu’elles prétendent expliquer.

Quand on demande à Mill d’où provient l’illusion qui nous fait regarder les vérités mathématiques comme nécessaires, il allègue la force de l’habitude , d’observations souvent répétées. Mais quelle observation plus constante que celle qui nous montre le soleil tournant autour de la terre, les astres plus grands à l'horizon qu’au zénith? Il y a donc autre chose qui rend raison de celte certitude. Le géomètre est certain que partout où il y a des êtres intelligents , les principes mathématiques sont valables. C’est ce que Mill accorde lui-même quelque part : « Nous ne doutons pas, dit-il, que dans la région des étoiles fixes, la ligne droite ne soit le plus court chemin » ; et dans un autre passage : « Si de deux corps, l’un est une sphère, et l’autre un cylindre de même hauteur et de même diamètre , le premier sera les deux tiers du second, quelles que soient d’ailleurs la nature et la matière de ces corps. » En vertu de ses principes, il devrait cependant admettre la possibilité d’une expérience contraire aux faits jusqu’ici observés.

L’illusion qui nous trompe, ajoute-t-il encore, provient de ce que cette science se fonde sur des définitions adéquates. Que signifie au fond cette réponse ? Pourquoi toute science fondée sur des définitions adéquates est-elle évidente? Pourquoi est-il possible en géométrie de donner des définitions adéquates? Peuton donner des définitions adéquates dans d’autres sciences? La solution de ces questions serait très-intéressante, et Mill ne la donne pas.

Enfin , dit-il , les objets de la géométrie étant simples , nous n’avons aucune difficulté de nous les figurer intérieurement, et en outre l’expérience ne nous montre jamais le contraire de notre croyance. — Mais

nous lui demanderons pou rquoi les objets de la géométrie sont simples; pourquoi l’expérience ne nous montre et ne nous montrera (il en est certain) jamais le contraire. Pour répondre à la dernière de ces questions , Mill pose l’axiomo de la constance et de l’invariabilité des lois de la nature. Or, cet axiome s’appuie sur une induction plus générale, et bien loin de pouvoir servir à étayer l’invariabilité des lois particulières , il est luimême une conséquence de celle-ci. Pour établir que les lois mathématiques sont invariables, je ne puis pas m’appuyer sur la proposition que les lois de la nature sont invariables, cette proposition étant plus générale et par conséquent moins certaine que la première. Nous reviendrons d’ailleurs plus tard sur ce point.

Ainsi, des propositions qui ont été l’objet de ce débat, les uns font des axiomes, d’autres des postulats, d’autres des faits. Quelle différence Mill établit-il entre vérité expérimentale et théorème? Où doit cesser le fait? Quand doit commencer la démonstration? C’est assez dire que Mill, de même que Kant, est obligé de faire l’énumération des vérités premières qu’on admet sans démonstration, qu’il doit nous dire jusqu’où s’étend le domaine des faits admis sans preuve , sur la foi de l’intuition externe , qui vient détrôner l’intuition interne du philosophe de Kcenigsberg (1).

( 1 ) Il s’est trouvé quelqu’un qui, poussant à l’extrême ces doctrines, a voulu faire de la géométrie une science en grande partie toute d’intuition. Nous ne parlerions pas de cetauteur.dontladissertatlonest une déclamation trop souvent grossière pour être scientifique , si sa théorie n’était la conclusion légitime de celles qui précèdent. Dès qu’on n’a pas de règle fixe pour distinguer les vérités à admettre sans démonstration de celles qui doivent découler du raisonnement,